图形专业题材相似与几何图形及其圆的综合应用学案.doc

.\ 相似的综合应用 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 通用 课时时长（分钟） 60 知识点 相似三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的应用；相似三角形的综合； 学习目标 掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．掌握两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件．掌握相似三角形与其它图形的综合问题； 学习重点 利用图形的相似解决一些综合问题． 学习难点 利用图形的相似解决一些综合问题． 学习过程 一、 复习预习 本章知识网络图 二、知识讲解 考点1 相似三角形的判定方法 （1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似． （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． （3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 考点2 常见的相似模型 1.如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图） 2.如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。 （有“反A共角型”、“反A共角共边型”、 “蝶型”） 3.如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”） 4.如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。 5.一线三角模型 考点3 常用方法归纳 （1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似” （2）找相似： 通过“横找”“竖看”寻找三角形 （3）找中间比： 若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换. 即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。 ① ② ③ （4） 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止. 注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。 （5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。 （6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。 三、例题精析 考点一 相似三角形与简单几何图形结合问题 例1、如图是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60，AE=1． （1）证明：△ABE≌△CBD； （2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）； （3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论； （4）求线段BD的长． 【规范解答】：（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=60．　（1分） ∵四边形ACDE是等腰梯形，∠EAC=60， ∴AE=CD，∠ACD=∠CAE=60， ∴∠BAC+∠CAE=120=∠BCA+∠ACD， 即∠BAE=∠BCD．（2分） 在△ABE和△BCD中，AB=BC，∠BAE=∠BCD，AE=CD， ∴△ABE≌△CBD．（3分） （2）存在．答案不唯一．如△ABN∽△CDN． 证明：∵∠BAN=60=∠DCN，∠ANB=∠DNC， ∴△ANB∽△CND．（5分） 其相似比为：==2；（6分） （3）由（2）得==2， ∴CN=AN=AC，（8分） 同理AM=AC， ∴AM=MN=NC．（9分） （4）作DF⊥BC交BC的延长线于F， ∵∠BCD=120， ∴∠DCF=60．（1O分） 在Rt△CDF中，∴∠CDF=30， ∴CF=CD=， ∴DF===；　（11分） 在Rt△BDF中，∵BF=BC+CF=2+=，DF=， ∴BD===．（12分） 【分析】：（1）由△ABC是等边三角形，得AB=BC，∠BAC=∠BCA=60，由四边形ACDE是等腰梯形，得AE=CD，∠ACD=∠CAE=60，利用“SAS”判定△ABE≌△CBD； （2）存在．可利用AB∥CD或AE∥BC得出相似三角形； （3）由（2）的结论得==2，即CN=AC，同理，得AM=AC，可证AM=MN=NC； （4）作DF⊥BC交BC的延长线于F，在Rt△CDF中，由∠CDF=30，CD=AE=1，可求CF，DF，在Rt△BDF中，由勾股定理求BD． 例2 、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。 （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由. 【规范解答】：（1）证明：由题意可知OA=OC，EF⊥AO， ∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，又AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形； （2）∵四边形AECF是菱形，∴AF=AE=10cm，设AB=a，BF=b，∵△ABF的面积为24cm2， ∴a2+b2=100，ab=48，∴（a+b）2=196，∴a+b=14或a+b=﹣14（不合题意，舍去）， ∴△ABF的周长为14+10=24cm； （3）存在，过点E作AD的垂线，交AC于点P，点P就是符合条件的点； 证明：∵∠AEP=∠AOE=90，∠EAO=∠EAP， ∴△AOE∽△AEP，∴=，∴AE2=AO•AP， ∵四边形AECF是菱形，∴AO=AC，∴AE2=AC•AP，∴2AE2=AC•AP． 【分析】：（1）通过证明△AOE≌△COF，可得四边形AFCE是平行四边形；由折叠的性质，可得AE=EC，即可证明；（2）由勾股定理得AB2+FB2=100，△ABF的面积为24cm2可得，ABBF=48；变换成完全平方式，即可解答；（3）过点E作AD的垂线，交AC于点P，通过证明△AOE∽△AEP，即可证明； 考点二 相似三角形与圆有关的综合问题 例3、已知：如图，P是⊙O外一点，过点P引圆的切线PC（C为切点）和割线PAB，分别交⊙O于A、B，连接AC，BC． （1）求证：∠PCA=∠PBC； （2）利用（1）的结论，已知PA=3，PB=5，求PC的长． 【规范解答】： （1） 证明：连结OC，OA， ∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO， ∵PC是⊙O的切线，C为切点， ∴PC⊥OC， ∴∠PCO=90，∠PCA+∠ACO=90， 在△AOC中，∠ACO+∠CAO+∠AOC=180， ∵∠AOC=2∠PBC， ∴2∠ACO+2∠PBC=180， ∴∠ACO+∠PBC=90， ∵∠PCA+∠ACO=90， ∴∠PCA=∠PBC； （2） 解：∵∠PCA=∠PBC，∠CPA=∠BPC， ∴△PAC∽△PCB， ∴=， ∴PC2=PA•PB， ∵PA=3，PB=5， ∴PC==． 【分析】：（1）连结OC，OA，先根据等腰三角形的性质得出∠ACO=∠CAO，再由PC是⊙O的切线，C为切点得出∠PCO=90，∠PCA+∠ACO=90，在△AOC中根据三角形内角和定理可知∠ACO+∠CAO+∠AOC=180，由圆周角定理可知∠AOC=2∠PBC，故可得出∠ACO+∠PBC=90，再根据∠PCA+∠ACO=90即可得出结论； （2）先根据相似三角形的判定定理得出△PAC∽△PCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 例4、如图所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO． (1)求证 (2)计算CDCB的值，并指出CB的取值范围． 【规范解答】: 证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C， ∴△CDE∽△CAB，∴. 解： (2)∵AE＝8，OC＝12， ∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8． 又∵， ∴CDCB＝ACCE＝168＝128． 连接OB，在△OBC中，OB＝AE＝4，OC=12， ∴8＜BC＜16． 【分析】: 利用△CDE∽△CAB，可证明．