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.\ 第一章 质点的运动 1-1　已知质点的运动方程为：，。式中x、y的单位为m，t的单位为ｓ。试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向。 分析　由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向． 解　(1) 速度的分量式为 当t ＝0 时, vox ＝-10 mｓ-1 , voy ＝15 mｓ-1 ,则初速度大小为 设vo与x 轴的夹角为α,则 α＝12341′ (2) 加速度的分量式为 , 则加速度的大小为 设a 与x 轴的夹角为β,则 β＝-3341′(或32619′) 1-2 一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动。现测得其加速度a＝A-Bv，式中A、B 为正恒量，求石子下落的速度和运动方程。 分析　本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v的函数,因此,需将式dv ＝a(v)dt 分离变量为后再两边积分． 解选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点． (1) 由题 (1) 用分离变量法把式(1)改写为 (2) 将式(2)两边积分并考虑初始条件,有 得石子速度 由此可知当,t→∞时,为一常量,通常称为极限速度或收尾速度． (2) 再由并考虑初始条件有 得石子运动方程 1-3 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即a= - kv2，k为常数。在关闭发动机后，试证： （1）船在t时刻的速度大小为 ； （2）在时间t内，船行驶的距离为 ； （3）船在行驶距离x时的速率为v=v0e-kx。 [证明]（1）分离变数得， 故 ， 可得： ． （2）公式可化为， 由于v = dx/dt， 所以： 积分 ． 因此 ． (3 ) 要求 v( x)，可由 ，有 积分得 证毕． H h v0 图1-18 习题1-4图 1－4行人身高为h，若人以匀速v0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。 解：人前进的速度v0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小， 所以小车移动的速度 小车移动的加速度 1-5 质点沿轴运动，其加速度和位置的关系为 ，a 的单位为 m/s2，x 的单位为 m。质点在x=0处，速度为10m/s，试求质点在任何坐标处的速度值。 解： ∵ 分离变量： 两边积分得 由题知，时，,∴ ∴ 1-6 如图所示，一弹性球由静止开始自由下落高度 h 后落在一倾角的斜面上，与斜面发生完全弹性碰撞后作抛射体运动，问它第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远。 解：小球落地时速度为 建立直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图 （1） （2） 第二次落地时 所以 1－7一人扔石头的最大出手速率为v＝25m/s，他能击中一个与他的手水平距离L=50m，高h=13m的目标吗？在此距离上他能击中的最大高度是多少？ 解：由运动方程,消去t得轨迹方程 以x＝05.0m ，v＝25ms－1代入后得 取g＝10.0，则当时，〈13 所以他不能射中，能射中得最大高度为 1-8 一质点沿半径为R 的圆周按规律运动，v0 、b 都是常量。(1) 求t 时刻质点的总加速度；(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b？(3) 当加速度达到b 时，质点已沿圆周运行了多少圈？ 分析　在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s ＝s(t),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量为an＝v2 /R．这样,总加速度为a ＝aｔeｔ＋anen．至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs＝st -s0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得． 解　(1) 质点作圆周运动的速率为 其加速度的切向分量和法向分量分别为 , 故加速度的大小为 其方向与切线之间的夹角为 (2) 要使｜a｜＝b,由可得 (3) 从t＝0 开始到t＝v0 /b 时,质点经过的路程为 因此质点运行的圈数为 1-9 已知质点的运动方程为： ，式中为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。 解： （1）轨道方程为 这是一条空间螺旋线。 在O平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为h （2） （3） ， 1－10飞机以100ms-1的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标处。问：（1）此时目标在飞机下方前多远？（2）投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出2s后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？ 解： （1） （2） （3） 1－11一无风的下雨天，一列火车以v1=20m/s的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75角下降，求雨滴下落的速度v2。（设下降的雨滴作匀速运动） 解：以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为V1,雨滴相对地面竖直下落的速度为V2，旅客看到雨滴下落速度V2’为相对速度，它们之间的关系为 1－12升降机以加速度a0=1.22ms-2上升，当上升速度为2.44ms-1时，有一螺帽自升降机的天花板脱落，天花板与升降机的底面相距2.74m，试求：（1）螺帽从天花板落到底面所需时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离。解：（1）以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度为a’=g+a,螺丝落到底面时，有 （2）由于升降机在t时间内的高度为 则 1－13飞机A相对地面以vA =1000km/h的速率向南飞行，另一飞机B相对地面以vB =800 km/h的速率向东偏南30方向飞行。求飞机A相对飞机B的速度。 解： 1－14 一人能在静水中以1.10ms-1的速度划船前进，今欲横渡一宽为1000m、水流速度为0.55ms－1的大河。（1），那么应如何确定划行方向？到达正对岸需多少时间？（2）如果希望用最短的时间过河，应如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方？ 解：如图（1）若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，则划行速度和水流速度u的合速度的方向正对着岸，设划行速度合速度的夹角为α 如图（2）用最短的时间过河，则划行速度的方向正对着岸　 1－15设有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处，飞机相对空气的速率为，而空气相对地面的速率为u，A、B间的距离为l。 （1）假定空气是静止的（即u=0），求飞机来回飞行的时间； （2）假定空气的速度向东，求飞机来回飞行的时间； （3）假定空气的速度向北，求飞机来回飞行的时间。 解：由相对速度的矢量关系有 （1）空气时静止的，即u＝0，则往返时，飞机相对地面的飞行速度就等于飞机相对空气的速度v’（图（1）），故飞机来回飞行的时间 (2) 空气的速度向东时，当飞机向东飞行时，风速与飞机相对空气的速度同向；返回时，两者刚好相反（图（2）），故飞机来回飞行的时间为 (3) 空气的速度向北时，飞机相对地面的飞行速度的大小由可得为，故飞机来回飞行的时间为 α v u v’ (1) (2) v’ u 第二章 质点动力学 A B 习题2-1图 aA mg TA TB aB mg 2－1如本题图，A、B两物体质量均为m，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A和B的加速度大小各为多少 。 解：如图由受力分析得 习题2－2图 2－2如本题图所示，已知两物体A、B的质量均为m=3.0kg，物体A以加速度a=1.0m/s2 运动，求物体B与桌面间的摩擦力。（滑轮与连接绳的质量不计） 解：分别对物体和滑轮受力分析（如图），由牛顿定律和动力学方程得， 2-3 如图所示，细线不可伸长，细线、定滑轮、动滑轮的质量均不计已知。求各物体运动的加速度及各段细线中的张力。 习题2-3 图 解：设m1下落的加速度为a1，因而动滑轮也以a1上升。再设m2相对动滑轮以加速度a′下落，m3相对动滑轮以加速度a′上升，二者相对地面的加速度分别为：（下落）和（上升），设作用在m1上的线中张力为T1，作用在m2和m3上的线中张力为T2。列出方程组如下： 代入，，可求出： ，，，，， 2－4光滑的水平面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦系数为μ。物体的初速率为v0，求：（1）t时刻物体的速率；（2）当物体速率从v0减少到v0/2时，物体所经历的时间及经过的路程。 解：（1）设物体质量为m，取图示的自然坐标系，由牛顿定律得， （2） 当物体速率从v0减少到v0/2时，由可得物体所经历的时间 经过的路程 2－5从实验知道，当物体速度不太大时，可以认为空气的阻力正比于物体的瞬时速度，设其比例常数为k。将质量为m的物体以竖直向上的初速度v0抛出。 （1）试证明物体的速度为 (2)证明物体将达到的最大高度为 (3)证明到达最大高度的时间为 证明：由牛顿定律可得 2－6 质量为m的跳水运动员，从距水面距离为h的高台上由静止跳下落入水中。把跳水运动员视为质点，并略去空气阻力。运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为－bv2，其中b为一常量。若以水面上一点为坐标原点O，竖直向下为Oy轴，求：（1）运动员在水中的速率v与y的函数关系；（2）跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0的1/10？（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等） 解：运动员入水可视为自由落体运动，所以入水时的速度为 ，入水后如图由牛顿定律的 y f＝－kv mg v 2－7一物体自地球表面以速率v0竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为f＝－kmv2，其中k为常量，m为物体质量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度的值。 解：分别对物体上抛和下落时作受力分析（如图）， 2-8 质量为的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力f = - kv，为常数，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。 解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：， 分离变量，可得： 两边同时积分，所以： （2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则： 由 可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移： 。 2-9 已知一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的力，是比例常数。设质点在时的速度为零，求质点在处的速度的大小。 解：由题意和牛顿第二定律可得： 再采取分离变量法可得： ， 两边同时取积分，则： 所以： 2-10 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为，子弹从枪口射出时的速率为。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间；（2）子弹在枪筒中所受力的冲量；（3）子弹的质量。 解：（1）由和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到： 算出t=0.003s。 （2）由冲量定义： （3）由动量定理： 2-11 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为51.0 kg 的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来。已知此时人离原处的距离为2.0 m ，安全带弹性缓冲作用时间为0.50 s。求安全带对人的平均冲力。 分析　从人受力的情况来看,可分两个阶段：在开始下落的过程中,只受重力作用,人体可看成是作自由落体运动；在安全带保护的缓冲过程中,则人体同时受重力和安全带冲力的作用,其合力是一变力,且作用时间很短．为求安全带的冲力,可以从缓冲时间内,人体运动状态(动量)的改变来分析,即运用动量定理来讨论．事实上,动量定理也可应用于整个过程．但是,这时必须分清重力和安全带冲力作用的时间是不同的；而在过程的初态和末态,人体的速度均为零．这样,运用动量定理仍可得到相同的结果． 解　以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨论．在自由落体运动过程中,人跌落至2 m 处时的速度为 (1) 在缓冲过程中,人受重力和安全带冲力的作用,根据动量定理,有 (2) 由式(1)、(2)可得安全带对人的平均冲力大小为 2－12长为60cm的绳子悬挂在天花板上，下方系一质量为1kg的小球，已知绳子能承受的最大张力为20N。试求要多大的水平冲量作用在原来静止的小球上才能将绳子打断？ 解：由动量定理得， 如图受力分析并由牛顿定律得， 2－13一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6m。爆炸1.0s后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为100m。问第二块落在距抛出点多远的地面上？(设空气的阻力不计) 解：取如图示坐标系，根据抛体运动规律，爆炸前，物体在最高点得速度得水平分量为 2－14质量为M的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成θ角的速率v0向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）（自己算一遍） 解：取如图所示坐标，把人和物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物得过程中，满足动量守恒，故有 2－15铁路上有一静止的平板车，其质量为M，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动。现有N个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m，相对平板车的速度均为u。问：在下列两种情况下，（1）N个人同时跳离；（2）一个人、一个人地跳离，平板车的末速是多少?所得的结果为何不同，其物理原因是什么?（典型） 解：取平板车及N个人组成的系统，以地面为参考系，平板车的运动方向为正方向，系统在该方向上满足动量守恒。 考虑N个人同时跳车的情况，设跳车后平板车的速度为v，则由动量守恒定律得 0＝Mv+Nm（v－u） v＝Nmu/(Nm+M) (1) 又考虑N个人一个接一个的跳车的情况。设当平板车上商有n个人时的速度为vn，跳下一个人后的车速为vn－1，在该次跳车的过程中，根据动量守恒有 （M+nm）vn=M vn－1+(n-1)m vn－1+m(vn－1-u) (2) 由式（2）得递推公式 vn－1=vn+mu/(M+nm) (3) 当车上有N个人得时（即N＝n），vN＝0；当车上N个人完全跳完时，车速为v0， 根据式（3）有， vN-1=0+mu/(Nm+M) vN-2= vN-1+mu/((N-1)m+M) …………. v0= v1+mu/(M+nm) 将上述各等式的两侧分别相加，整理后得， 2-16 一物体在介质中按规律x ＝ct3 作直线运动，c为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方：，试求物体由x0 ＝0 运动到x ＝l 时，阻力所作的功。 分析　本题是一维变力作功问题,仍需按功的定义式来求解．关键在于寻找力函数F ＝F(x)．根据运动学关系,可将已知力与速度的函数关系F(v) ＝kv2 变换到F(t),进一步按x ＝ct3 的关系把F(t)转换为F(x),这样,就可按功的定义式求解． 解　由运动学方程x ＝ct3 ,可得物体的速度 按题意及上述关系,物体所受阻力的大小为 则阻力的功为 2－17一人从10m深的井中提水，起始桶中装有10kg的水，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功。（典型） 解：水桶在匀速上提的过程中，加速度为0，拉力和重力平衡，在图示坐标下，水桶重力随位置的变化关系为 G＝mg－αgy 其中α＝0.2kg/m,人对水桶的拉力的功为 2－18如本题图所示，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m1和m2。问在A板上需加多大的压力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起来时B稍被提起。（设弹簧的劲度系数为k） 解：选取如图所示坐标系，取原点处为重力势能和弹性势能零点，作各种状态下物体的受力图。对A板而言，当施以外力F时，根据受力平衡有 习题2－18图 2－19如本题图所示，质量为m、速度为v的钢球，射向质量为M的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。 解：设弹簧得最大压缩量为x0。小球与靶共同运动得速度为v1。由动量守恒定律，有 习题2－19图 习题2－20图 2－20以质量为m的弹丸，穿过如本题图所示的摆锤后，速率由v减少到v/2。已知摆锤的质量为M，摆线长度为l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？ 解： 2－21如本题图所示，一质量为M的物块放置在斜面的最底端A处，斜面的倾角为α，高度为h，物块与斜面的滑动摩擦因数为μ，今有一质量为m的子弹以速度v0 沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。 解： 图2-40 习题2-22 图 2-22 如图2-40所示，在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连着物体、，它们质量分别为和，弹簧劲度系数为，原长为。用力推，使弹簧压缩，然后释放。 求：（1）当与开始分离时，它们的位置和速度；（2）分离之后，还能往前移动多远? 解：（1）当A和B开始分离时，两者具有相同的速度，根据能量守恒，可得到：，所以：; （2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以： ，则： 图2-41 习题2-23 图 2-23 如图2-41所示，光滑斜面与水平面的夹角为a=30，轻质弹簧上端固定。今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M= 1.0kg的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动。当木块向下滑x=30cm时，恰好有一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以速度射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为。求子弹打入木块后它们的共同速度。 解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，（瞬间）可得： (碰撞前木快的速度) 习题2－21图 2－24 二质量相同的小球，一个静止，另一个以速度0与静止的小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。（1）假设碰撞是完全非弹性的；（2）假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞的恢复系数。 解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得 （1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行： 所以： （2）假设碰撞是完全弹性的， 两球交换速度， （3）假设碰撞的恢复系数，也就是 所以： ， 习题2－25图 2－25如本题图所示，一质量为m的钢球，系在一长为l的绳一端，绳另一端固定，现将球由水平位置静止下摆，当球到达最低点时与质量为M，静止于水平面上的钢块发生弹性碰撞，求碰撞后m和M的速率。 图2-43 习题2-26 图 2-26 如图2-43所示，两个质量分别为m1和m2的木块A、B，用一劲度系数为k的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A紧靠墙。今用力推B块，使弹簧压缩x0然后释放。（已知）求：（1）释放后两滑块速度相等时的速度大小；（2）弹簧的最大伸长量。 解：分析题意，可知在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B木块的动能，然后B带动A一起运动，此时动量守恒，可得到两者相同的速度v ，并且此时就是弹簧伸长最大的位置，由机械能守恒可算出其量值。 所以 （2） 那么计算可得： 2－27如本题图示，绳上挂有质量相等的两个小球，两球碰撞时的恢复系数e=0.5。球A由静止状态释放，撞击球B，刚好使球B到达绳成水平的位置，求证球A释放前的张角q 应满足cosq = 1/9。 B q 2L 习题2－27图 A B C L 证明：设球A到达最低点的速率为v，根据机械能守恒有 图2-45 习题2-28 图 2-28 如图2-45所示，一质量为m，半径为R的球壳，静止在光滑水平面上，在球壳内有另一质量也为m，半径为r的小球，初始时小球静止在图示水平位置上。放手后小球沿大球壳内往下滚，同时大球壳也会在水平面上运动。当它们再次静止在水平面上时，问大球壳在水平面上相对初始时刻的位移大小是多少？ 解：系统在水平方向上不受外力，因而系统质心的水平位置始终不变。如图所示，初始时，系统的质心到球心O的距离为(从质心公式算) 小球最终将静止于大球壳的最下方，而系统质心的水平位置始终不变，因而大球壳在水平面上相对初始时刻的位移大小(另外从质心公式算) 图2-46 习题2-29 图 2-29 如图2-46所示，从坐标原点以v0的初速度发射一发炮弹，发射倾角q = 45。当炮弹到达 处时，突然爆炸分成质量相同的两块，其中一块竖直下落，求另一块落地时的位置x2是多少？ 解：炮弹爆炸后其质心仍按原抛物线轨道运动，因而落地后的质心坐标为 由式，且 ，有 第三章 刚体力学 3－1　一通风机的转动部分以初角速度ω0绕其轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，比例系数C为一常量。若转动部分对其轴的转动惯量为J，问：（1）经过多少时间后其转动角速度减少为初角速度的一半？（2）在此时间内共转过多少转？ 解：（1）由题可知：阻力矩， 又因为转动定理 当时，。 图3-28 习题3-3图 （2）角位移， 所以，此时间内转过的圈数为。 3－2　质量面密度为的均匀矩形板，试证其对与板面垂直的，通过几何中心的轴线的转动惯量为。其中a，b为矩形板的长，宽。 证明一：如图，在板上取一质元，对与板面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为 证明二：如图，在板上取一细棒，对通过细棒中心与棒垂直的转动轴的转动惯量为，根据平行轴定理，对与板面垂直的、通过几何中心的轴线的转动惯量为 T (这道题以右边为坐标原点，左为正方向) 3-3 如图3-28所示，一轻绳跨过两个质量为、半径为的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为和的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，求重物的加速度和各段绳中的张力。（现在滑轮质量要计，所以绳子拉力会不等） 解：受力分析如图　　　　　 　 　　　　（1） 　　　　　（2） 　　　　（3） 　　　　　（4） （对于质量非常小的物体，转动惯量为零，才有可能T=T1） ， (5) 联立求出 ，　，， 图3-29 习题3-4图 3-4 如图3-29所示，一均匀细杆长为L，质量为，平放在摩擦系数为的水平桌面上，设开始时杆以角速度绕过细杆中心的竖直轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 （1） 解：设杆的线，在杆上取一小质元　　　 　　　　 考虑对称 （2） 根据转动定律 　　　　 　　　　 　　　　所以　 3－5　质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在如本题图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间的摩擦力略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳中的张力。 解：分别对两物体做如图的受力分析。根据牛顿定律有 又因为组合轮的转动惯量是两轮惯量之和，根据转动定理有（从积分定义式即可算出） 而且，，，（列1.牛二2.转动定律3.约束方程即可求解） 3－6　如本题图所示装置，定滑轮的半径为r，绕转轴的转动惯量为J，滑轮两边分别悬挂质量为m1和m2的物体A、B。A置于倾角为θ的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ。若B向下作加速运动时，求：（1）其下落加速度的大小；（2）滑轮两边绳子的张力。（设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑） 解:A、B物体的受力分析如图。根据牛顿定律有 对滑轮而言，根据转动定律有 由于绳子不可伸长、绳与轮之间无滑动，则 图3-32 习题3-7图 3-7 如图3-32所示，定滑轮转动惯量为 J，半径为 r；物体的质量为 m，用一细绳与劲度系数为 k 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止开始下落。求：（1）物体下落的最大距离；(2) 物体的速度达最大值时的位置。 解：（1）机械能守恒。　设下落最大距离为 　　　　　 （2）（物体的重力势能转化为这些能） 　　　 若速度达最大值，， 图3-36 习题3-11图 3-8 如图3-33所示，一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数，当时弹簧无形变，细棒的质量，求在的位置上细棒至少应具有多大的角速度，才能转动到水平位置？ 解：机械能守恒　　　　　　　　　　　　　　　　 图3-33 习题3-8图 　　　（一开始的机械能=后面的机械能，水平临界状态速度为零，没有转动能） 据几何关系 图3-34 习题3-9图 3-9 如图3-34所示，一质量为、半径为的圆盘，可绕过点的水平轴在竖直面内转动。若盘从图中实线位置开始由静止下落，略去轴承的摩擦，求：（1）盘转到图中虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解：在虚线位置的C点设为重力势能的零点，下降过程机械能守恒图3-34 习题3-9图 （平行轴定理：圆心到O） 方向向上 图3-35 习题3-10图 3-10 如图3-35所示，一质量为的质点以v的速度作匀速直线运动。试证明：从直线外任意一点O到质点的矢量r在相同的时间内扫过的面积相同。 解：质点不受任何力作用才会作匀速直线运动，因而它对O点的力矩也为零，即对O点的角动量守恒 常量。另一方面，矢量r在单位时间内扫过的面积：=常量。 3-11 如图3-36所示，质量的卫星开始时绕地球作半径为的圆周运动。由于某种原因卫星的运动方向突然改变了q =30角，而速率不变，此后卫星绕地球作椭圆运动。求（1）卫星绕地球作圆周运动时的速率v；（2）卫星绕地球椭圆运动时，距地心的最远和最近距离和。 解：（1）由 ，得 （2） 卫星在运动过程中对地心的角动量守恒和机械能守恒： (rF=0，角动量守恒) （椭圆的三个点，突变前不守恒） （突变后椭圆的三个点） 其中，、分别是卫星在远地点与近地点时的速率，可求出 ， L o M m v 习题3-7图 3－12　如本题图所示，质量为M长为L的均匀直杆可绕过端点o的水平轴转动，一质量为m的质点以水平速度v与静止杆的下端发生碰撞，如图示，若M=6m，求质点与杆分别作完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞后杆的角速度大小。 解：（1）质点与杆完全弹性碰撞，则能量守恒 又因为角动量守恒 （碰撞的瞬间角动量守恒） 且 ， (2) 完全非弹性碰撞，角动量守恒 又 习题3－13图 3－13如本题图所示，A与B两飞轮的轴杆由摩擦啮合器连接，A轮的转动惯量J1=10.0kgm2，开始时B轮静止，A轮以n1=600r/min的转速转动，然后使A与B连接，因而B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的转速都等于n=200r/min为止。求：（1）B轮的转动惯量；（2）在啮合过程中损失的机械能。 解：（1）取两飞轮为系统，啮合过程中系统角动量守恒，即（没有外力） 所以B轮的转动惯量为 （2）啮合过程中系统机械能变化 图3-39 习题3-14图 图3-39 习题3-14图 3-14 如图3-39所示，长为的轻杆（质量不计），两端各固定质量分别为和的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为和。轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为的小球，以水平速度v0与杆下端小球作对心碰撞，碰后以的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 解：根据角动量守衡 有　　　 　 图3-40 习题3-15图 3-15 如图3-40所示，有一空心圆环可绕竖直轴OO′自由转动，转动惯量为J0 ，环的半径为R，初始的角速度为ω0 ，今有一质量为m 的小球静止在环内A 点，由于微小扰动使小球向下滑动。问小球到达B、C点时，环的角速度与小球相对于环的速度各为多少？ (假设环内壁光滑。) 图3-40 习题3-15图 解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至点时，有（球看成质心J=mR2） ① 该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为，以点为重力势能零点，则有 ② 联立①、②两式，得 (2)当小球滑至点时，∵ ∴ 故由机械能守恒，有(A、C两点没有转动，所以转动惯量回到初始状态，) ∴ 3－16一长为2L的均匀细杆，一端靠墙上，另一端放在的水平地板上，如本题图所示，所有的摩擦均可略去不计，开始时细杆静止并与地板成θ0角，当松开细杆后，细杆开始滑下。问细杆脱离墙壁时，细杆与地面的夹角θ为多大？ 解：如图，以初始细杆的质心为原点建立坐标系，则任意时刻质心坐标为 （1） （2） 取初始位置的势能为零，则根据机械能守恒有 （3）（掉下了y，转化为.......） 将式（1）代入（3）得 （4） （5） 当细杆与墙壁脱离接触时， （6） 将式（4）、（5）、（6）代入（2）解得 O C A B 3－17如本题图所示，A、B两个轮子的质量分别为m1和m2，半径分别为r1和r2。另有一细绳绕在两轮上，并按图所示连接。其中A轮绕固定轴O转动。试求：（1）B轮下落时，其轮心的加速度；（2）细绳的拉力。 解：如图，取竖直向下为正方向。轮A作定轴转动，设其角加速度为，根据转动定理有 轮B作平面运动，设质心加速度为，角加速度为， 根据牛顿定律有 根据转动定理有 A轮边缘一点加速度 B轮边缘一点加速度 C l h 习题3-18图 而且 ， 3－18如本题图所示，一长为l的均质杆自水平放置的初始位置平动自由下落，落下h距离时与一竖直固定板的顶部发生完全弹性碰撞，杆上碰撞点在距质心C为l/4处，求碰撞后瞬间的质心速率和杆的角速度。 解： 由机械能守恒 其中J为绕质心转动惯量 由动量定理 由角动量定理 联立解得 ，　 q 2q -4q 2q 习题4－1图 第4章　　真空中的静电场 4－1 在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。 解：如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力将相互抵消，单位正电荷所受的力为 ＝方向由q指向-4q。 4－2 如图，均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ。（1）求棒的延长线上任一点P的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。 0 dq x dx , P 习题4－2 图a x 解：（1）如图7－2 图a，在细棒上任取电荷元dq，建立如图坐标，dq＝ldx，设棒的延长线上任一点P与坐标原点0的距离为x， 则整根细棒在P点产生的电场强度的大小为 0 dq x dx , P 习题4－2 图b y dE q y Q q0 0 ＝方向沿x轴正向。 （2）如图7－2 图b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为y， ， 因， 代入上式，则 ＝，方向沿x轴负向。 ＝ 4－3 一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心O处的场强。 dq q q dE x y 习题4－3图 R 解：如图，在半环上任取dl=Rdq的线元，其上所带的电荷为dq=lRdq。对称分析Ey=0。 ，如图，方向沿x轴正向。 a λ1 λ2 习题4－4图 0 x dq 4－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l、线电荷密度为λ2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。 解：在λ2的带电线上任取一dq，λ1的带电线是无限长，它在dq处产生的电场强度由高斯定理容易得到为， 两线间的相互作用力为 如图，方向沿x轴正向。 4－5 两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？ 解：设其中一个电荷的带电量是q，另一个即为Q－q，若它们间的距离为r，它们间的相互作用力为 相互作用力最大的条件为 由上式可得：Q=2q，q=Q/2 y q r 习题4－6图 o 4－6 一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。 解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为 dq在o点产生的电场据（7－10）式为 ， 。如图，方向沿y轴负向。 4－7 设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。 S1 S2 E 习题4－7图 解：如图，设作一圆平面S1盖住半球面S2， 成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0， 即 r 0 R 习题4－8图 4－8 求半径为R，带电量为q的空心球面的电场强度分布。 解： 由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S1与S2。对S1与S2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为