《复变函数》总结69339.docx

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1、精品名师归纳总结复变小结1. 幅角（不赞成死记,学会分析）yarctg,x0 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结arg z其中,x2arctg y,xx,xargtg y.2x20, y00, y00, y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-arg zArgz1z2=Argz1+Argz2Argz1/z2=Argz1-Argz22. 求根：ininnn由 z= e=rcos+isin得z = e = r cosn+isinn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 r=1 时, cosi sin = cosni sinn （*1 ）可编辑资料 - -

2、- 欢迎下载精品名师归纳总结n当 wz求方根公式 牢记.:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结w=n zi2 k2 kn ren可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn rcos 2ki sinn（*2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中k0,1,2, n1。arg z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：sin 5i cos105可直接利用（ *1 ）式求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

3、名师归纳总结4 1i3. 复函数 ：可令 z=1+i, 利用（ *2 ）式求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a. 一般情形下： w=fz, 直接将 z=x+iy 代换求解但遇到特殊情形时：如课本P12 例 1.13（ 3）可考虑：iz= e=rcos +isin代换。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b. 对于 P12 例题 1.11 可懂得为高中所学的平面上三点（ A,B,C ）共线所满意的公式 :向量 OC=tOA+ （ 1-t） OB=OB+tBAc. 对于 P15 例题 1.14 中可直接转换成X 和 Y 的表达式后判定正负号来确定其图像。d. 判定函数

4、 fz 在区域 D 内是否连续可借助课本P17 定义 1.8 4.解析函数,指数,对数,幂、三角双曲函数的定义及表达式,能娴熟运算,能娴熟解初等函数方程a. 在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析肯定可导,可导不肯定解析。b. 柯西黎曼条件,自己牢记:（留意那个加负那个不加） c.指数函数 :复数转换成三角的定义。d. 只需记住： Lnz=lnz+iargz+2ke. 幂函数：底数为 e 时直接运算（一般转换成三角形式）=ez当底数不为 e 时, w=aaLnz 幂指数为 Ln 而非 ln可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结能够区分：i i , ee , i e i的运算。

5、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f. 三角函数和双曲函数：e yey可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只需记住： cos zizizee,sin zizizee. 2.15cosiy及ch y2y y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22i其他可自己试着去推导一下。反三角中前三个最好自己记住,特殊Arctg zsin iyee 2ii Ln 1iz21izi sh y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于下一章求积分会用到5. 复变函数的积分arctan z ,12如第三章的习题 9z 1

6、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a. 注：只有当函数解析即满意柯西-黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。 （勿乱用）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如:zdz与路径无关。而czdz 与路径有关。c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b. 柯西-古萨基本定理：当函数fz 在以简洁闭曲线 C 为边界的有界区域 D 内解析且在闭区域上连续时：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重要公式f zd z0C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d z2i,n0,可编辑资料 - -

7、- 欢迎下载精品名师归纳总结|zz0|r zz n 10,n0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0c. 柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于运算积分：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f z0 1n12 i Cf z zz0d z.3.17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f n z n.f zd z3.20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0n1,2,2 i C。 zz0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d. 调和函数：22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x,y调和:220xy可编辑资料 - - -

8、欢迎下载精品名师归纳总结一般与柯西 -黎曼公式一起用 :熟知课本 P52 中的例 3.11 中三种解法即可。6. 级数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a.熟知课本 P59 定理 4.2 及其推导（其中1 最重要）性质。b.阿贝尔定理 :判定收敛和发散区间。c. 幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。（方法同于高数级数）f zc znnz 0d.泰勒级数：n 0成立,其中cn1n.f n z , n00,1,2,.五个重要初等函数绽开式：e z1zz 22.z nn. 4 .8sinzzz 33.z 55.z 2 n 2 n11 n1 . 4 . 10 cos z1z 22.z

9、44.2 n1 nz 2 n . 4 . 11 其余可由式：11z1zz21n zn,| z | 1.直接推导。（留意各绽开式的 z 取值范畴）e. 洛朗绽开式 :与泰勒绽开式的主要区分在于其包含 Z 的负次数方幂。泰勒绽开式是洛朗绽开式的特殊形式。 （即当洛朗绽开式中奇点为可去奇点时绽开式为泰勒形式）f. 零点,奇点,极点零点:即使得函数 fz=0 的点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇点： 即使得函数 fz 无意义的点。（ P82 定理 4.18 的三条关于孤立奇点的等价式实为可去奇点的特点）奇点又分为：可去奇点,本性奇点,一般奇点。可去奇点：即洛朗绽开式中不存在Z 的负

10、次数方幂。本性奇点：即绽开式中存在Z 的负无穷次方幂。一般奇点：即绽开式中存在Z 的有限次负次数方幂。极点：即为奇点中除去可去奇点后的全部奇点。极点肯定是奇点,但奇点不肯定是奇点。（奇点简洁判定, 极点可借助 P83 定理 4.19 判定同时可以学会判定是几阶极点,对于第五章中求留数有用）P84 定理 4.22：极点和零点的关系。7. 留数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a. 留数定理：Resf z ,z 0 12iCf z d z5.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用课本 P93-94 三种情形及第五章中判定极点的阶数求留数（没什么特殊方法,期望大家通过多

11、练来把握）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b. 利用留数定理求积分：Cf z d z2 inResk1f z ,zk . 5 . 7 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有些情形下利用留数和定理：n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Resf z ,Resk1f z ,z k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 i Cf z d z12 iCf z dz0 .更便于求解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊转换：Res f z,Res f1 z1 ,0z2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c. 用留数运算实积

12、分：2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结wordRcos0,sin d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如：的积分,一般令z=ei使用条件： Rx,y 变量 x,y 的有理函数,并且在单位圆上分母不为零。形如R x d x 的积分使用条件：函数Rx是 x 的有理函数 , 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且分是存在的 .Rx在实轴上没有孤立奇点时, 积ix形如：e f xdx 的积分使用条件 :其中 fz在 Imz 0 内除可能有有限各孤立奇点外到处解析, 并且当 z 在 Imz 0 上时 P104 引理 5.3 中（ 5.15） 式成立。（ 详细懂得大家

13、可参考课本中的例题）老师所给划题目： P22- 例、 P26- 例、 P33-3P26- 例、 P33-1P55-7 （ 1 、2 ）、相关例子P46- 例、 P47 例、 P55-8 P88-11（ 1-6 ）P79-80例、 P89-16（ 2、5 ）P90-18 （ 1 、2 、3 ）P113-5、相关例子P97 例、 P113-6（1-5 ）P114-8、相关例子以上基本上是理论的东西。有些东西仅为个人懂得,如有问题可提出来。例题大家可参考吴林峰发到群邮箱内的试卷。里面全部附有答案（假如找不到的可找我要）。复变看书是作用不是很大,大家仍是多做做题练习一下,成效会更好。word可编辑资料 - - - 欢迎下载