均值不等式在中学数学中的应用.doc

.- 目 录 摘要 I Abstract II 第一章 绪论 1 1.1 引言 1 第二章 均值不等式 1 2.1 均值不等式代数背景 1 2.2 均值不等式几何背景 1 2.3 均值不等式及其变形 3 第三章 求解最值问题 4 3.1 求解函数最值 4 3.1.1 拼凑法求解函数最值 4 3.1.2 分离法求解函数最值 6 3.1.3 整体代换的方法求函数最值 6 3.1.4 换元法求最值 7 3.1.5 取平方 8 3.1.6 参数法 8 3.2 求参数最值 9 3.3 生活中的最优化问题 10 3.4 几何中的最值问题 12 第四章 比较大小 13 4.1 分析法 13 4.2 放缩法 14 第五章 证明不等式 14 5.1 拆项法 15 5.2 分析法 15 5.3 添项法 15 5.4 综合法 16 5.5 比较法 17 结束语 17 参考文献 18 致谢 19 均值不等式在中学数学中的应用 学生：唐沁 指导老师:郑凤霞 摘要：均值不等式属于高二教材教学内容的一个部分，在中学数学中占有一席之地，是数学学科在初级甚至于高级阶段应用范围比较大的一类重要的不等式，理解它比较容易，但能够灵活运用它解决问题却是有些难度的，需要深刻体会均值不等式的含义，抓住关键的题型，掌握相关技巧，若能在恰当的时候引入它，对于解决某些问题是一个很好的辅助工具，可达到事半功倍的效果，使其具有研究的重大意义。本文就均值不等式的证明过程，历史起源，以及在中学数学各种题型中的应用进行举例说明，并进行归纳总结。 关键词：技巧; 中学数学应用; 均值不等式； APPLICATION OF MEAN VALUE INEQUALITYIN MATHEMATICS TEACHING IN HIGH SCH00L Student: Tang Qin Instructor: Zheng Fengxia Abstract the average value inequalityis ateaching contentin high school textbooks,andin the middle school it plays an important role. In primary or even the advanced stage, the average value inequality is widely applied over large range. It is easy for us to understand, but hard to flexibly put it into practice to solve problems. So we ought to profoundly comprehend the meaning of the average value inequality,master the classic topics and acquire the related skills. The average value inequality would be a good assist, if it is introduced at the proper time, which can make us achieve a double effect with half effort. Hence, the research has a great significance. This paper presents the process of the average value inequality, historical origins, give examples about all kinds of topics in middle schools, and finally make a conclusion. Keywords: skill; the middle school mathematics application; mean inequality; 第一章 绪论 1.1 引言 我们知道等量关系是自然界中所存在的一种基本数量关系，事实上还存在着大量的不等量关系，是与现实世界和日常生活中的方方面面紧密联系着的，不等式在一定程度上描述了不等量关系，不仅研究数的不等关系，而且在数、式、方程、函数、三角等方面都有所涉及，给各类实际问题的解决提供了途径，因此，不等式的学习是有其必要性的。均值不等式作为不等式的一个重要组成部分，包括着等价和非等价关系，应该有自己的理解，虽然在新的课程改革下，下降了均值不等式的一部分，但作为在数学科目中应用较为广泛的一类不等式，利用均值不等式求解仍是高考易考查的，在均值不等式的推导过程中，我们不但看到了它代数背景，同时也看到了它的几何背景，结合了数量的发展和行的思想，但在实际应用中，应该进行适当的改造和变换，达到解决问题的目的，因此在运用均值不等式进行操作时得注意以下几点： （1）注意运用不等式的条件；（2）注意公式的逆用和变用；（3）注意应用过程中的变形. 在本文中，以均值不等式在求最值，比较大小，证明不等式，解决实际问题为例。 第二章 均值不等式 2.1 均值不等式代数背景 利用不等式的性质，直接导出 2.2 均值不等式几何背景 第24届国际数学家大会在北京召开，抽象出会标图形（如图1），再由图形中的相关面积间所存在的数量关系，易得出不等式，进而从三种不同的角度来认识和理解均值不等； （图1） 在上图中有4个全等的直角三角形，可设直角三角形的两条直角边的长分别为，则4个直角三角形的面积和为，由勾股定理可得出正方形的边长是，那么正方形的面积就为。从图形观察出4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的面积，则得到了一个不等式。 当直角三角形变为等腰直角三角形时，也即是时，正方形EFGH所为一个点，这时有。 （1） 当时，在不等式中，以分别代替,得到； （2） 在初中阶段就已熟知的几何图形中，通过数形结合，赋予不等式几何直观，从几何角度看不等式，明白成立条件，以及什么时候能取等号； （3） 在不等式的证明过程中，以填空形式突出体现了证明的关键步骤，加大证明不等式的探究力度。通过实际问题分析该不等式的使用价值，感受数学的应用价值。 如下图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。 (图2) 容易看出圆的半径等于，利用三角形ACD与三角形DCB相似，得，即（图中的），从图中易知，即。 2.3均值不等式及其变形 均值不等式（本文主要借助算术平均数与几何平均数大小关系来解决问题，并且以二维形式和三维形式出现）及其变形的形式化写法为： （1）；（当且仅当a=b时取“=”） （2）；（当且仅当a=b时取“=”） （3）；（当且仅当a=b时取“=”） （4）；（当且仅当a=b时取“=”） （5）；（当且仅当a=b时取“=”） （6）若，则；（当且仅当a=b=c时取“=”） （7）若，则；（当且仅当a=b=c时取“=”） （8）；（a,b同号且不为0） 说明： （1）第一个式子称为均值不等式或基本不等式，第三式称为重要不等式。 （2）我们称为算数平均数，为几何平均数，因此该不等式用文字语言描述为两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数。 （3）“当且仅当”的含义是等价。 从均值不等式还可观察出：当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值；当两个正数的和为定值时，可以求它们积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。但应注意: （1）使用均值不等式的前提条件：函数式中的各项都必须是正数，在各项是异号时不能用均值不等式，在各项均为负号时可以用过提取负号，把各项都转化为正号，进而再运用均值不等式； （2）在一些不能一眼就能看出可用均值不等式解决的题型里，可通过加减的方式凑成能够使用几何平均数与算数平均数的形式； （3）当题目中出现关于“1”的等式时，注意“1”的代换；④等号是否能取到，只有等号成立时，才能使函数式取到最大值或最小值，否则不能运用均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值。 综上：可得到运用均值不等式的口诀:一正二定三相等。 第三章 求解最值问题 3.1求解函数最值 利用均值不等式求函数最值的题型是高考的热门考点之一，通过分析均值不等式在求函数最值中的应用,提供了求函数最值新的方法,给函数最值求解注入了新鲜的血液,但在用均值不等式时的先决条件“一正二定三相等”，有时在解题过程中是需要拼凑，分离，代换等多种手段实现的，所以掌握一定的求函数最值的技巧是必要的。 3.1.1 拼凑法求解函数最值 例3.1.1.1求函数的最大值。 解：由可知， 进而可用均值不等式得，， 因此有，， 当且仅当即时，等号成立。 所以当时，函数取得最大值8。 评注：对于该小题，可以用函数的单调性进行求解，不过，通过巧妙地为函数凑上一个系数，使得的和为定值，进而运用均值不等式，更简便地求出函数最值。 例3.1.1.2 求函数的最大值。 解：注意到，同时，是能够拼凑成。 因此可用均值不等式进行求解 当且仅当，即时，等号成立。 所以当时，原函数取到最大值0。 例3.1.1.3 求函数的最小值。 解：（当且仅当时取等号）所以原函数的最小值为8。 评注：求目标和的最值时，关键是凑到定积，使得含变量的因式的次数和为零，同时取到等号，进而化难为易，解决问题。 例3.1.1.4 设,则的最小值? 解： 当且仅当时取等号，如取时就满足 所以原式的最小值为4。 3.1.2 分离法求解函数最值 例3.1.2.1求出函数的最小值，其中。 解：因为，所以，将函数进行分拆可得 当且仅当时，即时取等号 所以当时，原函数取到最小值。 评注：本小题看似无法运用均值不等式解答，但对于这样分式类型的函数，可以先通过对分子进行配方，出现分母的项，然后分拆，即化为,且是恒正或恒负的形式，这样就能用均值不等式，求出函数最值。 3.1.3整体代换的方法求函数最值 例3.1.3.1 已知，并且，求二元函数的最小值？ 解：由题意可得： ， 又因为，可知，‚ 结合‚式知：， ƒ ƒ式左边依据均值不等式得： 所以，，即，当且仅当取等号，再结合 可知当时，二元函数取到最小值。 评注：本小题巧妙地利用数字9进行整体代换，进而建立等式，联系均值不等式求出二元函数的最值. 3.1.4 换元法求最值 例3.1.4.1求的最大值。 解：通过换元可得： ， ，当时，；当， 根据均值不等式得当且仅当即时，取等号。 综上当时，。 评注：通过换元的技巧，把原先看起复杂的式子转换成分式型求函数最值问题，观察积为定值，为能用均值不等式创造有利条件。 例3.1.4.2 求函数的值域。 解：由上式形式可令 ，则= 因为，但是解得不在区间，所以等号不能取到，得从单调性方向考虑，又因为为对勾函数，所以在区间上单调递增，因此在其子区间上也是单调递增的，故，所以，所求函数的值域为。 评注：切莫忽略利用均值不等式求最值时相等这一条件，若遇到等号取不到的情况，结合函数的单调性解决。 3.1.5 取平方 例3.1.5.1求（）的最大值。 解：观察到两个根号里面的式子的和为定值，因此 又，所以， 当且仅当时取等号。 故 评注：本小题将式子两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式求解做下铺垫。 结语：均值不等式形式多样，在有些题中可直接套用，但对于一些求函数最值的题中，必须观察题目中已知条件的特点以及注意“一正二定相等”的条件，需对原式子进行巧妙变形后，才能用均值不等式解决，并且应该注意一题多法，多法结合，这样才能熟练掌握变形技巧，更加简便地求解。 3.1.6 参数法 例3.1.6.1 设，，则的最大值? 解：令，则 当，即，所以当时，取得最大值。 例3.1.6.2 求（）的最小值。 解：如果根据均值不等式，当，即时才取得等号，但对于正弦函数，它的范围是，所以该题的等号是取不到的。 设，则，这是一个对勾函数，在上单调递减，所以，所以原式最小值为5。 评注：忽视了等号成立的条件导致错用均值不等式求最值的典型例题，这时得用相关函数的单调性进行解决了。 3.2 求参数最值 例3.2.1已知且，若不等式是恒成立的，求实数的最大值? 解：根据题意可令，又因为， 所以， 由上式可得，且 ，左边式子可利用均值不等式的，即，所以 最后求出最大值是16. 评注：灵活的运用关于“1”的恒等式以及不等式恒成立。 例3.2.2若对任意的，是恒成立的，则的最小值是? 解：当且仅当时取等号 当且仅当取等号 所以原分式的最大值是，则的最小值是。 评注：联系到不等式恒成立，再通过把分式的分子与分母同时除以，得到能用均值不等式所能解决的问题。 例3.2.3若对任意正实数，不等式恒成立，则的最小值是? 解：要使恒成立，即使恒成立，因为 所以，当且仅当时取等号，所以，故。 评注：关于求解恒成立的问题的方法较多，本小题利用的是分离变量法，再结合均值不等式进行放缩，从而求得实数的最小值。 3.3 生活中的最优化问题 均值不等式在解决现实生活最优化问题中也有着较为广泛的应用，要解决它，就需要运用到数学模型，而数学模型就常用到不等式的知识，尤其是均值不等式，如果能够把均值不等式与实际问题恰当地联系起来，对于某些问题也就能迎刃而解了，在用均值不等式解答问题时可遵循以下步骤： ①阅读题目，理解题意，设合适的变量（比如设变量时一般把要求最值的变量定为函数）； ②根据题意建立起相应的函数关系式，把实际问题转化成函数的最大值或最小值问题，从数学角度解决； ③注意函数的定义域以及前提条件； ④利用均值不等式求出函数的最值，写出正确答案。 例3.3.1某工厂用木料制作如下图所示的框架，框架的下部是边长分别为（单位：）的长方形，上部是等腰直角三角形。规定框架所围成的总面积是8,求分别为多少时所要材料最少? 解：根据题意可知 把x,y分离开得：，其中（） 当且仅当，即，等号成立，此时； 则 故当x约为2.343，y约为2.828时用料最少。 例3.3.2某水利电站有一废弃的堤坝，就堤坝总长12,现准备在该地方重建堤坝，平面图形为矩形，面积是112，估计（1）修复1m旧堤坝的费用是建造1新堤坝费用的25%；（2）拆去1旧堤坝用以改造建成1新堤坝的费用是建1新堤坝的50%；（3）为了预防洪水，需在堤坝的适当处留出1的缺口。试问：这里建造的新堤坝应怎样利用留下来的旧堤坝，才能让所需费用最少? 解：由题意要想费用最少，得使旧堤坝全部利用起来，并把缺口留在新堤坝处最好，设修复成新堤坝的旧堤坝为,则拆改成新堤坝的旧堤坝为 所以还需要建造新堤坝的长是 再设建造1新堤坝需用元，建造堤坝的总造价为元 则 当且仅当，也即是时取等号 故拆除改造旧堤坝为米时，总造价最少。 例3.3.3 某工厂要建造一个长方体形无盖储水池，其容积为4800，深为3,如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 分析：水池是长方体形，高是3,地面的长与宽没有确定。如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了。因此应该考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。 解：设底面的长为,宽为,水池总造价为元。由题意有 由容积为4800，可得，因此 由基本不等式与不等式的性质，得 即 当，即，等号成立。 所以，将水池的地面设计成边长为40的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元。 3.4 几何中的最值问题 在平面几何和立体几何求解最值问题中也体现出了均值不等式这一工具的重要性，往往先根据题干例出相关等式，再利用均值不等式进行由“等式”到“不等式”的转化，进而求解最值。 例3.4.1如果圆柱轴截面的周长为定值,那么圆柱体积的最大值是? 解:由题意可设圆柱底面半径为,高为,则,即; 所以, 故圆柱体积的最大值是. 例3.4.2 已知圆O的半径为1，PA,PB为该圆的两条切线，A,B为两切点，那么的最小值? 解：如图所示： 令，则，令 则当且仅当，即时等号成立。故。 第四章 比较大小 比较代数式的大小，有作差比较法，作商比较法，缩放法等基本方法，均值不等式自身也体现出了两个式子的大小关系，因此对于某些题型的特点，让均值不等式适时地穿插其中，可得到意想不到的结果，甚至对不能用基本方法解答的，也会迎刃而解。 4.1 分析法 例4.1.1 其中，则M,N,L的大小关系是? 解： 评注：均值不等式作为中学数学中重要的一类不等式，在判断大小关系上可充分发挥一定的作用，本小题中，又联系到对数相关知识的转换，使均值不等死灵活运用到其中，最终解决问题。 4.2 放缩法 例4.2.1已知，求证： 因为，所以，则 所以，命题得证。 评注：该小题同时考察了对数的相关运算以及均值不等式的变形模型，运用该模型作为桥梁得以放缩，让问题有了新突破口。 第五章 证明不等式 我们知道在中学中要证明不等式，通常分析法，综合法以及缩放法等，但在合适的时候结合均值不等式进行处理会让问题变得较容易求解。 5.1 拆项法 例5.1.1 已知，求证：。 解：因为，所以（当且仅当n=2时等号成立）。 例5.1.2 证明 解：因为，又 所以。 5.2 分析法 例5.2.1 已知为两两互不相等的实数，证明： 解：因为，且两两不相等 则有均值不等式可得 再把上面三个不等式的左边，右边分别相加可得 ，当且仅当时取等号 所以 原式得证 评注：注意到题目中的条件以及结合所要证明的不等式的形式，可以判断用均值不等式的变形即可解决，且应谨记成立的条件是不同的，前者要求是实数，后者要求是正数，切莫混为一谈。 5.3 添项法 例5.3.1对于，则。 解：因为，所以联系到均值不等式得到： 将以上不等式的左边和右边分别累加并移项得到： 原式得证。 评注：重要不等式可变形为，注意到题目中的左边的式子正是重要不等式的变形，所以联想用均值不等式解决。 例5.3.2 设且，求证：。 解：注意到需要证的不等式可以由基本不等式变形得出的模型(当且仅当a=b时取等号)求解 ,将上式左右两边分别相加，可见证明不了原不等式。发现是等号不成立造成的，那要让等号成立，的a=b=c. 则，所添项的值必为，所以添的项应为。将前面三个不等式相应改为，将上式相加再结合可得出。 评注：该模型丰富了均值不等式的运用，能将原本是分式不等式的分母去掉，但要注意“等号”是成立，若不成立，得对均值不等式再进行一次配凑。 5.4 综合法 例5.4.1已知正数满足,求证。 解：对于我们可先进行通分研究得 又因为，所以 同理可得‚，ƒ 再把‚ƒ式的左边和右边分别相乘即，原式得证。 评注：所证的不等式右边数字8，联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，因此需对三个因式分别进行变形进行解答。 5.5 比较法 例5.5.1 已知且.求证:。 解：因为，，，所以，则 = 所以。 评注：通过移项的手段，原题转化为证明式子大于或等于0，再进行通分，因式分解就让原命题得证。 结束语 均值不等式在中学数学中应用范围较广，贯穿于中学数学问题，是一种重要的辅助工具，本文就通过均值不等式在各种题型中的实际应用，进一步具体分析，深刻体会均值不等式的含义和功能，使得看似“无路可走”的问题变得“有迹可循”，进而攻克难题，解决实际问题，从而体现出它的数学应用价值，从学生角度看，感受探索的乐趣，体会数学的严谨性，认识到了数学事实上是与现实生活息息相关，紧紧相连的，进而提高他们的学习兴趣和积极性,形成理性思维，对于在什么时候选择用均值不等式进行求解,还需在教与学的实践中继续摸索和研究。 参考文献 [1] 赵培信,归雪萍. 基于均值不等式巧解函数最值问题[J]. 科教文汇,2011,3(下旬刊): 86-87. 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