2022年高中数学必修二复习教师版+学生版 .pdf
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1、1 高中数学必修二复习(教师版) 一、多面体(三视图、表面积、体积)二、空间两直线的位置关系:平行、相交、异面两异面直线所成的角:范围为(0, 90 直线1l:1110A xB yC,斜率1k与直线2l:2220A xB yC,斜率2kBkA,CbA 1、平行:12210,A BA B且12210ACA C或者1212,kk bb2、垂直:( 1)1k不存在,20k,则两直线一定垂直;(2)12120A AB B(斜率都存在时),或121k k3、夹角:限制条件 : 12kk或只有一个存在(1)夹角公式:2112tan1kkk k;(2)到角公式:2112tan1kkk k4、两平行线间的距离
2、:1222CCdAB5、点到直线的距离公式:0022AxByCdAB三、直线和平面的位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行1、直线在平面内有无数个公共点2、直线和平面相交有且只有一个公共点(1)直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,范围为0 ,90 (2)三垂线定理及逆定理 : 如果平面内的一条直线 ,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直(3)直线与平面垂直的判定:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面(4)直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行3、直线和平面平行没有公共点
3、(1)判定:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行(2)性质:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 31 页2 四、两个平面的位置关系:两个平面平行-没有公共点;两个平面相交 -有一条公共直线1、平行(1)判定:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(2)性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行2、相交(1)二面角(平面角)取值范围为0 ,180 ;直二面角:两平面垂
4、直(2)两平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直(3)两个平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。(4)二面角求法:直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理五、直线与方程1、直线的倾斜角取值范围是0 1802、直线的斜率用 k 表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当90,0时,0k;当180,90时,0k;当90时,k不存在3、过两点的直线的斜率公式:)(211212xxxxyyk注意下面三点:(1) 当21xx时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90;(2)k 与 P1、P
5、2的顺序无关;(3) 求斜率由直线上两点的坐标直接求得. 4、直线方程点斜式:)(11xxkyy直线斜率 k,且过点11, yx注意:当直线的斜率为0时,k=0,直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于0 x,所以它的方程是0 xx斜截式:bkxy,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b 两点式:112121yyxxyyxx(1212,xxyy)直线两点11,yx,22, yx截矩式:1xyab其中直线l与x轴交于点( ,0)a, 与y轴交于点(0, )b, 即l与x轴、y轴的截距分别为,a b一般式:0CByA
6、x(A,B不全为 0)注意: 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如:平行于x 轴的直线:by(b 为常数) ;平行于 y 轴的直线:ax(a 为常数) ;5、直线系方程:即具有某一共同性质的直线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 31 页3 (1)平行直线系平行于已知直线0000CyBxA(00,BA是不全为 0 的常数)的直线系:000CyBxA(C为常数)(2)垂直直线系垂直于已知直线0000CyBxA(00,BA是不全为 0 的常数)的直线系:000CyAxB(C为常数)(3)过定点的直线系 斜率为 k 的直线系:00
7、 xxkyy,直线过定点00, yx; 过两条直线0:1111CyBxAl,0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA(为参数) ,其中直线2l 不在直线系中6、两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21/ ll;方程组有无数解1l与2l重合7、距离公式(1)两点距离公式:设1122(,),A xyB xy,()是平面直角坐标系中的两个点,则222121|()()ABxxyy(2)点到直线距离公式:点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACBy
8、Axd(3)两平行直线距离公式:在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解或1222CCdAB六、圆的方程1、标准方程222rbyax,圆心ba,,半径为 r;2、一般方程022FEyDxyx当0422FED时,方程表示圆,此时圆心为2,2ED,半径为FEDr42122当0422FED时,表示一个点;当0422FED时, 方程不表示任何图形。3、求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求。若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。七、直线与圆1、直线与圆的位置关系:相离,相
9、切,相交:(1)设直线0:CByAxl,圆222:rbyaxC,圆心baC,到 l 的距离为22BACBbAad,则有相离与Clrd;相切与Clrd;(2)过圆外一点的切线:k 不存在,验证是否成立k 存在,设点斜式方程,用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 31 页4 圆心到该直线距离 =半径,求解 k,得到方程【一定两解】(3) 过圆上一点的切线方程:圆222()()xaybr,圆上一点为0,0()x y,则过此点的切线方程为2、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距( d)之间的大小比较来确定。设圆2212
10、11:rbyaxC,当rRd时两圆外离,此时有公切线4 条;当rRd时两圆外切,连心线过切点,有外公切线2 条,内公切线 1 条(共 3条公切线);当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有2 条外公切线;当rRd时,两圆内切,连心线经过切点,只有1 条公切线;当rRd时,两圆内含;当0d时,为同心圆。注意:已知圆上两点,圆心必在两点连线的中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线;圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点补充:一、重心中线的交点;垂心高的交点;外心中垂线的交点;内心角平分线的交点二、已知圆以1122,A x yB xy为直径,则该圆的方程为1212()()()()0 xxxx
11、yyyy三、切线长公式:00(,)P xy,圆, 则2200000dxyDxEyF四、弦长公式:弦两端点:111222,P x yPxy,弦所在直线的斜率为k,则2121dkxx或12211dyyk 例 1、如图, ABCD 是正方形, O是正方形的中心, PO 底面 ABCD ,E是 PC的中点。求证: (1)PA 平面 BDE (2)平面 PAC 平面 BDE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 31 页5 证明() O是 AC的中点, E是 PC的中点, OE AP ,又OE 平面 BDE ,PA 平面 BDE ,PA
12、 平面 BDE (2)PO 底面 ABCD ,PO BD ,又 AC BD ,且 AC PO=O BD 平面 PAC ,而 BD 平面 BDE ,平面 PAC 平面 BDE 。例 2、已知三角形 ABC的顶点是 A(-1,-1) ,B(3,1) ,C(1,6). 直线 L 平行于AB,且分别交 AC,BC于 E, F,三角形 CEF的面积是三角形 CAB面积的41. 求直线 L 的方程. 解:由已知,直线AB的斜率 K=21,EFAB 直线 EF的斜率为K=21三角形 CEF的面积是三角形CAB面积的41,E是 CA的中点。又点 E的坐标( 0,25)直线 EF的方程是xy2125,即052y
13、x例 3、如图,在矩形中, 已知, ,为的两个三等分点,交于点,建立适当的直角坐标系,证明:解:以 AB所在直线为 X轴,AD所在直线为 Y轴,建立直角坐标系设 AD=1 (单位)则 D(0,1)A(0,0) ,E(1,0) ,F(2,0)C(3,1) ,求得直线 AC的方程为xy31,直线 DF的方程为022yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 31 页6 解方程组02231yxxy得5256yx所以点 G的坐例4、如图:直线 L1 的倾斜角1=30,直线 L1L2,则L2的斜率为()、33、33、3、3例 5、 如图:
14、 S是平行四边形 ABCD 平面外一点,M 、 N分别是 SA 、 BD上的点, 且SMAM=NDBN,求证: MN 平面 SBC 证明:连结 AN并延长交 BC于点 G ,并连结 SG 平行四边形 ABCD NDBN=NGAN,SMAM=NDBNNGAN=SMAM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 31 页7 MN SG 例 6、21、过点(,)的直线被两平行直线:与:所截线段的中点恰在直线上,求直线的方程 . 解:设线段的中点P的坐标( a,b) ,由 P到 L1,、L2的距离相等,得2252952ba2252752ba
15、经整理得,0152ba,又点 P在直线上,所以014ba解方程组0140152baba得13ba即点 P的坐标( -3,-1) ,又直线 L 过点(,)所以直线的方程为)3(2)3()1(3)1(xy,即0754yx例 7、已知三条直线 L1:02YX L2:01Y L3:012YX两两相交,先画出图形,再求过这三个交点的圆的方程如图:通过计算斜率可得L1L3,经过 A,B,C三点的圆就是以AB为直径的圆解方程组0102yyx得12yx所以点 A的坐标( -2,-1)解方程组01012yyx得11yx所以点 B的坐标( 1,-1 )线段 AB的中点坐标是)1,21(,又精选学习资料 - - -
16、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 31 页8 3) 11() 12(22AB所以圆的方程是49) 1()21(22yx例 8、与直线5247yx平行,并且距离等于3 的直线方程是080247yx或070247yx例 9、已知点 M (a,b)在直线1543yx上,则22ba的最小值为 3 例 10、圆:06422yxyx和圆:0622xyx交于 A、B两点,则 AB的垂直平分线的方程是( C )A. x+y+3=0 B 、2x-y-5=0 C、 3x-y-9=0 D、4x-3y+7=0 例 11、圆:012222yxyx上的点到直线2yx的距离最
17、大值是( B )A、 2 B、21 C 、221 D、221例 12、在长方体1111DCBAABCD中,已知3, 41DDDCDA,求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值连接DA1,DBACBDA111,/为异面直线BA1与CB1所成的角. 连接BD,在DBA1中,24, 511BDDABA,则DABABDDABADBA112212112cos259552322525精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 31 页9 例 13 、如图, 射线OA、OB分别与x轴成45角和30角, 过点)0 ,1 (P作直线AB分别与OA、OB
18、交于A、B()当AB的中点为P时,求直线AB的方程;()当AB的中点在直线xy21上时,求直线AB的方程解: ()由题意得, OA的方程为xy,OB的方程为xy33,设),(aaA,),3(bbB。AB的中点为)0, 1(P, 023baba得13a,132313ABk即 AB方程为013)13(yx() AB中点坐标为)2,23(baba在直线xy21上,则23212baba,即ba)32( PBPAkk,131bbaa由、得3a,则233ABk,所以所求 AB的方程为0332)33(yx例 14、方程 x2+y2-x+y+m=0表示圆则 m的取值范围是 ( C ) A 、 m2 B 、 m
19、2 C 、 m21 D、 m 21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 31 页10 例 15、若l、m 、n 是互不相同的空间直线,、是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( B )A若/,ln,则/ln B若,l,则lC. 若, /ll,则 D若,ln mn,则/lm例16已知三点 A(2, 1) 、B(x,2) 、C(1,0)共线,则 x为:( A )A、7 B、-5 C、3 D、-1 例17、如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,已知 M为棱 AB的中点() AC1/ 平面 B1MC ;()求证:平面D1B1
20、C平面 B1MC ()MO/AC1;()MO AC1,AC1平面 D1B1C ,MO 平面 D1B1C ,平面 D1B1C平面 B1MC 例18、在ABC中,BC边上的高所在的直线的方程为012yx,A 的平分线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 31 页11 所在直线的方程为0y,若点 B的坐标为( 1,2) ,求点 A 和点 C 的坐标由0120yxy得01yx,即 A的坐标为)0, 1(,1102ABk,又 x轴为 BAC 的平分线,1ABACkk,又 直线012yx为 BC边上的高, 2BCk设 C 的坐标为),(
21、ba,则11ab,212ab,解得5a,6b,即 C 的坐标为)6 ,5(例 19、 已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别是xy10 和 3xy40,它的对角线的交点是M(3, 0) , 求这个四边形的其它两边所在的直线方程07yx和0223yx例20 、线l通过点 (1 ,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6,则直线l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 31 页12 的方程是( A )A063yx B03yxC0103yx D083yx 一、选择题 1 若直线的倾斜角为120o,则直线的斜率为( B )A3
22、 B3 C33 D3-32若a,b是异面直线,直线ca,则c与b的位置关系是( D )A 相交 B 异面 C 平行 D异面或相交3直线31yx关于y轴对称的直线方程为( C )A31yx B 31yx C31yx D 1yx4下列四个命题 垂直于同一条直线的两条直线相互平行; 垂直于同一个平面的两条直线相互平行; 垂直于同一条直线的两个平面相互平行; 垂直于同一个平面的两个平面相互垂直. 其中错误的命题有( B )A. 1 个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个5已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2,则它的表面积是( C )A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 8 36直线110a
23、 xy与圆2220 xyx相切,则a的值为( D )A. 1,1 B. 2 C. 1 D. 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 31 页13 CBADABCD7. 若l为一条直线,为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:, ,则;,则;l,l,则. 其中正确的命题有 ( C ) A.0 个 B.1个 C.2个 D.3个8圆22(1)1xy和圆22650 xyy的位置关系是(C )A相交 B 内切 C 外离 D 内含9如图,正方体ABCDA B C D中,直线D A与DB所成的角可以表示为( D )AD DBBAD CCA
24、DBDDBC10已知点(1, 2,11)A,(4,2,3)B,(6,1,4)C,则ABC的形状是( B ) A等边三角形B直角三角形 C 等腰三角形 D 等腰直角三角形11半径为R的球内接一个正方体,则该正方体的体积是( C )A. 32 2R B. 343R C. 3839R D. 339R12若21P,为圆22125xy的弦AB的中点,则直线AB的方程是( A ) A 30 xyB30 xy C 30 xy D 30 xy二、填空题13过点( 1,2)且与直线210 xy平行的直线方程是250 xy14以点(2, 0)A为圆心,且经过点( 1, 1)B的圆的方程是22(2)10 xy15在
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