大学物理第三章习题集选解.doc

,. 第三章 刚体的转动 3-1 一飞轮受摩擦力矩作用减速转动，其角加速度与角速度成正比，即，式中为比例常数。初始角速度为，求： （1）飞轮角速度随时间变化的关系； （2）角速度由减为所需的时间以及在此时间内飞轮转过的转数。 解：（1）由， 分离变量 ，并由初始条件； 等式两边积分 （2）当角速度由减为时 由， 分离变量 ，并由初始条件，；等式两边积分 代入，得飞轮转过的角度 飞轮转过的转数 3-2 一刚体由静止开始绕一固定轴作匀角加速转动。由实验可测得刚体上某点的切向加速度为，法向加速度为，试证明，为任意时间内转过的角度。 解：刚体定轴转动时,设刚体上某点作圆周运动的半径为，则该点的 法向加速度为 切向加速度为 又，且 3-3 一根质量为，长为的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动。已知细杆与桌面的滑动摩擦因数为，求杆转动时受摩擦力矩的大小。 解：设杆的线密度为。在杆上取一线元距转轴为，质量为。该线元在转动时受桌面摩擦力为 摩擦力方向与垂直，故线元受摩擦力矩的大小为 杆转动时受摩擦力矩的大小为 又 3-4 如图所示，一长为，质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为和的小球，杆可绕通过其中心且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转 动。开始杆与水平方向成某一角度，处于静止状态，释放后，杆绕轴转动。当杆转到水平位置时，求系统所受的合外力矩与系统的角加速度大小。 解：两小球对水平转轴的转动惯量为 题3-4图 当杆转到水平位置时，小球和直杆所受合外 力矩为 题3-4图 由刚体的转动定律 3-5 如图所示，一轻绳绕于半径 的飞轮边缘，现以恒力 拉绳的一端，使飞轮由静止开始加速转动。 已知飞轮的转动惯量为，飞轮 与轴承之间的摩擦不计。 题3-5图 （1） 求飞轮的角加速度； （2） 求绳子拉下时，飞轮的角速度和飞轮获得的动能； （3） 这动能和拉力所做的功是否相等？为什么？ （4） 如以重量的物体挂在绳端，如图示，飞轮将如何运动？试再计算飞轮的角加速度和绳子拉下时飞轮获得的动能。这动能和重力对物体所做的功是否相等？为什么？ 解：恒力作用于飞轮的力矩 （1）由刚体转动第二定律，飞轮 的角加速度 （2）绳子拉下时，飞轮转过的角度 题3-5图 题3-5图 设经过的时间为，则 飞轮的角速度 飞轮获得的动能 （3）拉力所做的功为 与飞轮获得的动能相等 （4）若在绳端挂重量的物体 则有 解得 绳子拉下时，飞轮的角速度为，由， 飞轮获得动能 重力对物体所做的功 物体所获动能 重力对物体所做的功为物体动能和飞轮动能之和。 3-6 如图所示，两物体的质量分别为和，滑轮转动惯量为，半径为，则 （1） 若与桌面间滑动摩擦系数为，求 系统的加速度及绳中张力（设绳不可伸长， 绳与滑轮间无相对滑动）； （2） 如与桌面为光滑接触，求系统的加 速度与绳中张力； （3） 若滑轮的质量不计则结果又如何？ 题3-6图 解：（1）若与桌面滑动摩擦系数为，则有如下方程组 解得 （2）若与桌面光滑接触，则有 解得 （3）若再忽略滑轮质量 解得 3-7 如图所示，轻弹簧、定滑轮和物 体系统。已知弹簧倔强系数，定 滑轮转动惯量，半径， 开始物体静止，弹簧无伸长，求当质量为 的物体落下时它的速度大小。 题3-7图 解：设物体下落了时，其速度为，由机械能守恒定律 又 故有 代入 ，，，， 得 3-8 如图所示，一质量为的物体 与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可 以忽略，它与滑轮之间无滑动。假设定滑 轮质量为，半径为，转动惯量为， 滑轮轴光滑。求该物体由静止开始下落过 程中下落速度与时间的关系。 题3-8图 解：方法一：由牛顿第二定律及刚体 的转动定律得 得 故物体的下落速度为 题3-8图 方法二：由机械能守恒定律 其中 解得 3-9 水分子的形状如图所示。从光谱分析知水分子对轴的转动惯量是 ，对轴的转动惯量是。试由此数据和各原子的质量求出氢和氧原子间的距离和夹角。假设各原子都可当质点处理。 解：水分子中两个氢分子对轴和轴的转动惯量分别为、 题3-9图 ① ② 已知氢原子质量 ①、②两式相除，得 把值代入①式得 3-10 如图所示，从一个半径为的均匀薄板上挖去一个直径为的圆板。所形成的圆洞中心在距原薄板中心处。所剩薄板的质量为。求此时薄板对于通过圆中心而与板面垂直的轴的转动惯量。 解：设均匀薄板被挖去圆板后的转动惯量为，挖去圆板前的转动惯量为，被挖去的圆板对转轴的转动惯量为，则有 被挖去的圆板对通过自己圆心并垂直于板面的转轴的转动惯量为 ，由平行轴定理 题3-10图 又 故 薄板对通过圆中心的垂直轴的转动惯量 3-11 如图所示，一根质量均匀的 铁丝，质量为，长为，在其中心处 弯成角，放在平面内。 （1） 求对轴和轴的转动惯量； （2） 如果，（1）中结果如何？ 题3-11图 解：（1） 在距点为 处取线元，距轴为。线元质量为，对轴的转动惯量为 铁丝对轴的转动惯量 同理 ， （2）若 3-12 长为，质量为的匀质棒，垂直悬挂在转轴点上，用的水平力撞击棒的下端，该力作用的时间为，求： （1） 棒所获得的动量矩； （2） 棒的端点上升的距离。 解：棒对转轴的转动惯量为 （1）在打击瞬间，重力对转轴不产生力矩，由 角动量定理，棒所获得的动量矩 题3-12图 （2）撞击后，棒转动到最高位置时角速度为零，以棒和地球为研究对象，此过程中机械能守恒。设棒的中心上升的距离为。 其中代入上式 棒的端点上升的距离 3-13 如图所示，一根质量为，长为的均匀细棒，可在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动，开始时细棒在水平位置。一质量为的小球，以速 度垂直落到棒的端点。设小球与棒作弹性碰撞。 求碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度。 解：棒的转动惯量为 题3-13图 设碰撞后小球的速度为，棒的角速度为。碰撞过程内力比外力大的多，碰撞过程角动量守恒，则有 ① 又因小球与棒作弹性碰撞，机械能守恒 ② 把代入①②两式解得 3-14 如图所示，一长，质量为的均匀细木棒，由其上端的光滑水平轴吊起而处于静止，今有一质量的子弹以的速率水平射入棒中，射入点在轴下处。求： （1）子弹停在棒中时棒的角速度； （2）棒的最大偏转角。 解：（1）子弹对转轴的转动惯量为 细木棒的转动惯量 题3-14图 子弹射入棒前对转轴的角速度为，射入后与棒一起转动的角速度为。射入木棒前后，子弹与木棒的角动量守恒 （2）设棒的最大偏转角为，棒的中心和子弹上升的高度分别为、。由机械能守恒定律 解得 3-15 如图所示，质量为，长为的均匀细杆可绕过端点的固定水平轴 转动。杆从水平位置由静止开始下摆，杆摆 至竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球 相碰。小球看作质点，质量也为，设碰撞 是弹性的，忽略轴上摩擦，求碰后小球获得 的速度。 题3-15图 解：细杆的转动惯量为 杆摆在竖直位置时，质心下降了，由机械能守恒定律 题3-15图 设碰撞后小球的速度为，杆的角速度为。碰撞过程内力比外力大的多，碰撞过程角动量守恒，则有 ① 由于是弹性碰撞，机械能守恒 ② 把和 代入①②两式得