南京市盐城市2016年度届高三年级第一次模拟考试数学试题.doc

_* 南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试 数 学 试 题 (总分160分，考试时间120分钟) 参考公式 锥体的体积公式：，其中为底面积,为高. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合，，则= ▲ . S←1 For I From 1 To 7 step 2 S←S + I End For Print S 第4题图 2．已知复数（是虚数单位），则 ▲ . 3．书架上有本数学书，本物理书，从中任意取出本， 则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ . 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ . 5．某校高一年级有学生人，高二年级有学生人， 现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人，其中 从高一年级学生中抽出人，则从高三年级学生中抽 取的人数为 ▲ . 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为 ▲ . 7．已知实数满足则目标函数的最小值为 ▲ . 8．设一个正方体与底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 ▲ . A B C D 第11题图 9．在中，设分别为角的对边，若，，，则边= ▲ . 10．设是等比数列的前项和，，若 ，则的最小值为 ▲ . 11．如图，在中，，，，则的值为 ▲ . 12．过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，则直线的方程为 ▲ . 13．设是定义在上的奇函数，且，设 若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 ▲ . 14．设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是 ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分) 设函数的部分图象如图所示. O x y 第15题图 2 （1）求函数的解析式； （2）当时，求的取值范围. 16．(本小题满分14分) A C B M O A1 C1 B1 第16题图 如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，，是棱的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 17．(本小题满分14分) 如图所示，是两个垃圾中转站，在的正东方向千米处，的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面建一个垃圾发电厂. 垃圾发电厂的选址拟满足以下两个要求（可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大）. 现估测得两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？ B A 居民生活区 第17题图 北 18．(本小题满分16分) 如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别记为. （1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程； x O 第18题图 y M P Q （2）若. ①求证：； ②求的最大值. 19．(本小题满分16分) 已知函数在处的切线方程为. （1）求的值； （2）若对任意的，都有成立，求的取值范围； （3）若函数的两个零点为，试判断的正负，并说明理由. 20．(本小题满分16分) 设数列共有项，记该数列前项中的最大项为，该数列后项中的最小项为，. （1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式； （2）若数列满足，，求数列的通项公式； （3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由. 南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分 （本部分满分40分，考试时间30分钟） 21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） A.（选修4—1：几何证明选讲） A B D E O 第21(A)题图 C 如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点，，，、为垂足，连接. 若，，求的长. B.（选修4—2：矩阵与变换） 设矩阵的一个特征值为，若曲线在矩阵变换下的方程为，求曲线的方程. C．（选修4—4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，已知点的极坐标为，圆的极坐标方程为， 试判断点和圆的位置关系. D．(选修4—5：不等式选讲） 已知正实数满足. 求证：. [必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分） 直三棱柱中，，，，，. （1）若，求直线与平面所成角的正弦值； （2）若二面角的大小为，求实数的值. B A C D B1 A1 C1 第22题图 23．（本小题满分10分） 设集合，记的含有三个元素的子集个数为，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为. （1）求，，，的值； （2）猜想的表达式，并证明之. 南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由图象知，， …………2分 又，，所以，得. …………4分 所以，将点代入，得， 即，又，所以. …………6分 所以. …………8分 （2）当时，， …………10分 所以，即. …………14分 16．证明：（1）在中，因为是的中点，是的中点， 所以. ..............4分 又平面，平面，所以平面. ..............6分 （2）因为是直三棱柱，所以底面，所以， 又，即，而面，且， 所以面. ..............8分 而面，所以， 又是正方形，所以，而面，且， 所以面. .............12分 又面，所以面面. ..............14分 17．解法一：由条件①，得. ...............2分 设，则， ..............6分 所以点到直线的距离 ， ...............10分 所以当，即时，取得最大值15千米. 即选址应满足千米，千米. ...............14分 解法二：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系. ...............2分 B A y x O P 则. 由条件①，得. ...............4分 设，则， 化简得，， ...............10分 即点的轨迹是以点（）为圆心、为半径的圆位于轴上方的半圆. 则当时，点到直线的距离最大，最大值为千米. 所以点的选址应满足在上述坐标系中其坐标为即可. ...............14分 18．解：（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为， ...............2分 从而圆的方程为. …………4分 （2）①因为圆与直线相切，所以， 即， …………6分 同理，有， 所以是方程的两根， …………8分 从而. …………10分 ②设点，联立，解得， …………12分 同理，，所以 ……………14分 ， 当且仅当时取等号. 所以的最大值为. ……………16分 19. 解：（1）由题意得，因函数在处的切线方程为， 所以，得. ……………4分 （2）由（1）知对任意都成立， 所以，即对任意都成立，从而. ……………6分 又不等式整理可得，令， 所以，得， ……………8分 当时，，函数在上单调递增， 同理，函数在上单调递减，所以， 综上所述，实数的取值范围是. ……………10分 （3）结论是. ……………11分 证明：由题意知函数，所以， 易得函数在单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可. ……12分 因为是函数的两个零点，所以，相减得， 不妨令，则，则，所以，， 即证，即证， ……………14分 因为，所以在上单调递增，所以， 综上所述，函数总满足成立. ……………16分 20．解：（1）因为单调递增，所以，， 所以，. ……………4分 （2）根据题意可知，，，因为，所以 可得即，又因为，所以单调递增， ……………7分 则，，所以，即，， 所以是公差为2的等差数列，，. ……………10分 （3）构造，其中，. ……………12分 下证数列满足题意. 证明：因为，所以数列单调递增， 所以，， ……………14分 所以，， 因为， 所以数列单调递增，满足题意. ……………16分 （说明：等差数列的首项任意，公差为正数，同时等比数列的首项为负，公比，这样构造的数列都满足题意.） 附加题答案 21. A、解：因为与相切于，所以， …………2分 又因为为的直径，所以. 又，所以，所以，所以. …………4分 又，，所以. 所以，所以， ………… 6分 又，所以. …………10分 B、由题意，矩阵的特征多项式， 因矩阵有一个特征值为2，，所以. …………4分 所以，即， 代入方程，得，即曲线的方程为. ………10分 C、解：点的直角坐标为， …………2分 圆的直角坐标方程为， …………6分 则点到圆心的距离， 所以点在圆外. …………10分 D、解：因 ，………6分 又，所以， 即. …………10分 22．解：分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，…………2分 （1）当时，为的中点，所以，，，，设平面的法向量为 则，所以取，又， 所以直线与平面所成角的正弦值为. …………6分 （2），，，， 设平面的法向量为，则， 所以取. …………8分 又平面的一个法向量为，由题意得， 所以，解得或（不合题意，舍去）， 所以实数的值为. …………10分 23.解：（1），，，. ……………4分 （2）猜想. ……………5分 下用数学归纳法证明之. 证明：①当时，由（1）知猜想成立； ②假设当时，猜想成立，即，而，所以得. ……6分 则当时，易知， 而当集合从变为时，在的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和个， ……………8分 所以 ， 即. 所以当时，猜想也成立. 综上所述，猜想成立. ……………10分 （说明：未用数学归纳法证明，直接求出来证明的，同样给分.）