概率论知识点总结65062.pdf

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1、概率论总结概率论总结目目 录录一、一、 前五章总结前五章总结第一章第一章随机事件和概率随机事件和概率 1 1第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布.5 .5第三章第三章多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布1010第四章第四章随机变量的数字特征随机变量的数字特征1313第五章第五章极限定理极限定理.18.18二、二、 学习概率论这门课的心得体会学习概率论这门课的心得体会2020一、前五章总结一、前五章总结第一章第一章随机事件和概率随机事件和概率第一节：第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E 表示。在一

2、次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为 S 或。2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或 . 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用 S 或 表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件单点集，复合事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。3、定义：事件的包含与相等若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称 B 包含 A，记为 B?A 或A?B。若 A?B 且 A?B 则称事件 A 与事件

3、 B 相等，记为 AB。定义：和事件“事件 A 与事件 B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件 B 的和事件。记为 AB。 用集合表示为: AB=e|eA，或eB。定义：积事件称事件“事件 A 与事件 B 都发生”为 A 与 B 的积事件，记为 AB 或AB，用集合表示为 AB=e|eA 且 eB。定义：差事件称“事件 A 发生而事件 B 不发生,这一事件为事件 A 与事件 B 的差事件,记为 AB,用集合表示为 A-B=e|eA，e?B 。定义：互不相容事件或互斥事件如果 A，B 两事件不能同时发生，即 AB ，则称事件 A 与事件 B是互不相容事件或互斥事件。定义 6：逆事

4、件/对立事件称事件“A 不发生”为事件 A 的逆事件，记为 。A 与满足：A= S,且 A=。运算律：设 A，B，C 为事件，则有（1）交换律：AB=BA，AB=BA（2）结合律：A(BC)=(AB)C=ABC A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A(BC)(AB)(AC) A(BC)(AB)(AC)= ABAC（4）德摩根律：A B A BA B A B小结：小结：事件的关系、运算和运算法则可概括为四种关系：包含、相等、对立、互不相容；四种运算：和、积、差、逆；四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。第二节：第二节：1、设试验 E 是古典概型, 其样本空间 S 由 n 个样本点

5、组成 , 事件 A由 k 个样本点组成 . 则定义事件 A 的概率为：P(A)k/nA 包含的样本点数/S 中的样本点数。2、几何概率：设事件 A 是 S 的某个区域，它的面积为(A)，则向区域 S 上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为：P（A）=（A）/（S）假如样本空间 S 可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向 S 上随机投掷一点的含义如前述，则事件 A 的概率仍可用（*）式确定，只不过把理解为长度或体积即可.概率的性质：（1）P(? ?)=0,（2）（3）PPm1m1A Ai i, , A Aj j, ,i i, , j j 1 1, ,2 2, , ,n n, ,i i j

6、j, ,两两互不相容，两两互不相容， n n n n则则 P P A Ak k P P A Ak k ; ; k k 1 1 k k 1 1P P( (A A) ) 1 1 P P( (A A), ),（4） 若 A?B，则 P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) P(A).第四节第四节：条件概率：在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率称为 A 对 B 的条件概率，记作 P(A|B).而条件概率 P(A|B)是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时 A发生的可能性大小，即 P(A|B)仍是概率.P P( (A A| | B B) ) P PABABP PB B乘法公式： 若 P(

7、B)0,则 P(AB)=P(B)P(A|B) P(A)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)全概率公式：设 A1,A2,An是试验 E 的样本空间的一个划分，且n nP(Ai)0，i =1,2,n, B 是任一事件, 则i i1 1贝叶斯公式：设 A1,A2,An是试验 E 的样本空间的一个划分，且P(Ai)0，i =1,2,n, B 是任一事件且 P(B)0, 则P P(B B)P P(A Ai i)P P(B BA Ai i)P P(A Ai i| B B)P P(A Ai i)P P(B BA Ai i)第五节第五节 ：若两事件 A、B 满足P P(A A )P P(B BA A )j

8、 j1j jj jn nP(AB)= P(A) P(B)则称 A、B 独立，或称 A、B 相互独立.将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件 A、B、C，若P(AC)= P(A)P(C)P(AB)= P(A)P(B)P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C)四个等式同时 成立,则称事件A、B、C 相互独立.第六节：第六节：定理 对于 n 重贝努利试验，事件 A 在 n 次试验中出现 k 次的概率为k kk kn n k kP Pn n( (k k) ) C Cn np p q qk k 0 0, ,1 1, , , ,n n, ,q q 1 1 p p总结：

9、1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，请牢固掌握。3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，应正确理解并应用于概率的计算。4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广泛。第二章：随机变量及其分布第二章：随机变量及其分布1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。分布函数：设 X 是一个 r.v，x 为一个任意实数，称函数F(X)=P（Xx）为 X 的分布函数。X 的分布函数是 F(x)记作 X F(x) 或 FX(x).如果将

10、 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x) 的值就表示 X 落在区间 （xX）。3、离散型随机变量及其分布定义 1 ：设 xk(k=1,2, )是离散型随机变量 X 所取的一切可能值，称等式 P(X=xk)=PK, 为离散型随机变量 X 的概率函数或分布律，也称概率分布.其中 PK,0；Pk=1分布律与分布函数的关系：（1）已知随机变量 X X 的分布律，可求出 X X 的分布函数：设一离散型随机变量 X 的分布律为PX=xPX=xk k=p=pk k(k=1(k=1，2 2，)由概率的可列可加性可得 X X 的分布函数为F F ( ( x x) ) P P X X x x 即即 F

11、F ( ( x x) ) x xk k x x P P X X x xk k x xk k x x p pk k已知随机变量 X X 的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。（2）已知随机变量 X X 的分布函数，可求出 X X 的分布律：P P X X x xk k F F( (x xk k) ) F F( (x xk k 0 0) )k k 1 1, , 2 2, , 3 3, ,一、 三种常用离散型随机变量的分布. 1（0 01 1）分布：设随机变量 X X 只可能取 0 与 1 两个值，它的分布律为PX=k=pPX=k=pk k(1-p)(1-p)1-k1-k , k=0 , k=0，1

12、. (0p1)1. (0p1)则称 X X 服从（0 01 1）分布,记为 X X?（0 01 1）分布。（0 01 1）分布的分布律用表格表示为：X 0 1P 1-p p易求得其分布函数为2.二项分布（binomial distribution)：定义：若离散型随机变量 X 的分布律为x x 0 0 0 0 F F( (x x) ) 1 1 p p0 0 x x 1 1 p px x 1 1 k k 0 0, ,1 1, , ,n nk kk k1 1 k kP P X X k k C Cn np p q q其中 0p1,q=1-p,0p0 是常数,则称 X 服从参数为 入 的泊松分布,记作

13、XP(入).、连续型随机变量1 概率密度概率密度 f(x)的性质的性质（1）f(x)0f(x)0（2）k k!,k k0 0,1 1,2 2, , f f ( (t t) )dt dt 1 1P P x x1 1 X X x x2 2 F F( (x x2 2) ) F F( (x x1 1) ) f f ( (x x) )dxdxx x2 2x x1 1(3).X X 落在区间(x (x1 1，x x2 2) )的概率几何意义：X X 落在区间(x (x1 1，x x2 2) )的概率 PxPx1 1Xx0则称 X 服从参数为 入的指数分布.1 1 e e指数分布的分布函数为F F( (x

14、x) ) 0 0 x xx x 0 0 x x 0 0指数分布的一个重要特性是”无记忆性”.设随机变量 X 满足：对于任意的 so，t0,有则称随机变量 X 具有无记忆性。3. 正态分布若 r.v X 的概率密度为1 1f f(x x)e e 2 2 (x x )2 22 2 2 2P P X X s s t t | | X X s s P P X X t t , x x 2其中 和都是常数， 任意， 0，2则称 X 服从参数为 和的正态分布.记作XN(,2)f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.0,1的正态分布称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换

15、转化为标准正态分布.随机变量函数的分布设 X 为连续型随机变量，具有概率密度 fx(x)，求 Y=g(X) （g 连续）的概率密度。1一般方法分布函数法可先求出 Y 的分布函数 FY(y)：因为 FY(y)=PYy=Pg(X)y，设 ly=x|g(x)y则F FY Y y y P P X X l ly y f fX X( (x x) )dxdx l ly yg g( (x x) ) y yf fX X( (x x) )dxdxf fY Y y y F FY Y ( (y y) )再由 FY(y)进一步求出 Y 的概率密度2. 设连续型随机变量 X 的密度函数为?X(x), y=f(x)连续,

16、求 Y= f(X)的密度函数的方法有三种：（1）分布函数法；（2）若 y=f(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则可用公式法；（3）若 y=g(x)在不相重叠的区间 I1,I2,上逐段严格单调，其反函数分别为 h1(y), h2(y), ,且 h?1(y), h ?2(y),均为连续函数，则 Y= g(X)是连续型随机变量，其密度函数为YyXh1yh1yXh2yh2y对于连续型随机变量，在求 Y=g(X) 的分布时，关键的一步是把事件 g(X) y 转化为 X 在一定范围内取值的形式，从而可以利用X 的分布来求 P g(X) y .。第三章第三章 、多维随机变量、多维随机变量设设 ( ( X

17、 X , ,Y Y ) ) 是二维随机变量是二维随机变量, , 对于任意实数对于任意实数x x , , y y, ,二元函数二元函数: :F F ( ( x x , , y y ) ) P P ( ( X X x x ) )( (Y Y y y ) ) P P X X x x , ,Y Y y y 称为二维随机变量称为二维随机变量( ( X X , ,Y Y ) ) 的分布函数的分布函数, ,或称为随机变或称为随机变和和 Y Y 的联合分布函数的联合分布函数. .量量 X X. 分布函数的性质1 1o oF F( (x x, , y y) ) 是变量是变量 x x 和和 y y的不减函数的不减

18、函数, ,即对于任即对于任意固定的意固定的y y, ,当当x x2 2 x x1 1时时F F( (x x2 2, , y y) ) F F( (x x1 1, , y y), ),2 2o o0 0 F F( (x x, ,y y) ) 1 1, ,对于任意固定的 y，对于任意固定的 x，F F( (, , y y) ) limlim F F( (x x, , y y) ) 0 0, ,x xF F( (x x, ,) ) limlim F F( (x x, , y y) ) 0 0, ,y yF F( (, ,) ) x xlimlim F F( (x x, , y y) ) 0 0, ,

19、F F( (, ,) ) x xlimlim F F( (x x, , y y) ) 1 1. .y y3 3o oy yF F( (x x, , y y) ) F F( (x x 0 0, , y y) ), , F F( (x x, , y y) ) F F( (x x, , y y 0 0) ), ,对于任意对于任意( (x x1 1, , y y1 1), ),( (x x2 2, , y y2 2), ), x x1 1 x x2 2, , y y1 1 y y2 2, ,即即 F F( (x x, , y y) )关于关于 x x 右连续右连续, ,关于关于 y y 也右连续也右连

20、续. .4 4o o有有 F F( (x x2 2, ,y y2 2) ) F F( (x x2 2, ,y y1 1) ) F F( (x x1 1, ,y y1 1) ) F F( (x x1 1, ,y y2 2) ) 0 0. .离散型随机变量的分布、设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 ( (X X, ,Y Y) )所有可能取的所有可能取的P P X X x xi i, ,Y Y y yj j p pij ij, ,i i, , j j 1 1, , 2 2, , ,值为值为( (x xi i, , y yj j), ), i i, , j j 1 1, , 2 2, , , 记

21、记或随机变量或随机变量 X X 和和Y Y 的联合分布律的联合分布律. .连续型随机变量及其概率密度性质称此为二维离散型随机称此为二维离散型随机变量变量 ( (X X, ,Y Y) ) 的分布律的分布律, ,其中其中 p pij ij 0 0, ,p pij ij 1 1. .i i 1 1j j 1 1 f f ( (x x, , y y) ) d d x xd d y y F F( ( , , ) ) 1 1. .(3)(3)设设G G是是xOyxOy平面上的一个区域平面上的一个区域, ,点点( (X X, ,Y Y) )落在落在G G内的概率为内的概率为 ( (1 1) ) f f (

22、(x x, , y y) ) 0 0. .( (2 2) ) P P( (X X, ,Y Y) ) G G f f ( (x x, , y y) )d d x xd d y y. . 2 2F F( (x x, , y y) )( (4 4) )若若 f f ( (x x, , y y) )在在( (x x, , y y) )连续连续, ,则有则有 f f ( (x x, , y y) ). . x x y y设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 ( (X X, ,Y Y) )的联合分布的联合分布律为律为记记P P X X x xi i, ,Y Y y yj j p pij ij, ,i

23、i, , j j 1 1, ,2 2, ,. .p pi i p pij ij P P X X x xi i, ,i i 1 1, ,2 2, , ,j j 1 1 G G边缘分布 1 离散型随机变量的边缘分布律p p j j p pij ij P P Y Y y yj j, ,i i 1 1j j 1 1, ,2 2, , ,分别称分别称 p pi i ( (i i 1 1, ,2 2, ,) )和和 p p j j( ( j j 1 1, ,2 2, ,) )为为( (X X, ,Y Y) )关于关于 X X 和关于和关于Y Y 的边缘分布律的边缘分布律. .连续型随机变量的边缘分布对于连

24、续型随机变量 (X ,Y), 设它的概率密FX(x)F(x,)f (u,v)dvdu,x度为 f (x, y),由于记fX(x)f (x,v)dv,称其为随机变量 (X ,Y) 关于 X 的边缘概率密度.随机变量的独立性：设设 F F( (x x, , y y) ) 及及 F FX X( (x x) ), , F FY Y( (y y) )分别是二维随机变分别是二维随机变 量量函数函数. .若对于所有若对于所有 x x, , y y( (X X , ,Y Y) )的分布函数及边缘分布的分布函数及边缘分布有有P P X X x x, ,Y Y y y P P X X x x P P Y Y y

25、y, ,F F( (x x, , y y) ) F FX X( (x x) )F FY Y( (y y) ), ,即即则称随机变量则称随机变量 X X 和和Y Y 是是相互独立相互独立的的. .(3)设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f (x, y),边缘概率密度分别为fX(x), fY(y),则有X X 和和Y Y 相互独立相互独立f f ( (x x, , y y) ) f fX X( (x x) ) f fY Y( (y y). ).两个随机变量函数的分布一、量函数的分布离散型随机变P P X X x xi i, ,Y Y y yj j p pij ij, ,i i, , j j

26、1 1, , 2 2, , , ,若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量 的分布律为的分布律为则随机变量函数则随机变量函数 Z Z g g( (X X, ,Y Y) )的分布律为的分布律为二、量函数的分布P P Z Z z zk k P P g g( (X X, ,Y Y) ) z zk k 连续型随机变2 2一般一般, , 设设 X X , ,Y Y 相互独立且相互独立且 X X N N( ( 1 1, , 1 1) ), ,Y Y 2 2N N( ( 2 2, , 2 2) ). .则则Z Z X X Y Y仍然服从正态分布仍然服从正态分布, ,且有且有Z Z N N( ( 1 1 2

27、2, , ) ). .2 21 12 22 2第四章第四章. . 、随机变量的数字特征、随机变量的数字特征随机变量的数学期望若若 X X1 1, ,X X2 2, , ,X Xn n相互独立相互独立, ,且且 X Xi i服从参数为服从参数为 i i, , ( (i i 1 1, ,2 2, , ,n n) )的的 分布分布, ,则则X X1 1 X X2 2 X Xn n服从参数为服从参数为 i i, , 的的 分布分布. .i i 1 1n nE(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 ,它从本质上体现了随机变量X 取可能值的真正的平均值, 也称均值.2.连续型随机

28、变量数学期望的定义设离散型随机变量设离散型随机变量 X X 的分布律为的分布律为设连续型随机变量设连续型随机变量 X X 的概率密度为的概率密度为 f f ( (x x) ), , 若若P P X X x xk k p pk k, ,k k 1 1, , 2 2, ,. .积分积分x xk kp pk k绝对收敛绝对收敛, ,d d则称级数则称级数x xk kp pk k为随机为随机 x x f f ( (x x) )x x k k 1 1k k 1 1 若级数若级数 变量变量 X X 的数学期望的数学期望, , 记为记为) ) ). .d d即即绝对收敛绝对收敛, ,则称积分则称积分x x(

29、 (f fX X( (x xx x 的值为随机变量的值为随机变量 E EX X 的数学期望的数学期望 记为记为x xE E( (p pX X. .) ). .即即E E( (X X) ), , k kE E( (X X) ) x x f f( (x x) )d dx x. . k k 1 1 k k 数学期望的本质 定积分 它是一个数不再是随机变量3.数学期望的性质E (C ) = CE (CX ) = CE (X )E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )nEaiXiCaiE(Xi)Ci1i1n当 X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y )若存在数 a

30、使 P(X ? a) = 1, 则 E (X ) ? a ；若存在数 b 使 P(X ? b) = 1, 则 E (X ) ? b.第二节：随机变量的方差方差的定义设设 X X 是一个随机变量是一个随机变量, , 若若 E E X X E E( (X X) ) 2 2 存在存在, ,则称则称 E E X X E E( (X X) ) 2 2 为为 X X 的方差的方差, ,记为记为 D D( (X X) )或或 Var(Var(X X) ), ,即即D D( (X X) ) Var(Var(X X) ) E E X X E E( (X X) ) 2 2 . .D(X ) 描述 r.v. X 的

31、取值偏离平均值的平均偏离程度5. 随机变量方差的计算利用公式计算D D( (X X) ) E E( (X X2 2) ) E E( (X X) )2 2. .方差的性质 1.D (C) = 0 2.D (CX ) = C2D(X)D(aX+b ) = a2D(X)D(XY)D(X )D(Y) 2E(XE(X)(YE(Y)特别地，若 X ,Y 相互独立，则D(X Y) D(X) D(Y)若 Xi，Xj均相互独立，a1, a2, an, b均为常数，则nD aiXibi12aiD ( Xi)i1n2 若 X ,Y 相互独立可得逆命题不成立；D(X Y) D(X) D(Y)E(X)E(Y)3 若 X

32、 ,Y 相互独立可得E(XY) 逆命题不成立。4. 对任意常数 C, D (X ) ? E(X C)2,当且仅当 C = E(X )时等号成立5. D (X ) = 0 等价于 P (X = E(X)=1 称为 X 依概率 1 等于常数 E(X)。切比雪夫不等式设随机变量 X 有期望 E(X)和方差，则对于任给 0, 2P P|X X E E(X X)| 2 2P P|X X E E(X X)| 12 第三节、协方差与相关系数量量 E E X X E E( (X X) ) Y Y E E( (Y Y) ) 称为随机变量称为随机变量 X X与与Y Y 的协方差的协方差. . 记为记为Cov(Co

33、v(X X , ,Y Y) ), ,即即C Cov(ov(X X , ,Y Y) ) E E X X E E( (X X)Y Y E E( (Y Y) ) . .若 XYCov(X,Y) 0 ,则称 x，y 不相关。XY注：（1）X 和 Y 的相关系数又成为标准协方差，它是一个无量纲的量。为随机变量 X 与Y 的相关系数.2、若随机变量 X 和 Y 相互独立 Cov(Cov(X X, ,Y Y) ) E E X X E E( (X X)Y YD(X)D(Y) E E( (Y Y) E E X X E E( (X X) )E E Y Y E E( (Y Y) ) 0 0. .D D( (X X

34、Y Y) ) D D( (X X) ) D D( (Y Y) ) 2 2E E X X E E( (X X)Y Y E E( (Y Y) D D( (X X) ) D D( (Y Y) ) 2 2CovCov( (X X, ,Y Y) )D D( (X X) ) D D( (Y Y). ). 协方差的计算公式1、E(X)E(Y)2、(Y)+2Cov(X,Y)协方差的性质：( (1 1) )Cov(Cov(X X, ,Y Y) ) Cov(Cov(Y Y, ,X X); );( (2 2) ) Cov(Cov(aXaX, ,bYbY) )( (3 3) )Cov(Cov(X X相关系数：1、2、

35、二维正态分布密度函数中，参数 p 代表了与 Y 的相关系数。二维正态随机变量 X 和 Y 相关系数为零等价于 X 和 Y 相互独立。即 XY 相互独立 等价于 XY 不相关不相关的充要条件1 1Cov(X,Y)=E(XY)-D(X+_Y)=D(X)+D ababCov(Cov(X X, ,Y Y) ), ,a a, , b b为常数为常数; ; X X2 2, ,Y Y) ) Cov(Cov(X X1 1, ,Y Y) ) Cov(Cov(X X2 2, ,Y Y). ).于是于是 XYXY Cov(Cov(X X, ,Y Y) ) . .D D( (X X) ) D D( (Y Y) )1

36、1o o2 2o oX X, ,Y Y 不相关不相关 XYXY 0 0; ;X X, ,Y Y 不相关不相关 Cov(Cov(X X, ,Y Y) ) 0 0; ;X X, ,Y Y 不相关不相关 E E( (XYXY) ) E E( (X X) )E E( (Y Y). ).3 3o o相关系数的性质：( (1 1) ) XYXY 1 1. .( (2 2) ) XYXY 1 1的充要条件是的充要条件是 : :存在常数存在常数 a a, , b b 使使P P Y Y a a bXbX 1 1. .第五章：极限定理第五章：极限定理大数定理：设Xn为一随机变量序列,E(Xn)存在，记1 1n

37、nY Yn n X Xi i E E X Xi i n n 1 1, ,2 2, ,n ni i 1 1n n 1 1若若 limlimP P Y Y limlimP P X Xi i E E X Xi i 1 1, ,n nn n n n n ni i 1 1 则称Xn服从（弱）大数定律。切比雪夫大数定律：设 X1,X2, 是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi) K，i=1,2, ，则对任意的 01n n1n nlim P P|n nn nX Xi i1i in nE E(X X )| 1i i1i i马尔科夫条件：在切比雪夫大数定理的证明过程中可以

38、看出1 1n n只要 (， 则大数定理就能成立。limlimD D( (X X ) ) )0 0n n 切比雪夫大数定律的特殊情况：设 X1,X2, 是独立随机变量2 序列，且 E(Xi)=，D(Xi)=， i=1,2,则对任给 n n2 2 i i 1 1i i0,1n nlim P P|X Xi i | 1n n辛钦大数定律：设随机变量序列 X1,X2, 独立同分布，具有有限的n ni i11n n数学期 E(Xi)=, i=1,2,， 则对任给 0 ，lim P P|X Xi i | 1n nn ni i1辛钦大数不要求随机变量的方差存在.它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.中心极限定理：独立同分布下的中心极限定理：设设 X X1 1, ,X X2 2, , 是独立同分布的随机变量序列，且是独立同分布的随机变量序列，且 E E( (X Xi i)=)= ，D D( (X Xi i)=)=2，i i=1,2,=1,2,，则，则lim P PX Xi i1n ni in nx xx x-1-t22edt2 n nn n注：参考资料概率论 数理统计 随机过程郭永江老师的教学课件作者：胡细宝 孙洪祥 王丽霞