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第12章 静电场
P35．
E2
E
E1
q2
A
C
q1
B
θ
图13.1
12．3 如图所示，在直角三角形ABCD的A点处，有点电荷q1 = 1.810-9C，B点处有点电荷q2 = -4.810-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求C点的场强．
[解答]根据点电荷的场强大小的公式
，
其中1/(4πε0) = k = 9.0109Nm2C-2．
点电荷q1在C点产生的场强大小为
，
方向向下．
点电荷q2在C点产生的场强大小为
，
方向向右．
C处的总场强大小为
，
总场强与分场强E2的夹角为
．
12．4 半径为R的一段圆弧，圆心角为60，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强．
Ex
x
E
θ
R
ds
Ey
O
y
[解答]在带正电的圆弧上取一弧元
ds = Rdθ，
电荷元为dq = λds，
在O点产生的场强大小为
，
场强的分量为dEx = dEcosθ，dEy = dEsinθ．
ds
Ex
x
E
θ
R
Ey
O
y
对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为
．
12．5 均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为λ = 310-8Cm-1，求：
（1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强；
（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强．
[解答]（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)．
o
lx
x
dl
y
P1
r
-L
L
d1
在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = λdl，
根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为
场强的方向沿x轴正向．因此P1点的总场强大小通过积分得
． ①
将数值代入公式得P1点的场强为
= 2.41103(NC-1)，
方向沿着x轴正向．
o
lx
x
dl
r
-L
L
y
P2
dEy
dE2
dEx
d2
θ
θ
（2）建立坐标系，y = d2．
在细棒上取一线元dl，所带的电量为
dq = λdl，
在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为
，
由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为 dEy = dE2sinθ．
由图可知：r = d2/sinθ，l = d2cotθ，
所以 dl = -d2dθ/sin2θ，
因此 ，
总场强大小为
． ②
将数值代入公式得P2点的场强为
= 5.27103(NC-1)．
方向沿着y轴正向．
[讨论]（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入①式，化简得
，
保持d1不变，当a→∞时，可得
， ③
这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小．
（2）由②式得
，
当a→∞时，得
， ④
这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．
如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E1．
θ
R
O
图13.4
12．6 一均匀带电无限长细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O点处的场强为零．
[解答]设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强．
θ
R
O
x
dφ
dE
φ
在圆弧上取一弧元 ds =R dφ，
所带的电量为
dq = λds，
在圆心处产生的场强的大小为
，
由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为
dEx = -dEcosφ．
总场强为
，
方向沿着x轴正向．
θ
O
E`
E``
x
R
再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．
根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为
，
由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生的合场强为
，
方向沿着x轴负向．
当O点合场强为零时，必有，可得 tanθ/2 = 1，
因此 θ/2 = π/4，
所以 θ = π/2．
P
b
a
Q
d
图13.5
12．7 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如图所示．试求：
（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a处的场强．
（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强．
P
b
a
O
x
dx
y
[解答]（1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为
dλ = σd x，
根据直线带电线的场强公式
，
得带电直线在P点产生的场强为
，
其方向沿x轴正向．
由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为
． ①
场强方向沿x轴正向．
Q
b
d
O
z
dx
x
y
r
dE
θ
（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度仍然为
dλ = σd x，
带电直线在Q点产生的场强为
，
沿z轴方向的分量为
，
设x = dtanθ，则dx = ddθ/cos2θ，因此
积分得
． ②
场强方向沿z轴正向．
[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为
λ = σb，
①式的场强可化为
，
当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
， ③
这正是带电直线的场强公式．
（2）②也可以化为
，
当b→0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为
，
这也是带电直线的场强公式．
当b→∞时，可得
， ④
这是无限大带电平面所产生的场强公式．
12．8 （1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？
（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？
[解答]点电荷产生的电通量为
Φe = q/ε0．
（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为
Φ1 = Φe/6 = q/6ε0．
（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为
Φ1 = Φe/24 = q/24ε0；
立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．
12．9 面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如图所示．求通过此半球面的电通量．
R
O
图13.7
[解答]设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的电荷为
q = πR2σ，
通过球面的电通量为
Φe = q/ε0，
通过半球面的电通量为
Φ`e = Φe/2 = πR2σ/2ε0．
12．10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R1 > R2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R1；（2） R1 < r < R2；（3）r > R2处各点的场强．
[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性．
（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以
E = 0，（r < R1）．
（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl，
穿过高斯面的电通量为
，
根据高斯定理Φe = q/ε0，所以
， (R1 < r < R2)．
（3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以
E = 0，（r > R2）．
12．11 一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．
[解答]方法一：高斯定理法．
（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`．
S2
S1
E`
S1
S2
E
E
d
2r
S0
E`
S0
在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为
，
高斯面内的体积为 V = 2rS，
包含的电量为 q =ρV = 2ρrS，
根据高斯定理 Φe = q/ε0，
可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r≦d/2)．①
（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES，
高斯面在板内的体积为V = Sd，
包含的电量为 q =ρV = ρSd，
根据高斯定理 Φe = q/ε0，
可得场强为 E = ρd/2ε0，(r≧d/2)． ②
方法二：场强叠加法．
E2
dy
r
y
o
E1
d
（1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为
dσ = ρdy，
产生的场强为 dE1 = dσ/2ε0，
积分得
，③
同理，上面板产生的场强为
，④
r处的总场强为E = E1-E2 = ρr/ε0．
（2）在公式③和④中，令r = d/2，得
E2 = 0、E = E1 = ρd/2ε0，
E就是平板表面的场强．
平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式．
12.12
O
R
a
R`
O`
图13.10
12．13 一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去一块半径为R`
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