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-/ 阿习题十一 1．设L为xOy面内直线x=a上的一段，证明：其中P(x,y)在L上连续． 证：设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)这一段， 则 L：，始点参数为t=b1，终点参数为t=b2故 2．设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线，证明：，其中P(x,y)在L上连续． 证：L：，起点参数为x=a，终点参数为x=b． 故 3．计算下列对坐标的曲线积分： (1)，其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； (2)其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a>0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)； (3)，其中L为圆周x=Rcost，y=Rsint上对应t从0到的一段弧； (4)，其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行)； (5)，其中Γ为曲线x=kθ，y=acosθ，z=asinθ上对应θ从0到π的一段弧； (6)，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线； (7)，其中Γ为有向闭拆线ABCA，这里A，B，C依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)； (8)，其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧． 解：(1)L：y=x2，x从0变到2， (2)如图11-1所示，L=L1+L2．其中L1的参数方程为 图11-1 L2的方程为y=0(0≤x≤2a) 故 (3) (4)圆周的参数方程为：x=acost，y=asint，t:0→2π． 故 (5) (6)直线Γ的参数方程是 t从1→0． 故 (7)(如图11-2所示) 图11-2 ，x从0→1 ． ，z从0→1 ，x从0→1 ． 故 (8) 4．计算，其中L是 (1)抛物线y2=x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； (2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段； (3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； (4)曲线x=2t2+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧． 解：(1)L：，y：1→2，故 (2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x=3y-2，y：1→2 故 (3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L2，则L=L1+L2．且 L1：，y：1→2；L2：，x：1→4； 故 从而 (4)易得起点(1,1)对应的参数t1=0，终点(4,2)对应的参数t2=1，故 5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a,0)沿椭圆移动到B(0,b)，求力所做的功． 解：依题意知 F=kxi+kyj，且L：，t：0→ (其中k为比例系数) 6．计算对坐标的曲线积分： (1)，Γ为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ封限； (2)，Γ为x2+y2+z2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分． 解:(1)Γ：　即 其参数方程为：　t：0→2π 故： (2)如图11-3所示． 图11-3 Γ=Γ1+Γ2+Γ3． Γ1：　 t：0→， 故 又根据轮换对称性知 7．应用格林公式计算下列积分： (1)， 其中L为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)，其中L为正向星形线； (3)，其中L为抛物线2x=πy2上由点(0,0)到(,1)的一段弧； (4)，L是圆周上由点(0,0)到(1,1)的一段弧； (5)，其中m为常数，L为由点(a,0)到(0,0)经过圆x2+y2=ax上半部分的路线（a为正数）． 图11-4 解：(1)L所围区域D如图11-4所示，P=2x-y+4， Q=3x+5y-6，，，由格林公式得 (2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x2sinx-2yex， 则， ． 从而，由格林公式得． (3)如图11-5所示，记，，围成的区域为D．（其中=-L） 图11-5 P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2 ， 由格林公式有： 故 (4)L、AB、BO及D如图11-6所示． 图11-6 由格林公式有 而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)． ，，即， 于是 从而 (5)L，OA如图11-7所示． 图11-7 P=exsiny-my， Q=excosy-m， ， 由格林公式得： 于是： 8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x=acos3t，y=asin3t2ex2； (2)双纽线r2=a22cos2θ； (3)圆x2+y2=2ax． 解：(1) (2)利用极坐标与直角坐标的关系x=rcosθ，y=rsinθ得 ， 从而xdy-ydx=a2cos2θdθ． 于是面积为： (3)圆x2+y2=2ax的参数方程为 故 9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (1)； (2)； (3)沿在右半平面的路径； (4)沿不通过原点的路径； 证：(1)P=x-y，Q=y-x．显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，故积分与路径无关．取L为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L的方程为：y=x，x：0→1．于是 (2) P=6xy2-y3，Q=6x2y-3xy2．显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，，有，所以积分与路径无关． 取L为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则 (3)，，P，Q在右半平面内有连续偏导数，且，，在右半平面内恒有，故在右半平面内积分与路径无关． 取L为从(1,1)到(1,2)的直线段，则 (4) ，，且在除原点外恒成立，故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关， 取L为从(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则 10．验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xOy面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个函数u(x,y)： (1)(x+2y)dx+(2x+y)dy； (2)2xydx+x2dy； (3)(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy； (4)(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy． 解：证：(1)P=x+2y，Q=2x+y． ，所以(x+2y)dx+(2x+y)dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分． (2)P=2xy,Q=x2, ，故2xydx+x2dy是某个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分． (3)P=3x2y+8xy2，Q=x3+8x2y+12yey，，故(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某个定义在整个xOy面内函数u(x,y)的全微分， (4)P=2xcosy+y2cosx，Q=2ysinx-x2siny，，， 有，故(2xcosy+y2cosx)dx+(2ysinx-x2siny)dy是某一个定义在整个xOy面内的函数u(x,y)的全微分， 11．证明：在整个xOy平面内除y的负半轴及原点外的开区域G内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数． 证：，，显然G是单连通的，P和Q在G内具有一阶连续偏导数，并且． ，(x,y)∈G 因此在开区域G内是某个二元函数u(x,y)的全微分． 由 知． 12．设在半平面x>0中有力构成力场，其中k为常数，，证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关． 证：场力沿路径L所作的功为． 　其中，，则P、Q在单连通区域x>0内具有一阶连续偏导数，并且 因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关． 13．当Σ为xOy面内的一个闭区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？ 解：因为Σ：z=0，在xOy面上的投影区域就是Σ 故 当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号． 14．计算下列对坐标的曲面积分： (1)，其中Σ是球面x2+y2+z2=R2的下半部分的下侧； (2)，其中Σ是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧； (3)，其中f(x,y,z)为连续函数，Σ是平面x-y+z=1在第Ⅳ封限部分的上侧； (4)，其中Σ是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧； (5)，其中Σ为曲面与平面z=h(h>0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向； (6)，其中Σ为x=y=z=0，x=y=z=a所围成的正方体表面，取外侧为正向； 解：(1)Σ：，下侧，Σ在xOy面上的投影区域Dxy为：x2+y2≤R2． (2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy面的投影为一段弧， 图11-8 故，Σ在yOz面上的投影 Dyz={(y,z)|0≤y≤1，0≤z≤3}，此时Σ可表示为： ，(y,z)∈Dyz， 故 Σ在xOz面上的投影为Dxz={(x,z)|0≤x≤1，0≤z≤3}，此时Σ可表示为： ，(x,z)∈Dxz， 故 因此： (3)Σ如图11-9所示，平面x-y+z=1上侧的法向量为 n={1,-1,1}，n的方向余弦为 ，，， 图11-9 由两类曲面积分之间的联系可得： (4)如图11-10所示： 图11-10 Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z=0，Σ2：x=0，Σ3：y=0，Σ4：x+y+z=1， 故 由积分变元的轮换对称性可知． 因此． (5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有： (6)记Σ所围的立方体为Ω， P=y(x-z)，Q=x2，R=y2+xz． 由高斯公式有 15.设某流体的流速V=(k,y,0)，求单位时间内从球面x2+y2+z2=4的内部流过球面的流量. 解：设球体为Ω，球面为Σ，则流量 （由高斯公式） 16．利用高斯公式，计算下列曲面积分： (1)，其中Σ为平面x=0，y=0，z=0，x=a，y=a，z=a所围成的立体的表面的外侧； (2)，其中Σ为球面x2+y2+z2=a2的外侧； (3)，其中Σ为上半球体x2+y2≤a2，的表面外侧； (4)，其中Σ是界于z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2=9的整个表面的外侧； 解：(1)由高斯公式 (2)由高斯公式： (3)由高斯公式得 (4)由高斯公式得： 17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1)，其中Γ为圆周x2+y2+z2=a2，x+y+z=0，若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向； (2)，其中Γ是用平面截立方体：0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1的表面所得的截痕，若从Ox轴的正向看去，取逆时针方向； (3)，其中Γ是圆周x2+y2=2z，z=2，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向； (4)，其中Γ是圆周x2+y2+z2=9，z=0，若从z轴正向看去，这圆周是取逆时针方向． 解：(1)取Σ为平面x+y+z=0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa2（大圆面积），Σ的单位法向量为 ． 由斯托克斯公式 (2)记为Σ为平面被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ的面积为（是一个边长为的正六边形）； Σ的单位法向量为 ． 由斯托克斯公式 (3)取Σ：z=2，Dxy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得： (4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，Dxy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得： 18．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L为： (1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)； (2)沿抛物线y=x2从点(0,0)到点(1,1)； (3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到点(1,1)． 解：(1)L的方向余弦， 故 (2)曲线y=x2上点(x,y)处的切向量T={1,2x}．其方向余弦为， 故 (3)上半圆周上任一点处的切向量为其方向余弦为， 故 19．设Γ为曲线x=t，y=t2，z=t3上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分． 解：由x=t，y=t2，z=t3得 dx=dt，dy=2tdt=2xdt，dz=3t2dt=3ydt，． 故 因而 20．把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分，其中： (1) Σ是平面在第Ⅰ封限的部分的上侧； (2) Σ是抛物面z=8-(x2+y2)在xOy面上方的部分的上侧． 解：(1)平面Σ：上侧的法向量为n={3，2，}，单位向量为n0={，，}，即方向余弦为，，． 因此： (2)Σ：F(x,y,z)=z+x2+y2-8=0，Σ上侧的法向量n={ Fx，Fy，Fz}={ 2x，2y，1} 其方向余弦：，， 故