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第11章 热力学基础
11－1 在水面下50.0 m深的湖底处（温度为4.0℃），有一个体积为1.010-5 m3的空气泡升到湖面上来，若湖面的温度为17.0℃，求气泡到达湖面的体积。（大气压P0 = 1.013105 Pa）
分析：将气泡看成是一定量的理想气体，它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状态。利用理想气体物态方程即可求解本题。位于湖底时，气泡内的压强可用公式求出，其中r为水的密度（常取r = 1.0103 kgm-3）。
解：设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为（p1，V1，T1）和（p2，V2，T2）。由分析知湖底处压强为
。
利用理想气体的物态方程可得空气泡到达湖面的体积
11－2 氧气瓶的容积为3.210-2 m3，其中氧气的压强为1.30107 Pa，氧气厂规定压强降到1.00106 Pa时，就应重新充气，以免经常洗瓶。某小型吹玻璃车间，平均每天用去0.40 m3 压强为1.01105 Pa的氧气，问一瓶氧气能用多少天？（设使用过程中温度不变）
分析：由于使用条件的限制，瓶中氧气不可能完全被使用。从氧气质量的角度来分析。利用理想气体物态方程pV = mRT/M可以分别计算出每天使用氧气的质量m3和可供使用的氧气总质量（即原瓶中氧气的总质量m1和需充气时瓶中剩余氧气的质量m2之差），从而可求得使用天数。
解：根据分析有
则一瓶氧气可用天数
11－3 一抽气机转速ω=400rּmin-1，抽气机每分钟能抽出气体20升。设容器的容积V0=2.0升，问经过多长时间后才能使容器内的压强由1.01105 Pa降为133Pa。设抽气过程中温度始终不变。
分析：抽气机每打开一次活门, 容器内气体的容积在等温条件下扩大了V，因而压强有所降低。活门关上以后容器内气体的容积仍然为V0 。下一次又如此变化，从而建立递推关系。
解：抽气机抽气体时，由玻意耳定律得：
活塞运动第一次：
活塞运动第二次：
活塞运动第n次：
抽气机每次抽出气体体积
将上述数据代入（1）式，可解得 。则
11－4 l.0 mol的空气从热源吸收了热量2.66105J，其内能增加了4.18105J，在这过程中气体作了多少功？是它对外界作功，还是外界对它作功？
解：由热力学第一定律得气体所作的功为
负号表示外界对气体作功。
P
O
V
II
I
习题11－5图
1
2
3
11－5 1mol双原子分子的理想气体，开始时处于P1=1.01105Pa，V1=10-3m3的状态。然后经本题图示直线过程Ⅰ变到P2=4.04105Pa，V2=210-3m3的状态。后又经过程方程为PV1/2=C（常量）的过程Ⅱ变到压强P3=P1=1.01105Pa的状态。求：（1）在过程Ⅰ中的气体吸收的热量；（2）整个过程气体吸收的热量。
解：（1）在过程I中气体对外作的功
在过程I中气体内能增量
在过程I中气体吸收的热量
（2）在过程II中气体对外作的功
由
可算得，带入上式得
整个过程中气体对外作功
整个过程中气体内能增量
整个过程中气体吸收的热量
11－6 如本题图所示，系统从状态A沿ABC变化到状态C的过程中，外界有326J的热量传递给系统，同时系统对外作功126J。当系统从状态C沿另一曲线返回到状态A时，外界对系统作功为52J，则此过程中系统是吸热还是放热？传递热量是多少？
习题11－8图
习题11－6图
分析：已知系统从状态C到状态A，外界对系统作功为WCA，如果再能知道此过程中内能的变化为，则由热力学第一定律即可求得该过程中系统传递的热量QCA。由于理想气体的内能是状态（温度）的函数，利用题中给出的ABC过程吸热、作功的情况，由热力学第一定律即可求得由A至C过程中系统内能的变化，而，故可求得QCA。
解：系统经ABC过程所吸收的热量及对外所作的功分别为
则由热力学第一定律可得由A到C过程中系统内能的增量
由此可得从C到A，系统内能的增量
从C到A，系统所吸收的热量为
式中负号表示系统向外界放热252 J。这里要说明的是由于CA是一未知过程。上述求出的放热是过程的总效果，而对其中每一微小过程来讲并不一定都是放热。
12－7 空气由压强为1.52105 Pa，体积为5.010－3 m3，等温膨胀到压强为1.01105 Pa，然后再经等压压缩到原来的体积。试计算空气所作的功。
解：空气在等温膨胀过程中所作的功为
空气在等压压缩过程中所作的功为
利用等温过程关系，则空气在整个过程中所作的功为
12－8 如本题图所示，使l mol氧气（1）由A等温地变到B；（2）由A等体地变到C，再由C等压地变到B，试分别计算氧气所作的功和吸收的热量。
分析：从p－V图上可以看出，氧气在AB与ACB两个过程中所作的功是不同的，其大小可通过求出。考虑到内能是状态的函数，其变化值与过程无关，所以这两个不同过程的内能变化是相同的，而且因初、末状态温度相同，故，利用热力学第一定律，可求出每一过程所吸收的热量。
解：（1）沿AB作等温膨胀的过程中，系统作功
由分析可知在等温过程中，氧气吸收的热量为
（2）沿A到C再到B的过程中系统作功和吸热分别
11－9 一定量的某单原子分子理想气体装在封闭的气缸里，此气缸有可活动的活塞（活塞与气缸壁之间无摩擦且无漏气）。已知气体的初压强P1=1atm,体积V1=10-3m3，现将该气体在等压下加热直到体积为原来的两倍,然后在等体下加热,到压强为原来的2倍,最后作绝热膨胀,直到温度下降到初温为止,试求：在整个过程中气体内能的改变、吸收的热量和所作的功。
解： 因为，所以内能增量为零。
11－10 有1mol刚性多原子分子的理想气体,原来的压强为1.0atm,温度为27℃,若经过一绝热过程,使其压强增加到16atm。试求:(1) 气体内能的增量；(2) 在该过程中气体所作的功；(3) 终态时气体的分子数密度。
解：（1）
（2）
（3）
11－11 有一绝热的圆柱形的容器，在容器中间放置一无摩擦、绝热的可动活塞，活塞两侧各有n摩尔同种单原子分子理想气体，初始时，两侧的压强、体积、温度均为（P0，V0，T0）。气体的定容摩尔热容量为CV＝3R/2。现将一通电线圈放在活塞左侧气体中，对气体缓慢加热。左侧气体膨胀，同时压缩右方气体，最后使右方气体体积为V2＝V0/8。求：（1）左、右两侧气体的终温是多少?（2）左侧气体吸收了多少热量?解：（1）右则气体经历一绝热过程，初态、终态，由方程 得出右侧气体末态温度：
由理想气体物态方程，右侧气体终态压强为
由于活塞是可动的，左、右两侧的压强应相同：，
左侧末态体积：
左侧气体末态温：
（2）
习题11－12图
11－12 如本题图所示，有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分A和B，其中各盛有一摩尔的理想气体氮。今将334.4J的热量缓慢地由底部供给气体，设活塞上的压强始终保持为1.01105Pa，求A部和B部温度的改变以及各吸收的热量(导热板的热容可以忽略)。若将位置固定的导热板换成可以自由滑动的绝热隔板，重复上述讨论。
解：（1）导热板固定，A中气体为等容加热；B中气体为定压膨胀，且为准静态的，搁板导热，
（2）隔板活动，A气体等压膨胀；隔板绝热，B中气体温度不变。
习题11－13图
11－13 0.32 kg的氧气作如本题图所示的ABCDA循环，设V2＝2V1，T1＝300K，T2＝200K，求循环效。（氧气的定体摩尔热容的实验值为CV= 21.1 Jmol-1K-1）
分析：该循环是正循环。循环效率可根据定义式来求出，其中W表示一个循环过程系统作的净功，Q为循环过程系统吸收的总热量。
解：根据分析，因AB、CD为等温过程，循环过程中系统作的净功为
由于吸热过程仅在等温膨胀（对应于AB段）和等体升压（对应于DA段）中发生，而等温过程中，则。等体升压过程中W = 0，则，所以，循环过程中系统 吸热的总量为
由此得到该循环的效率为
11－14 如本题图所示，某理想气体循环过程的V－T图。已知该气体的定压摩尔热容CP = 2.5R，定体摩尔热容CV = 1.5R，且VC =2VA。试问：（1）图中所示循环是代表致冷机还是热机？（2）如是正循环（热机循环），求出循环效率。
习题11－14图
T
V
分析：以正、逆循环来区分热机和致冷机是针对p－V图中循环曲线行进方向而言的。因此，对图中的循环进行分析时，一般要先将其转换为P－V图。由图可以看出，BC为等体降温过程，CA为等温压缩过程；而AB过程为等压膨胀过程。这样，就可得出p－V图中的过程曲线，并可判别是正循环。
解：（1）根据分析，将V－T图转换为相应的p－V图，如图所示。图中曲线行进方向是正循环，即为热机循环。
（2）根据得到的p－V图可知，AB为等压膨胀过程，为吸热过程。BC为等体降压过程，CA为等温压缩过程，均为放热过程。故系统在循环过程中吸收和放出的热量分别为
CA为等温线，有；AB为等压线，且因，则有。故循环效率为
11－15 有一以理想气体为工作物质的热机，其循环如本题图所示，试证明热机效率为
习题11－15图
分析：该热机由三个过程组成，图中AB是绝热过程，BC是等压压缩过程，CA是等体升压过程。其中CA过程系统吸热，BC过程系统放热。本题可从效率定义
。出发，利用热力学第一定律和等体、等压方程以及的关系来证明。
证：该热机循环的效率为
其中
，
则上式可写为
在等压过程BC和等体过程CA中分别有
代人上式得，证毕。
习题11－16图
5－16 汽油机可近似地看成如图所示的理想循环，这个循环也叫做奥托（Otto）循环，其中DE和BC是绝热过程。证明此热机的效率为
证：（1）该循环仅在CD一过程中吸热，EB过程中放热。则热机效率为
（2）在过程BC和DE中，分别应用绝热方程，有
由上述两式可得
将此结果代人（1）中。即可得
11－17 在夏季，假定室外温度恒定为37℃，启动空调使室内温度始终保持在17℃、如果每天有2.51108 J的热量通过热传导等方式自室外流人室内，则空调一天耗电多少？（设该空调致冷机的致冷系数为同条件下的卡诺致冷机致冷系数的60％）
分析：耗电量的单位为kWh，1kWh = 3.6106 J。因为卡诺致冷机的致冷系数为，其中T1为高温热源温度（室外环境温度），T2为低温热源温度（室内温度）。所以，空调的致冷系数为
另一方面，由致冷系数的定义，有
其中Q1为空调传递给高温热源的热量，即空调向室外排放的总热量；Q2是空调从房间内吸取的总热量。若Q为室外传进室内的热量，则在热平衡时。由此，就可以求出空调的耗电作功总值。
解：根据上述分析、空调的致冷系数为
在室内温度恒定时，有。由可得空调运行一天所耗电功
11－18 设一质量为m克的物体具有恒定的比热c。(1) 当此物体由温度T1加热到T2时，其熵的变化为多少？（2）当温度下降却时这物体的熵是否减小？如果减小，那么在这样的过程中宇宙的总熵是否减小？
解： （1）
则
（2）冷却时T2
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