2022年数学学习与解决问题汪纯中_ .pdf

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1、数学学习与解决问题汪纯中一、解决问题概述二、解决问题的基本过程三、课改为解决问题搭建平台一、解决问题概述1、备受关注的解决问题“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题”具体要求包括：（1）逐步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题；（2）形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；（3）“高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展数学建模的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的

2、联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力”“根据以学生发展为本的观念，新的课程体系必须正确处理教材、老师、学生三者关系，要坚持加强基础，要特别重视发挥学生主体在认识活动中的主动和能动作用，重视由此导致地从问题出发、设计以解决问题的活动为基础的数学认识过程。”2、问题的含义问题就是日常的练习，解决问题就是算法的操练。问题是非常规的问题，要求学生通过探索，解决问题。问题是一种状态，这种状态要求人们去完成一个任务，而对于这个任务，由他们的经验，没有一个现成的可供使用的完成任务的策略。因此，解决问题中的问题，主要指非常规问题。比较教材中的问题，主要是常规的问题，所以我们把其称之为练习。大

3、部分是一种模仿、操练为主。练习与解决问题的特征比较练习的特征解决问题的特征着重寻找答案着重寻找解决问题的过程往往针对某个知识点或技能点，着重对某项数学技能进行练习着重思考如何将一般知识和技巧运用到新情况中，具有综合性的特点可以对某一类习题反复演练解决问题中的“问题”具有新颖性对思考的要求相对比较低对思考的要求相对比较高一个问题是不是问题，要看对象及其背景。3、问题应具备的基本条件接受性、障碍性、探究性接受性：学生愿意接受这个问题，并且具备了解决这个问题所必须具备的知识、技能与能力。（学生要感兴趣）障碍性：学生对解答问题的最初尝试往往以失败而告终。探索性：学生需要对失败的尝试进行反思，重新进行探

4、索，并排除思维定势，寻找新的解决问题的方案。例 1：某工程由甲、乙两队承包，522天可以完成，需支付1800 元；由乙、丙两队承包，433天可以完成，需支付1500 元；由甲、丙两队承包，天762可以完成，需支付1600 元，在保证一个星期内完成这项工程的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？例 2、有关买盐问题：甲每次买1 元，乙每次买1 斤，哪个更合算？解：设每次价格分别为a元/斤，b元/斤，c元/斤则甲：cba1113，而乙：3cba即比较)111)(cbacba与 9 之间的大小关系方法一：基本不等式（两个）方法二：基本不等式（三个）方法三：柯西不等式（先平方）例 3：有关电动洗衣机每次

5、漂洗的水量相同的问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 解：设洗涤并甩干后衣服中残留脏物（不含水分）量为0y，设第),2 ,1(ii次漂洗时用水量为ix，漂洗并甩干后衣服上的残留脏物（不含水分）量为iy，再设洗衣漂洗时总用水量为a（常数）另设每次漂洗并甩干后衣服中的残留水分（含残留脏物）的重量为m（常数）由百分比浓度mxyxmmyymyxmy101011101同理：)1)(1(210212221mxmxyxmmyym

6、yxmy,)1()1)(1(210mxmxmxyynnnnnmnanmanmxmxmx)1()()1()1)(1(21常数，当且仅当nxxx21取等号当n增大时，ny减小，即证nmnanf)1 ()(单调增11)1(1()11()1()1)(1(1)1(nnnnmanmnnanmnamnamnamna即)1()(nfnf例 4、平面上的n个圆最多能将平面分成多少个区域？解：1n时，21a2n时，要分情况有相离、相切、相交、内含，最多有42a3n时，同样分情况，最多是三个圆两两相交且没有共点，83a猜想：nna2检验：当4n时，得144a不符合，从而说明猜想错误，这时就要寻求新的途径找递推关系：

7、 添上第1n个圆，与前n个圆相交， 且没有公共点， 被分割成n2段弧，即增加了n2个部分，即naann21，由累加法，得22nnan例 5、已知抛物线)2(2pxpy，圆O：)0(222，且为常数ppyx，ABC三个顶点在抛物线上，求证：若直线ACAB，与圆O相切，则直线BC与圆O也相切此题为 83 年的高考题，解略例 6、有一个 66 的方格中，去掉左上角和右下角的各一个方格，用17 个21的方格能把其盖住吗？反证法：染色。涂上黑色及白色，需要17 个黑色，而实际要用到18 个黑色，所以不可能名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

8、 - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 二、解决问题的基本过程1、几种模式奥苏贝尔四阶段模式第一阶段：呈现问题情景命题第二阶段：明确问题最终目标与已知条件（最好能建立联系，缩小差距）第三阶段：填补空隙过程第四阶段：解答之后的检验杜威五步模式第一步：产生困惑第二步：尝试从情景中识别出问题第三步：将问题情景中命题与已有的认知结构联系起来第四步：将假设作检验第五步：将成功的答案组合到认知结构中波利亚“怎样解决问题”表第一步了解问题？未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？可能满足条件吗？画一个图，导入适当的符号第二步找出已知

9、数和未知数之间的关系 （假使你不能找出关系， 就得考虑辅助问题， 最后应想出一个计划）你以前曾见过它吗？你知道什么有关的问题么？注视未知数！试想出一个相同或相似的未知数的熟悉的问题这里有一个与你有关而且以前解过的问题，你能应用它吗？你若不能解释这问题，试先解一个有关问题，你能想出一个更容易着手的有关问题吗？一个更一般的问题？一个更特殊的问题？一个类似的问题？你能解问题的一部分吗？你用了全部条件吗？第三步实行你的计划实行计划实行你的解题计划，校核每一个步骤第四步验证所得的解答回顾你能验证结果吗？你能验证论证吗？你能用不同的方法得出结果吗？你能应用这结果或方法到别的问题上去吗？求物体的重心？一维空

10、间：一条线段的重心即线段的中点（物理上的重心：线段上的质点有质量，如天平）两维空间：三角形的重心即三中线的交点（物理上的重心？）（ABC的边BC的重心为其中点D，是 2 个单位质量，而A是 1 个单位质量，所以重心在线段AD的三等分点，12DGAG）数学上证明其三线共点由此推广到三维空间：四面体的重心，先找到底面BCD的重心G，是 3 个单位质量，而A是 1 个单位质量，所以四面体的重心为线段AG的四等分点，13EGAE）2、解决问题与数学思考（1）特殊化与一般化特殊化考虑特殊情况，取特殊值，简化问题、作图作表格等（即一种技巧）小学：三角形的内角和为180 度。可以任意画一个三角形，并量其角度

11、，得结论。当然也可以剪开，拼成一个平角。例 1、证明：长为l 4的封闭曲线L，一定可以用一个半径为l的圆把它覆盖住，并且该圆是所有能覆盖曲线的圆中的最小一个圆。特殊：曲线本身是圆，则由lr42，得llr2，当然能盖住。曲线是平行四边形，其对称中心为对角线的交点，lADABBD2只需证：lAClAO212对于任意的曲线呢？找到曲线上最远的两点BA,，则lAB2，找到其的中点O，再找曲线上的点C，D，无法得到所要证明的结论C A B D O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

12、 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - A O B C D M 另找其他方法：将曲线分成两相等长度的两段曲弧lBDAACB2O为线段AB的中点， M 为曲线上的任意一点，则lAMBMBACMMBMAOM21)(21)(21例2 、 函 数f定 义 在 整 数 集 上 ， 且 满 足)1 0 0 0()5()1000(3)(nnffnnnf，求)100()2() 1(fff解：997)1000(f；998)1001()1004()999(ffff；997)1000()1003()998(ffff；998)999()1002()997(ffff；猜想：当*,10001Nnn时，是

13、奇数是偶数nnnf998997)(证明（用数学归纳法证明）当997,998,999,1000n时，命题成立假设当kn与1kn时，命题成立12knkn与时命题成立例 3、设dcba,是四个正实数，且其中有两个小于1 求证：dcbadcba1)1)(1)(1)(1 (（1）1,0ba时，需证baba1)1)(1(证：)0,(11)1)(1 (babaabbaba（2）0,cba且1,cb0,ba由（ 1）知baba1)1)(1(又1c，则01c)0,(1)(1)1)(1()1)(1)(1(cbacbabaccbacbacba（3）原命题1,dc由（ 2）得cbacba1)1)(1)(1(又1ddc

14、bacbaddcbadcbadcba1)(1)1)(1 ()1)(1)(1)(1(例 4、任意一圆和xysin的图象相交的交点（A）至多2 点（B）至多 4 点（C）至多 6 点（D）可以多于6 答案： D （圆心离x 轴远点， 半径无限大）一般化建立模型、符号化、逆推、反证、推广等模型：在一个边长为a的正方形中剪出两个尽量大的两圆（可用函数的观点）)(),(22rRrRf而)(rgR例：在 19901990 的方格棋盘中， 对每一个 11 方格染上红、 白两种颜色中的一种， 使得方格棋盘中心对称的两个11 方格染上不同的颜色。问：是否存在一种染法，能使方格棋盘中的每一行，每一列中红、白颜色的

15、格子数相等。符号法：记红色格为1，白色格为 1 的数字之和记为1A， 右上方的将方格棋盘分成四等分，每一个方格为995995，在左上方的每个小方格数字之和记为2A，左下方为3A，右下方为4A，由题意知03241AAAA995 为奇数，01A，0,432AAA不妨设01A时， （1）00212AAA，不合题意（2）0003132AAAA，不合题意结论：不可能存在这样的染法（2）猜测与验证四色猜想用计算机来解决费马大定理也彻底解决了书上有的，不属于探究的范畴例：矩形ABCD 中， P 是其内部或其边界上的点，则PDPCPBPA,有何关系？特例：点P 与 A 重合时，发现222PDPBPC（其中0P

16、A）点 P 与点 B 重合时，发现222PCPAPD（其中0PB）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - A D C P B P 15 S1 A B C D E F 20 30 S2 20 猜想：2222PDPBPCPA并加以证明（可用解析法）3、解决问题的教学模式对数学课堂教学改革的启示公交车的座位设计问题：一边是一座， 一边是两座， 你会站在哪一边？站在两座旁边。理由？概率问题。例：如图所示，求ABC的面积41589

17、5,43589152030201520153020212121SSPBPESSPFPCSS而PAPDSS1520302021代入发现不成立，从而说明题目有问题条件多给了？多少个小三角形的面积告诉你，就可以求大三角形的面积。例 5、若对非零常数m，函数)(xf满足)(72cos)(2)()(Rxxfmxfmxf求证：)(xf是周期函数证明：设72sin72cosiz则1,72cos2zzzz由条件，任给Rx，)()()()()()(xfzxfzxfzzmxfmxf移项，)()()()()()(mxfzxfzmxfxfzxfzmxf于是，)1)72sin72(cos()()()()()5()6()

18、6()7()7()8(7772izxfzmxfxfzmxfzmxfzmxfzmxfzmxfzmxfzmxf比较等式两边虚部，可得)()7()(72sin)7(72sinxfmxfxfmxf又)(0 xfm是周期函数例如：5, 1,0232121aaaaannn，求通项公式注意系数的特点，可得nnnnnnbaabaa21110421nnnaaa设)(211nnnnAaaBAaa则14ABBA再回到刚才的那道题得：)()()()(mxAfxfBxAfmxf其中72sin72cos72sin72cos72cos21iBziABAAB特殊：2sin)(Txxfmxfmxmxmxmxfmxfcos)(2

19、cossin2)sin()sin()()(mm7272，猜想周期为m7，然后再验证。例：若)(xfy满足)0()(1)(1)(mxfxfmxf，求证：)(xf是周期函数找一个特殊的函数：xxftan)(xxxtan1tan1)4tan(m4可猜想)()4(xfmxf，周期为m4，然后再给出验证三、课改为解决问题搭建平台教师要成为学生探究的组织者和主导者教师应根据学生的差异进行鼓励和指导善于信息处理，善于转化问题，善于长期的记忆（小学生）案例：一只大桶装了10 斤水，另有两只桶，一只恰好能装3 斤水，一只恰好能装7 斤水。现在要把这10 斤水名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

20、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 平分为 5 斤的两分，问如何倒法？研究过程：1、 学生自主操作，也可小组讨论倒水方案一：大桶10 3 3 6 6 9 9 2 2 5 3斤桶0 0 3 0 3 0 1 1 3 0 7斤桶0 7 4 4 1 1 0 7 5 5 倒水方案二：大桶10 7 7 4 4 1 1 8 8 5 5 3 斤桶0 3 0 3 0 3 2 2 0 3 0 7 斤桶0 0 3 3 6 6 7 0 2 2 5 2、提出问题问题（ 1）上述两个倒水方案，哪个

21、更优？（2）是否还有更优的倒水方案？解：设倒满7 斤桶x次，倒满 3 斤桶y次（若yx,为负，表示倒出）则537yx3221375xxxy令32xt，则tx32，ttty73)32(21取0t，则3,2 yx，先倒进 7 斤桶，然后倒出3 斤水， ,537337对应方案一取1t，则4, 1 yx, （537333）对应方案二取2t，则11,4 yx5373()37333(实际上就是方案二（说明当2t时，没有其他方案了）取1t时，则10,5 yx，其对应方案一从而说明只有两个方案，方案一是最优方案若方程有解，是不是代表一定有方案呢？变式： 6 斤桶和 7 斤桶65675576yyyxyx令txtyyt75,6565取0t时，557)5(675757后面无法操作下去了。结论：无解一定没有方案，而有解不一定有方案名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -