宏观经济学分析方法系列-变分法欧拉方程极值路径与动态经济模型分析.doc

.* ================= ================= 附录： 宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化 （08、09、10、11硕已讲，精细订正版） 一、动态最优化 在静态最优化问题中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数，最优点的一阶条件是. 在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的曲线．这个最大化的积分定义为独立变量、函数及它的导数的函数下的面积。 简言之，假设时间区域从到，且用表示，我们寻找最大化或最小化 （20.1） 这里假定对、、是连续的，且具有对和的连续偏导数． 将形如(20．1)，对每一个函数对应着一个数值的积分称为“泛函”． 一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为“极值曲线”． 极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别地满足一些固定端点条件的函数类． （讲！） 例1 一家公司当希望获得从时间到的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格，而且也依赖于价格关于时间的变化率如。假设成本是固定的，并且每个和是时间的函数，代表，公司的目标可以作如下数学表示 另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平和生产的变化率．假设这个公司希望最小化成本，且和是时间的函数，公司的目标可以写成 满足 这些初始和终值约束称为端点条件． 例2 Ramsey经济：消费最优化问题 从家庭终生效用函数的集约形式出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“Ramsey问题”—找出一条消费路径，使家庭终生效用函数最大化： 二、欧拉方程：动态最优化的必要条件（三种形式） 定理（泛函极值曲线即最优化)的必要条件）：对于一个泛函 连接点和的曲线是一个极值曲线(即最优化)的必要条件是 (20．2a) 称之为欧拉方程． 尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程． 用下标表示偏导数，并列出其自变“量”，它们本身也可能是函数．(20．2a)的欧拉方程表示为 (20．2b) 然后，用链式法则求关于的导数，并且省略自变“量”，得 (20．2c) 这里， 下面给出欧拉方程是极值曲线的必要条件的证明。 图20-2 证明：（重点！09、10、11硕，已讲） 设是图20-2中连接点和的曲线，并且它使下面泛函取得最大值 (20．3) 即为极值曲线，欧拉方程(20．2a)是为极值曲线的一个必要条件． 取是的相邻曲线，这里是任意常数，是一个任意函数．为了使曲线也通过点和，则也满足端点条件： (20．4) 一旦取定和之后，因和固定，则积分值仅为的函数，不妨改写成 (20．5) 由于使(20．3)中的泛函实现最优化，所以(20．5)中的函数仅当时（因为时的才能还原为）实现最优化，即有 (20．6) 对(20．5)即用链式法则求．由于是和的函数，依次又是的函数，代入(20．7)得 由于且，用条件(20．6)即，有 (20．8) 方括号中的第一项不动，第二项的积分用分部积分， （注： 分部积分公式即 令 所以， ） 由(20．4)知，，从而，于是上式中第二项去掉，合并其余两项，有 （20．9) 由于是不必为零的任意函数，因此推出，对于极值曲线的必要条件为方括号中式子为零，即 或 这就是欧拉方程．定理证毕。 三、求候选极值曲线 在动态最优化问题中，求满足固定端点条件的、使一个给定积分最大化或最小化的候选极值曲线，由如下五步来完成： 1、设被积函数为，即． 2、求对和的偏导数，记． 3、代入欧拉方程(20．2a)或(20．2b)． 4、求关于的导数．由于是，的函数，且又是的函数，因此，需要用链式法则． 5、如果没有导数项()，立即解出；如果有项，直到作出所有导数的积分，然后求出。 在例3，例4中，给出了这个方法的例子． 例3 设，试用(20. 4)中所列程序及(20．2a)的记号，最优化这个泛函如下： 1、设 2、则 3、代入欧拉方程(20．2a)，有 4、但，代入上式， 5、由于没有和项，所以可直接求出，将这个解表成， 这个解满足动态最优化的必要条件，只能说明它是一个候选极值曲线．所以有必要使用充分条件检验。见下一节． 例4 泛函 满足 求上述泛函的候选极值曲线，现在用(20．2b)的记号． 1、设 2、则 3、代入欧拉方程(20．2b)， 4、记，且， 5、由于有，对这个方程两边进行两次积分，积分的每一步仅有一个常数． 再积分， 解出， 代入边值条件， 代入式中，得解： 四、变分法的充分条件 假设对于极值曲线，必要条件是满足的． 1、如果泛函在是联合凹的，则对于最大值情况，必要条件是充分的。 2、如果泛函在是联合凸的，则对于最小值情况，必要条件是充分的． 联合凹性和联合凸性，由泛函的二阶导数的二次型的符号很容易确定．给定判别式： 1、 (a)如果，，且，是负定的，是严格凹的，得到一个全局最大的极值曲线． (b)如果，，且，检验变量所有可能的次序，是半负定的，是简单凹的，则得到局部最大的极值曲线． 2、 (a)如果，且，是正定的，是严格凸的，从而得到一个全局最小的极值曲线． (b)如果，且，检验变量所有可能的次序，是半正定的，是简单凸的，则得到局部最小的极值曲线． 例5 下面是例3的充分条件的例子，这里泛函是，， 不符合对于全局最优的正定准则，但可以证明，如果这个判别式对于变量的倒序也是半正定时，则对于局部最小，它是半正定的． 对每个变量的两种可能的顺序，是半正定的，泛函达到局部最小的，是充分条件． 用完全的相似的方式，可检验出例4的充分条件． 五、泛函约束的动态优化（已讲） 求一个极值曲线使最大或最小化一个给定积分 (20．10) 满足积分约束 (20．11) 这里，是一个常数，利用拉格朗日乘子方法，将约束(20．11)乘以，然后与目标函数相加，形成拉格朗日函数： (20．12) 对于动态最优化，下面欧拉方程是有极值曲线的必要条件，而非充分条件 (20．13) 例6 泛函约束优化通常用于确定一条曲线，使之满足给定的周长且所围的面积最大．这样的问题称为等周问题，且通常将泛函记为，而不是．调整这个记号，求包含最大区域的给定长度的曲线，这里 曲线的长度是 像20．6节解释的，建立拉格朗日函数 (20．14) 设等于(20．14)的被积函数，则欧拉方程是 从(20．14)， 代入欧拉方程， 两边直接积分，然后整理， 方程的两边平方，解出， 两边积分得 两边平方，然后整理，可以表示成一个圆 这里，，和由，和决定。