2022年高三数学第二轮专题复习系列--空间向量立体几何复习与检测 .pdf

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1、学习必备欢迎下载高三数学第二轮专题复习系列(8)- 空间向量、立体几何复习与检测一、大纲解读立体几何的主要内容是空间几何体，点线面之间的位置关系，空间向量与立体几何其考查内容主要是空间两直线的位置关系、直线与平面的位置关系、两平面的位置关系；异面直线所成的角、二面角、线面角；几何体的表面积和体积、空间几何体的三视图和直观图等 . 其中线面平行与垂直判定定理与性质定理、面面平行与垂直判定定理与性质定理是考查的重点 . 对于理科生来说，空间向量作为一种新的快捷有效的工具已被广泛应用于解决立体几何综合问题，是高考的焦点所在. 二、高考预测一般来说立体几何有两个左右的选择题或填空题和一道解答题，约20

2、-25 分，占整章试卷的 15. 选择题或填空题考查的是空间几何体和点线面位置关系的基本问题，与三视图相结合考查是一种典型题型；解答题近年已成为一个较为固定的模式，以多面体（少数为旋转题）为载体，考查点线面的位置关系的判断推理，求空间角和距离，求有关最值和体积一般分步设问，难度逐渐增大，但都可以用基本方法解决，理科生要会用空间向量来解决这类问题 . 三重点剖析立体几何的重点内容是柱锥台球的表面积和体积，空间几何体的三视图和直观图，平面的基本性质，空间线面位置关系，空间向量的基本问题，空间向量与立体几何，特别是用空间向量解决立体几何中的线面平行与垂直的证明，求解异面直线所成的角、二面角、线面角，

3、以及简单的距离计算重点一：空间几何体的三视图、体积与表面积【例 1】 一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为直角三角形，边长如图所示，那么这个几何体的体积为（）A.1 B.2 C.3 D.4【分析】根据三个试图可以知道这个几何体是一个一条侧棱和底面垂直，底面是直角三角形的三棱锥。【解析】该几何体是底面两直角边长分别是1,2的直角三角形，高为3的三棱锥，故其体积为111 23132。【点评】主试图和侧视图的高就是实际几何体的高。【例 2】已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是（）A.43 B.2 C.83 D.103

4、【分析】这个空间几何体是一个圆锥和一个半球组成的组合体，把其中的数量关系找出来按照圆锥和球的体积计算公式计算就行【解析】 A 这个几何体是一个底面半径为1，高为2的圆锥和一个半径为1的半球组成的组合体，故其体积为2311441213233精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 31 页学习必备欢迎下载【点评】空间几何体的三视图是课标高考的一个考点，主要考查方式之一就是根据三视图还原到原来的空间几何体，并进行有关的计算重点二：空间点、线、面位置关系的判断【例 3 】已知m、n是不重合的直线，和是不重合的平面，有下列命题：（1）若m

5、，n，则mn； （2）若m，m，则；（3）若n，mn，则m且m；（4）若m，m，则其中真命题的个数是（） 0 1 2 3 【 分析】（1）是假命题，如果一条直线平行于一个平面，该直线不与平面内所有直线平行， 只与部分直线平行； （ 2）是假命题， 平行于同一直线的两平面的位置关系不确定；（3）是假命题，因为m可能为和内的直线，则m且m不一定成立； （4）是真命题，垂直于同一直线的两平面平行。【解析】选。【点评】本题考查的是有关线面关系命题的真假，所以通过利用定理来解决上述有关问题。【例 4】 在下列关于直线l、m与平面和的命题中，真命题的是（）若l且， ，则l；若l且，则l；若l且，则l；若m

6、且lm，则l【分析】高考中通常以选择或填空的形式来考查垂直关系的判定。A显然是错误的；C中l可在平角内，故l错误；D中l可在平角内，故l错误；【解析】选B。【点评】该题主要考查的是想象能力和位置关系。【例 5】正方体1111DCBAABCD中，对角线CA1平面1BDC=O，AC和BD交于点M，求证：点1C、O、M共线。OC1D1B1A1CDAB【分析】要证明若干点共线问题，只需要证明这些点同在两个相交平面内即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页学习必备欢迎下载【证明】如图所示，由AA1CC1，则11CCAA确定平

7、面CAA1。CA1平面CAA1，CAO1，O平面CAA1。又CA1平面1BDC=O，O平面1BDC。O在平面1BDC与平面CAA1的交线上。又MBDAC，平面CAA1平面1BDC=MC1，OMC1，即O、1C、M三点共线。【点评】该题的考向是点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，这样就可以根据公理2 证明这些点都是在这两个平面的交线上。重点三：空间线面位置关系的证明和角的计算【例 6】1111DCBAABCD是边长为a正方体， 计算下列问题：（1）1AD与CB1所成角的大小； （2）若E、F、G、H为对应棱的中点，求EF，GH所成的角。【分析】该题可以采用平移法，即将EF，G

8、H平移到11BD和1AB即可。【解析】（1）连1BC，则1AD1BC，所以1BCCB1，则1ADCB1，即1AD与CB1所成角为090；（2）连1AB，11DB，则EF11DB，GH1AB，ABD11即为EF和GH所成的角，因为ABD11为正三角形，ABD11=060，即EF和GH所成的角为060。EFHGC1D1B1A1CDAB图 2 【点评】掌握此类基本题的解法，也是反映同学们的立体几何基础。【例 7】 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PCAD 底面ABCD为梯形，/ABDC，ABBCPAABBC，点E在棱PB上，且2PEEB（1）求证：平面PAB平面PCB；（2）求证：PD平

9、面EAC；（3） （理）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值【分析】（1）根据两个平面垂直的判定定理，寻找一个面对一条直线垂直于另一个平面； （2）根据线面平行的判定定理，寻找线线平行；（3）可以利用传统的方法作出二面角的平面角解决，也可以利用空间向量的方法解决。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 31 页学习必备欢迎下载【解析】（1）PA底面ABCD，PABC又ABBC，PAABA，BC平面PAB又BC平面PCB，平面PAB平面PCB（2）PA底面ABCD， PAAD, 又PCAD，AD平面PAC，ACAD在 梯

10、形A B C D中 ， 由A BB C，ABBC，得4BAC， 4DCABAC又ACAD， 故D A C为等腰直角三角形 2222DCACABAB连接BD，交AC于点M，则2.DMDCMBAB在BPD中，2PEDMEBMB，/PDEM又PD平面EAC，EM平面EAC，PD平面EAC（3）方法一：在等腰直角PAB中，取PB中点N，连结AN，则ANPB平面PAB平面PCB，且平面PAB平面PCB=PB，AN平面PBC在平面PBC内， 过N作NH直线CE于H， 连结AH， 由A NC E、NHCE，得CE平面ANH，故AHCEAHN就是二面角ACEP的平面角MEABCDPHNHNPBCE在Rt PB

11、C中，设CBa，则222PBPAABa，1233BEPBa，1266NEPBa，22113CECBBEa，由NHCE，EBCB可知：NEHCEB，NHCBNECE，代入解得：22aNH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 31 页学习必备欢迎下载在Rt AHN中，22ANa，tan11ANAHNNH，13cos611 1AHN平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为36方法二：以A为原点，,AB AP所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系设PAABBCa， 则0, 0, 0A，0, ,0Ba，, ,0C a a，

12、0,0,Pa，20,33a aE设1, ,1x yn为平面EAC的一个法向量， 则11,ACAEuu u ruu u rnn， 0,20.33axayaya，解得11,22xy，111(,1)22n设2,1x yn为平面PBC的一个法向量，则22,BCBPuu u ruu rnn，又,0,0BCa，(0, )BPa a， 0,0,axaya， 解 得0,1xy， 20,1,1n1212123cos,6nnn nn n 平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为36【点评】求二面角的平面角的方法通常有：一是根据线面垂直关系作出二面角的平面角，通过解三角形解决；二是用空间向量的方法来求解，方法是

13、：求出两个平面的法向量1n和2n，然后利用数量积公式计算出锐二面角，其公式为12cos,n n=2121|nnnn，当然考虑到二面角的取值范围是0,，所以，二面角的平面角与这两个平面的法向量的夹角相等或互补。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 31 页学习必备欢迎下载四 扫雷先锋错误之一：概念理解错误【例 8】空间四边形ABCD 中，AB CD且成060的角， 点 M、N分别为 BC 、AD的中点，求异面直线AB和 MN成的角【错解】如图所示，取AC的中点 P ，连 PM ，PN ，MN 。 M、 N分别为 BC 、AD的中

14、点， MP AB ，且MP=21 AB ；NP CD ，且NP=21CD 。又 AB=CD ， 且 AB ，CD 所成的角为060， MP=NP且直线MP于 NP 成060角， MPN=060，即MPN使等边三角形，PMN=060，即直线AB和 MN成的角为060【剖析】上面的解法遗漏了当直线PM与 PN成060角，而MPN=0120的情形，此时直线 AB和 MN所成角为030为防止遗漏或错误，在解题过程中应正确理解定义【点评】 题目中的错误，是同学们最易忽视的，有时看到一例题目，似乎会做， 但是，不经过缜密的思考，就会出现“千里之堤，溃于蚁穴”的慨叹错误之二：忽视分类讨论错误【例 9】点是线

15、段AB的中点，若A、B到平面的距离分别为4cm和 6cm，则点M到平面的距离为【错解】如图1，分别过点A、B、M作平面的垂线，/AA，/BB，MH ，垂足分别为HBA,/则线段/AA，/BB， MH的长分别为点， A、 B、 M到平面的距离，由题设知，/AA=4cm，/BB=6cm，因此， MH=)(52642/cmBBAA【剖析】不少同学在解此类问题时，总认为A、 B 在的同侧，只注意检验计算是否正确，并没有发现异侧的情况，缺乏分类讨论的意识事实上，如图2 ，若 A、 B在异侧，则 MH=1cm【点评】分类讨论是数学中一种重要的思想方法，它在立体几何中应用非常广泛但A B C MND PA

16、B /B/A图A B /A/B图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 31 页学习必备欢迎下载不少同学不能正确的利用这种思想方法，经常片面地考虑问题，使问题出现漏解五 规律总结1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。3. 注意多面体中的特征图和旋转体的轴截面在解题的应用。4. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化：线线平行线面平行面面平行，线线垂直线面垂直面面垂直。5求异面直线所成的角的方法（文科）求异面直线所成的角的最关键是要找出一个点，把其作为角的顶点，然

17、后把两条直线“平行平移”过来，这个角就完成了。这个点有时很好找，中点、交点、对称点等。若用平移转化烦琐或无法平移时，可考虑是否异面垂直，即可通过证明垂直的位置关系得到 90的数量关系。（理科）利用空间向量法：cos|cos,|a br r=121212222222111222| |x xy yz za babxyzxyzr rrr（其中（090oo）为异面直线a b,所成角，,a br r分别表示异面直线a b,的方向向量） 。6直线与平面所成的角（文科） 在斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角。（理科）直线AB与平面所成

18、角sin|AB mABm(m为平面的法向量 ). 7 （理科）二面角方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法；方法二：向量法：二面角l的平面角cos|m narcm n或cos|m narcm n（m，n为平面，的法向量）。8 （理科）空间距离（1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”；（2）给出公垂线的两条异面直线的距离，先进行论证（先定性），后计算（后定量） ；（3）线面距、面面距都转化为点面距；（4）求点面距：|AB ndn（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A） 。六 能力突破例 1 如图在直三棱柱ADE-BCF中, 面 ABFE和面 ABCD 都为正方形 ,

19、 且互相垂直 , M为 AB的中点 , O 为 DF中点 . （1）求证： OM 平面BCF ; （2）求证：平面MDF 平面 EFCD ; （3） （理科）求二面角F-DM-C的正切值。A B C G F O D E M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 31 页学习必备欢迎下载【分析】问题（1）是证明线面平行，则可以利用线面平行的判定定理；问题（2）是证明面面垂直，方法比较多，当然最好的办法是用线面垂直的判定定理来证明。【解析】 （1） 取 FC的中点 G , 连结 OG 、 BG 。 O 为 DF的中点 , OG/D

20、C且 OG=21DC . 在正方形ABCD 中, M 为 AB中. MB/DC 且 MB=21DC. OG/MB且 OG=MB，四边形OMBG为平行四边形 . OM/BG , 又BG平面BFC , OM平面BFC ，OM/平面 BCF. （2）在直三棱柱ADE-BCF中, DC平面BCF, DC BG , 在等腰 FBC 中, BF=BC, G为 FC的中点 , BG FC , BG 平面EFCD. 又OM/BG , OM 平面EFCD. 又OM平面 MDF, 平面MDF 平面 EFCD. （3）过 B作 BH DM交 DM的延长线于H , 连结 FH . 平面 EFBA 平面ABCD, FB

21、 AB. FB 平面ABCD . BH为 FN在平面 ABCD 上的射影 . FH DH (三垂线定理). FHB为二面角F-DM-C的平面角 , 设 AB=1 , 则 BH=BMsin AMD=5125121， tan FHB=5BHBF. 二面角F-DM-C的正切值为5。【点评】该题主要是能够熟练应用判定定理来证明相关的问题，因此要熟悉定理并能灵活应用。【例 2】 如图 , 己知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形, AD/BC , BCD=90 , PA=PB, PC=PD 。（1）证明 : CD 与平面 PAD不垂直；（2）证明：平面PAB 平面 ABCD ；（3） （理科）如果CD=A

22、D+BC , 二面角 P-BC-A 等于 60, 求二面角P-CD-A 的大小。【分析】问题（1）需要利用反证法来证明，问题（2）仍用面面垂直的判定定理来证明。【解析】 （1）若 CD 平面 PAD, 则 CD PD, 由己知PC=PD 得PCD= PDC90 , 这与CD PD矛盾 , 所以 CD与平面 QAD 不垂直 . （2）取 AB 、CD的中点 E、F , 连结 PE 、PF 、 EF, EF 为直角梯形的中位线 , EF CD.由 PA=PB , PC=PD得 PE AB. 又 PF EF=FA B C G F O D E M P B C F D A E 精选学习资料 - - -

23、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31 页学习必备欢迎下载CD 平面PEF , 由 PE平面 PEF 得 CD PE , 又 AB PE且梯形两腰AB 、CD必相交。PE 平面ABCD, 又 PE平面 PAB , 平面PAB 平面 ABCD. （3） 由 （2） 及二面角定义可知 PFE 为二面角P-CD-A的平面角 . 作 EG BC于 G , 连PG. BC PG. PGE 为二面角P-CD-A 的平面角 , 即PGE=60 .由己知得 EF=21(AD+BC)= 21CD. 又 EG=CF=21CD. EF=EG 。易证得 RtPEF RtP

24、EG , PFE= PGE =60 即为所求。【点评】会添加辅助线，并注意一定的逻辑推理，这是立体几何大题的解题所应该注意的地方。【例 3】已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形， AB DC ，PADAB,90底面ABCD ，且 PA=AD=DC=21AB=1 ，M是 PB的中点。（1）证明：面PAD 面 PCD ；（2）求 AC与 PB所成的角余弦值；（3） （理科）求面AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值。【分析】本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角和二面角的有关知识及思维能力和空间想象能力. 考查应用向量知识解决数学问题的能力。【解析】方法一：（1）证明： PA 面 AB

25、CD ，CD AD ，由三垂线定理得：CD PD 。 因而， CD与面 PAD内两条相交直线AD ，PD都垂直， CD 面PAD 。又 CD面 PCD ，面 PAD 面 PCD. （2）解：过点B作 BE/CA，且 BE=CA ，则 PBE是 AC与 PB所成的角 . 连结 AE ，可知 AC=CB=BE=AE=2，又 AB=2 ，所以四边形ACBE为正方形 . 由 PA 面ABCD 得PEB=90 ，在RtPEB中 BE=2，PB=5，510cosPBBEPBE。（3）解：作AN CM ，垂足为N，连结 BN 。在 RtPAB中， AM=MB ，又 AC=CB ，AMC BMC, BN CM

26、 ，故 ANB 为所求二面角的平面角. CB AC ，由三垂线定理，得CB PC ，在 RtPCB中， CM=MB ，所以 CM=AM。在等腰三角形AMC 中，AN MC=ACACCM22)2(，A D C B E P M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 31 页学习必备欢迎下载5625223AN. AB=2，322cos222BNANABBNANANB方法二：（理科）因为PA PD ，PA AB ，AD AB ，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B （0，2，0）

27、，C （ 1，1，0） ，D（1，0，0） ，P（0，0， 1） ，M （ 0，1，)21. （1）证明：因DCAPDCAPDCAP所以故,0),0, 1 ,0(),1 , 0,0(。由题设知AD DC ，且 AP与 AD是平面 PAD内的两条相交直线，由此得DC 面 PAD. 又 DC在面 PCD上，故面PAD 面 PCD. （2）解：因),1,2 ,0(),0 , 1 , 1(PBAC.510|,cos, 2,5| ,2|PBACPBACPBACPBACPBAC所以故（3）解：在MC上取一点N（x，y，z） ，则存在,R使,MCNC.21, 1,1),21,0 , 1 (),1 ,1 (z

28、yxMCzyxNC。要使54,0210,解得即只需zxMCANMCAN。0),52,1,51(),52, 1 ,51(,0),52,1 ,51(,54MCBNBNANMCANN有此时能使点坐标为时可知当ANBMCBNMCANMCBNMCAN所以得由.,0,0为 所 求 二 面 角的平面角。30304|,|,.5552cos(,).3| |ANBNAN BNAN BNAN BNANBN【点评】建立空间直角坐标系，通过代数计算得到几何值，这种问题是近几年中高考的重点内容。七、高考风向标考查方向一：空间几何体的三视图以及面积、体积的计算例右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

29、（）A9B10C11D12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 31 页学习必备欢迎下载分析：本题考查三视图、球和圆锥的表面积等基础知识，考查空间想象能力和运算能力三视图是课标高考相对于大纲高考的新增内容，是课标高考的一个热点内容解题的关键是由这个三视图想象出这个空间几何体是如何构成的解析： D 该几何体下面是一个底面半径为1，母线长为3的圆柱，上面是一个半径为1的球，其表面积是2221 3214112点评：本题容易出错的答复有两个，一是不能由这个三视图想象出这个空间几何体，二是用错球的表面积公式、圆柱的侧面积公式或在计算圆

30、柱的表面积时忽视了上下底面考查方向二：空间线面位置关系的判断例（ 08 年安徽理4）已知,m n是因为两条不同直线，,是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A,mnmn若则B,若则C,mm若则 D,mnmn若则分析：考查空间线面位置关系的判断本题主要用到的是“两条直线如果和同一个平面垂直，则这两条直线平行”，这是空间直线和平面垂直的性质定理，是空间线面位置关系的主要定理之一。解析： D ,m n均为直线， 其中,m n平行，,m n可以相交也可以异面，故 A不正确；m， n 则同垂直于一个平面的两条直线平行点评： 对空间线面位置关系的判定定理生疏或者不会结合图形进行分析是本题解答错误或不会解答

31、的主要原因在空间直线和直线的平行关系、平面和平面之间的平行关系具有传递性，但是直线和平面之间的平行关系没有传递性，本题中A、C 两个选择支就是针对这个问题而设计的。在平面上和同一条直线垂直的两条直线平行，但在空间这个结论不成立，同时在空间和同一个平面垂直的两个平面也不平行，本题的选择支B就是针对这个问题设计的。考查方向三：空间垂直与平行关系的证明例 3 如图， 在四面体ABCD中，BDADCDCB,，点FE,分别是BDAB,的中点，求证：（1）直线EF面ACD；（2）面EFC面BCD分析：根据线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理，寻找需要的直线。B C A F D E 俯视图正(主)视图侧(

32、左)视图2 3 2 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 31 页学习必备欢迎下载证明：（1）E、 F 分别是 AB 、BD的中点，EF是ABD的中位线， EF/AD又EF面 ACD ， AD面 ACD ，直线EF/ 面 ACD （2）/EFADEFBDADBDCCBCDFBDFBD为中点BDCEFEFCBCDBDBCD面面面面CFEFF点评：本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，考查空间想象能力、推理论证能力主要检测考生对空间线面位置关系的判定和性质定理的掌握程度考查方向四：全面考查立体几何的综合性试题例

33、 4 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC，证明：BC 面EFG分析：根据图中的数据和图中反应的线面位置关系解决。解析：（1）如图（2）所求多面体体积VVV长方体正三棱锥11446222322284(cm )3（3）证明：在长方体ABCDA B C D中，连接AD，则ADBC因为EG，分别为AA，AD中点，所以ADEG，从而EGBC又BC平面EFG，所以BC 面EFG点评：本题考查立体几何初步的基本知

34、识和方法立体几何初步中的主要问题是空间几何体的三视图、直观图、表面积和体积计算，空间线面位置关系的证明，本题把这些问题糅合在一起综合检测考生对立体几何初步的掌握程度，这可以说是针对立体几何初步而设计的一道典型试题。在画俯视图时不标明尺寸，或是只画一个矩形；在计算体积时没有4 6 4 2 2 E D A B C F G BCD2 4 6 4 2 2 2 4 6 2 2 （俯视图）（正视图）（侧视图）A B C D E F G ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 31 页学习必备欢迎下载体积分割的思想意识，或是忽视了锥

35、体体积公式中的13，在空间几何体的体积计算中“割补法”是最重要的技巧之一，在复习中要认真体会。例 4 如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，60ABC，EF，分别是BCPC，的中点（1）证明：AEPD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为62，求二面角EAFC的余弦值分析：第一问转化为证明线面垂直；第二问根据EH与平面PAD所成最大角的正切值为62可以找出四棱锥的底面边长和高之间的关系，然后用传统的方法作出二面角的平面角解决，或是用空间向量的方法解决。证明：（1）由四边形ABCD为菱形，60ABC，可得ABC为正三角形因为E为BC的中点，所

36、以AEBC又BCAD，因此AEAD因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADA，所以AE平面PAD又PD平面PAD，所以AEPD解：（2） 设2AB，H为PD上任意一点， 连接AHEH， 如图由（ 1）知AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角在RtEAH中，3AE，所以当AH最短时，EHA最大，即当AHPD时，EHA最大此时36tan2AEEHAAHAH，因此2AH又2AD，所以45ADH，所以2PA解法一： 因为PA平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC平面ABCD过E作EOAC于O，则EO平面PAC，过O作OSAF于S，

37、连接ES，则ESO为二面角EAFC的平面角，在RtAOE中，3sin302EOAE，3cos302AOAE， 又F是PC的中点，在RtASO中，3 2sin 454SOAO，又223930484SEEOSO，在RtESO中，P B E C D F A H O S P B E C D F A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 31 页学习必备欢迎下载3 2154cos5304SOESOSE，即所求二面角的余弦值为155解法二：由（1）知AEADAP，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为EF，分别为B

38、CPC，的中点，所以(0 0 0)(31 0)( 31 0)(0 2 0)ABCD， ， ，3 1(0 0 2)( 3 0 0)122PEF， ，所以3 1(30 0)122AEAF， ，设平面AEF的一法向量为111()xyz， ，m，则00AEAF，mm因此11113031022xxyz，取11z，则(0 21)，m，因为BDAC，BDPA，PAACA，所以BD平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量又(33 0)BD，所以2315cos5512BDBDBD，mmm因为二面角EAFC为锐角，所以所求二面角的余弦值为155点评：本题考查空间线面位置关系的有关定理、线面角、二面角等基础知识，考

39、查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查转化的数学思想，考查空间想象、逻辑思维、运算求解等能力本题第一问是一个证明线线垂直问题，证明的基本思想是转化为证明线面垂直，只要考生熟悉这个转化策略，熟悉空间线面位置关系的有关定理，解决起来困难不大；第二问以一个动态的情境给出，确定动点H的位置是解决的关键所在，这就要求有一定的逻辑推理能力和分析问题的能力，这个地方能有效地检测考生的思维层次，是一个设计优秀的试题八、沙场练兵一、选择题P B E C D F A y z x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 31 页学习必备欢迎下载1

40、一条直线与一个平面所成的角等于3，另一直线与这个平面所成的角是6. 则这两条直线的位置关系（）A必定相交B平行C必定异面D 不可能平行1.D 2在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为13，则锥 体被截面所分成的两部分的体积之比为（）A13B19C133D 1)133(2.D 3正方体1111ABCDA B C D中，P、Q、R分别是AB、AD、11B C的中点那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（）A三角形B四边形C五边形D 六边形3.D 4正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A75B60C45D 304.C 5对于直线m、n和平面，下面命题

41、中的真命题是（）A如果mnm,、n是异面直线，那么/nB如果mnm,、n是异面直线，那么与n相交C如果mnm,/,、n共面，那么nm/D如果mnm,/,/、n共面，那么nm/5.C 6已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动（ EFa） ，若P是 A1D1上的定点， Q是 C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积是（）A有最小值的一个变量B有最大值的一个变量C没有最值的一个变量D是一个常量6.D 7已知平面与所成的二面角为80， P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角都是30，则这样的直线有且仅有（）A1 条B2 条C3 条D 4 条7.D 8如图所

42、示， 在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细线 AM、BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为 60cm的木条MN平行于横梁， 木条中点为O， 若木条绕O的铅垂线旋转60，则木条比原来升高了（）A10cmB5cmC103cmD 53cm 8.A 9如图，棱长为5 的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为 1 的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（）A258 B234 C222 D 210 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 31 页学习必备欢迎下载9.C 10设ab，为两条直线，为两个平面，下

43、列四个命题中，正确的命题是（）A若ab，与所成的角相等，则abB若a，b，则abC若a，b，ab，则D若a，b，则ab10.D 提示： A中若ab，与所成的角相等， 则a和b不一定平行， 可能异面， 也可能相交；B中若a，b，则a和b不一定平行， 也可能是异面； C中若a，b，ab，则和也可能平行，也可能相交。11底面边长为a，高为 h 的正三棱锥内接一个正四棱柱（此时正四棱柱上底面有两个顶点在同一个侧面内） ，此棱柱体积的最大值（）Aha29)374(4Bha29)347(4Cha29)374(4Dha29)347(411.B 12将半径都为的个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面

44、体的高的最小值为（）A32 63 B2+2 63C4+2 63D 4 32 6312.B 二、填空题13已知点P在正方形ABCD所在的平面外，PD平面ABCD，ADPD，则PA和BD所成角的度数为。13. 060提示：将四棱锥PABCD补成正方体，如图所示，则PA和BD所成角的度数即为PA和PM所成的角，而PAM为等边三角形，所以所求的角为060CPMCDAB14如图，矩形ABCD中，DC=3，AD=1 ，在 DC上截取 DE=1 ，将 ADE沿 AE翻折到 D1点，点D1在 平 面ABC 上 的 射 影 落 在AC 上 时 ， 二 面 角 D1AE B 的 平 面 角 的 余 弦 值是 .

45、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 31 页学习必备欢迎下载14. 3215. 如图所示，在等腰梯形ABCD中，22DCAB，060DAB，E是AB中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于P点，则三棱锥DCEP的外接球的体积为。EDCBA15. 86提示：根据题意，折叠后的三棱锥DCEP为正四面体，且棱长为1，以这个正四面体来构造正方体，则此立方体的棱长为22，故立方体的对角线长为26，且立方体的外接球也为正四面体外接球，所以外接球半径为46，则外接球的体积为86。16. 已知平面,和直线，给出条件：

46、/m；m；m；/。 （i ）当满足条件时，有/m； （ii ）当满足条件时，有m。（填所选条件的序号）16. （i ）；（ii ）。提示：可以分析出当满足条件和时，则/m，也就是说面面平行可以推出线面平行。出当满足条件和时，有m。九、实战演练一、选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1. 某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体是正视图侧视图府视图A三棱锥B四棱锥C五棱锥D六棱锥1. 2.ABCD A1B1C1D1是正方体， O是 B1D1的中点，直线A1C 交平面 AB1D1于点 M ，则下列结论中错误的是（）AA

47、、M 、O三点共线BM 、O 、 A1、 A四点共面CA、O、C、 M四点共面DB、B1、O 、 M四点共面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 31 页学习必备欢迎下载2.D 3. 如图所示，点S在平面 ABC外，SB AC ， SB AC 2， E 、F 分别是 SC和 AB的中点，则EF的长是（）A1 B2C22D 213.B 提示：取 BC的中点 G ， 连接 EG 、 FG，/,/EGSB FGAC，SB AC ，故90EGF，且 EG=1 、FG=1 ，所以2EF。已知正四面体ABCD 的表面积为S，其四个面的中

48、心分别为E、F、G 、H，设四面体EFGH的表面积为T，则ST（）A91 B94 C41 D31精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 31 页学习必备欢迎下载4.A 提示：如图，2133EGMNBD，即四面体EFGH的棱长是正四面体ABCD 的棱长的13，故其表面积之比为19。5. 在棱长为4 的正方体ABCD A1B1C1D1中， P 是11A B上一点，且11141BAPB，则多面体BC PB1C1的体积为（）A38 B316C4 D16 5.B 提示：多面体BC PB1C1 ，即四棱锥11PBB C C，其体积为116

49、1 1633。6. 如下图所示，已知棱长为a的正方体（左图） ，沿阴影面将它切割成两块，拼成右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为（）A、2222a B、2223a C、2225a D、2224a6.D 提示：切割拼合后，前后左右四个面的面积没变，上下两个面的面积是正方体的对角面的面积。故拼成的几何体的全面积为2224a。7. 已知圆锥的底面半径为R， 高为3R， 在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是 （）222 R294R283R252R精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 31 页学习必备欢迎下载7.B 提示：组

50、合体的轴截面如图所示，由相似三角形的比例关 系13POxRR，13POx， 圆柱的 高为33Rx，所以 圆柱的 为2222(33 )46SxxRxxRx，当34xR时，S取最大值，2max94SR。8 半 径 为R 的 球 的 内 接 正 三 棱 柱 的 侧 面 积 （ 各 侧 面 面 积 之 和 ） 的 最 大 值 为（）A233RB23RC222RD22R8.A 提示：如图设球的内接正三棱柱高的2x，则1OOx，设球的内接正三棱柱高的底面边长为a，则133AOa，即13aAO，在直角三角形1OO A中，221AORx，所以223aRx，所以球的内接正三棱柱的侧面积2222223266 36