小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).doc

!- 三角形等高模型与鸟头模型 模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在中，分别是上的点如图 ⑴(或在的延长线上，在上如图 2)， 则 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积． 【解析】 连接，， ，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？ 【解析】 连接． ∵ ∴ 又∵ ∴，∴． 【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 【解析】 连接． ∵， ∴， 又∵， ∴，∴，． 【例 2】 如图在中，在的延长线上，在上，且， ，平方厘米，求的面积． 【解析】 连接， ， 所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的倍．因此，平行四边形的面积为(平方厘米)． 【例 4】 已知的面积为平方厘米，，求的面积． 【解析】 ， 设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米 【例 5】 如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面积是多少？ 【解析】 由于，所以可以用共角定理，设份，份，则份， 份，由共角定理，设份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面积是平方厘米 【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形边长为6厘米，，．三角形的面积为_______平方厘米． 【解析】 由题意知、，可得．根据”共角定理”可得， ；而；所以；同理得，;，， 故(平方厘米)． 【例 7】 如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积． 【解析】 (法)本题是性质的反复使用． 连接、． ∵，， ∴． 同理可得其它，最后三角形的面积． (法)用共角定理∵在和中，与互补， ∴． 又，所以． 同理可得，． 所以． 【例 8】 如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是， 求平行四边形与四边形的面积比． 【解析】 连接、．根据共角定理 ∵在和中，与互补， ∴． 又，所以． 同理可得，，． 所以． 所以． 【例 9】 如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形的面积． 【解析】 连接．由共角定理得，即 同理，即 所以 连接，同理可以得到 所以平方米 【例 10】 如图，将四边形的四条边、、、分别延长两倍至点、、、，若四边形的面积为5，则四边形的面积是 ． 【解析】 连接、． 由于，，于是，同理． 于是． 再由于，，于是，同理． 于是． 那么． 【例 11】 如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？ 【解析】 ∵在和中，与互补， ∴． 又，所以． 同理可得，． 所以 【例 12】 如图，，，，，．求． 【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的种情况． 最后求得的面积为． 【例 13】 如图所示，正方形边长为厘米，是的中点，是的中点，是的中点，三角形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 连接、． 因为，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到，，，所以平方厘米． 【例 14】 四个面积为的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积． 【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形，则与都是正三角形． 假设正六边形的边长为为，则与的边长都是，所以大正三角形的边长为，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为，三角形的面积为． 由于，，所以与三角形的面积之比为． 同理可知、与三角形的面积之比都为，所以的面积占三角形面积的，所以的面积的面积为． 【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形的面积是 ． 【解析】 从图中可以看出，虚线和虚线外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线和虚线外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的，所以虚线外图形的面积等于，所以五边形的面积是． 8、这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批忍不断往前走的人手中。 9、障碍与失败，是通往成功最稳靠的踏脚石，肯研究、利用它们，便能从失败中培养出成功。 10、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。