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*- 大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。 10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导 第一章 函数 一．本章重点 复合函数及分解，初等函数的概念。 二．复习要求 1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。 2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。 3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中 ⑴. 对于对数函数不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值. 4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。 5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解 例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴. ⑵. 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。 解： ⑴.⑵. 例2. 的定义域、值域各是什么？＝？ 答： 是 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知的定义域是，值域为. 四．练习题及参考答案 1. 则f(x)定义域为 ，值域为 f(1) = ； . 2. 则f(x)定义域为 ，值域为 f(1) = ； . 3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴. ⑵. 答案： 1.（-∞ +∞）, , 2. .3. ⑴. ⑵. 自我复习：习题一.（A）55．⑴、⑵、⑶； 习题一.（B）.11. 第二章 极限与连续 一．本章重点 极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。 二．复习要求 1．了解变量极限的概念，掌握函数f(x)在x0点有极限的充要条件是：函数在x0点的左右极限都存在且相等。 2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如： 3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有： 当0时,有： ～； ～ ～; ～; ～ ～.……. （参见教材P79） 4.掌握两个重要极限: (Ⅰ). (Ⅱ). 记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求型未定式极限： 5.掌握函数连续的概念， 知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点x0处连续的充要条是：函数在x0点极限存在且等于，即： 当分段函数在分段点的左右两边表达式不相同时，函数f(x)在分段点x0处连续的充要条件则是： . 6. 掌握函数间断点及类型的判定。 函数的不连续点称为间断点，函数在点间断，必至少有下列三种情况之一发生： ⑴、在点无定义； ⑵、不存在； ⑶、存在，但. 若为的间断点，当及都存在时，称为的第一类间断点，特别＝时（即存在时），称为的可去间断点； 时称为的跳跃间断点。 不是第一类间断点的都称为第二类间断点。 7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。 8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。 三.例题选解 例1.单项选择题 ⑴下列极限中正确的是（ ） A. B. C. D. ⑵ 当时，是的 （ ） A.低阶无穷小； B.高阶无穷小； C.同阶无穷小，但不是等价无穷小； D. 等价无穷小； 分析与解： 1． A与 C显然都不对，对于D, 记， 则 ∴ 即D也不对，剩下的B就是正确答案。 2． 由于 ∴ 应选择D. 例3.求极限： ⑴ ⑵ 解: ⑴ 此极限为型 ∵当时，有 ～, ～ ∴ ⑵ 此极限为型，可用重要极限。 ＝ . 例2．判断函数 的间断点，并判断其类型。 解：由于 ∴是函数y 无定义的点，因而是函数y 的间断点。 ∵ ∴ 为函数 y 的可去间断点； ∵ ∴ 为函数 y 的第二类（无穷型）间断。 例3．函数 在点处连续，求常数k . 分析与解：由于分段函数在分段点的左右两边表达式相同，因此在连续的充要条件是 ∵ ∴ 四.练习题及参考答案 1.填空 ⑴.当时，与 相比，是 __________________无穷小； ⑵. __________________； ⑶.______________. 2.单项选择题 ⑴．设，下面说法正确的是________； A. 点都是可去间断点； B. 点是跳跃间断点，点是无穷间断点； C. 点是可去间断点，点是无穷间断点； D. 点是可去间断点，点是跳跃间断点； ⑵．下面正确的是______________. A. ； B. ； C. 不存在； D. . 答案:1. ⑴.同阶而不等价的 ；⑵. ；⑶.. 2. ⑴.C; ⑵.B . 自我复习.习题二(A) 11. (4).24. ⑴,(4),⑺. 27.⑴. (4).28.⑴,⑵. 30.⑵.37．⑴,⑶. 习题二(B).14. 第三章 导数与微分 一.本章重点. 导数的概念，导数及微分的计算. 二.复习要求 1.掌握函数在处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。 导数是一个逐点概念，在处的导数的定义式常用的有如下三种形式： . 2.知道导数的几何意义，会求在处的切线方程。 3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数： ⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导； ⑵复合函数求导法； ⑶隐函数求导法； ⑷取对数求导法。 4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。 5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。 6.掌握函数可微,可导及连续的关系。 三.例题选解 例1.求下列函数的导数： ⑴． ，求 ⑵．=, 求. ⑶．设=，求 ⑷. ,求 解：⑴、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得： . ⑵ 本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。 原方程两边取对数： 上式两边对求导，视为中间变量: = 注：本题除此方法外，也可以： 3． ∵ . ∴ ⑷. 例2. 设在处可导,且. 求 分析:将在处的导数的定义式理解为结构式: = 其中为或的函数.且当时,即可. 解: 例3．求曲线 在点 处的切线方程。 解：显然，点在曲线上， 现求切线的斜率，即 曲线方程两边对x求导： 解得 ∴＝1 切线方程为： 即 例4、设 试讨论在处的连续性及可导性。 分析与解：由已知，； （1）讨论在处的连续性。 ∵ ∴在处连续。 （2）讨论在处的可导性。 分段函数在分段点的导数必须用定义求： 即存在 四.练习题及参考答案 1.单项选择题 .设 下面说法正确的是（ ）. A.在不连续； B. .在连续，但不可导； C. 在可导，且； D. 在可导，且. 2.填空题 在处可导，且,则 （1） 3.求函数的导数或微分： ⑴, 求 ⑵, 求 ⑶．，求. 4.设确定是的函数，求 ，并求出函数在点的切线方程。 5、证明：（1）若是偶函数且可导，那么是奇函数，（2）若是奇函数且可导，那么是偶函数， 答案：1.D. 2. 3.⑴. (2). ； ⑶.. 4.； 切线方程：. 自我复习:习题三(A) 13； 21,⑹，⑼； 24.⑴，⑵； 25；26.⑴,⑺; 27.⑸；29.⑵，⑹，⑺； 47.⑴，⑵．54. 习题三(B) 1 ；3；11. 第四章 中值定理与导数的应用 一.本章重点 求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析； 二.复习要求 1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的，掌握拉格朗日定理推论的意义。 2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 注意:⑴洛必达法则只能直接用于求“”型或“”型未定式的极限，对于其他类型的未定式极限，必须将其转化为“”型或“”型未定式才能使用法则。 ⑵洛必达法则可以连续使用,当再次使用法则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算. ⑶．在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。 3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。 4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法. 5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等. 6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法. 三.例题选解 例1. 求下列极限 (1). (2). (3). 解： (1) . (2) 原式为幂指型不定式（型），利用代数变换：，得： 其中 （代换） （） . ∴原式＝ (3) = = （代换） （洛必达） ＝. 例2.求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。 解：函数的定义域为 ， 。 令，得驻点， ；无不可导点。 两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下： x 0 极小 极大 令 得 ，无不存在的点。曲线的 凹向及拐点列表讨论如下： x 0 - 0 + 0 - 0 + 拐点 拐点 拐点 由上面的讨论看出： 函数的单减区间为 ； 单增区间为。极小值是， 极大值是。 曲线的凸区间是 凹区间是。 曲线的拐点有三个：， ，。 例3.证明不等式 分析与证：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令 则问题转化为证 即证在时，单减。 ∵ ∴时，单减，有 ∴也单减，有， 证毕。 例4.证明：对任意，有 分析： 本题为恒等式的证明。我们设 由拉格朗日定理的推论，若能证明 则，再确定 即可。 证：当时， ∴ ∵ ∴ ，证毕！ 例5求出函数在区间 上的最大、最小值。 解：显然函数在闭区间 上连续，因而必存在最大、最小值。 由，解得区间内的可疑点为： . 比较以下函数值， 得 . 例6.某食品加工厂生产单位的总成本为，得到的总收益是，求出生产该商品单位的边际利润、生产300单位时的边际利润，当生产多少单位时利润最大。 解：⑴.利润函数 边际利润函数. ⑵.当时， ⑶.令 解得： ， ∴产量单位时，可获最大利润。 注：设函数可导，导函数也称为边际函数。 四.练习题与参考答案 1. 求极限 (1) ⑵ ⑶ 2. 证明. 当时，有: . 3证明： 4 .求单调区间和极值，凹凸区间和拐点。 5. 证明当时，有： ，并求出常数C. 参考答案： 1. (1). ； ⑵. ； ⑶.. 4. 单增区间； 单减区间；极大值， 极小值； 上凹区间（1 ＋∞）；下凹（凸）区间（-∞ 1） ； 拐点（1 , －2）. 5. . 自我复习： 习题四 （A） 8, 9.⑸,⑻,⑼，⑾ ，⑿； 14.⑴,⑶,⑸； 18.⑴，⑵；19.⑴ ；20.⑴,⑶；32.⑵，⑷；37； 41。 习题四 （B） 10；12.