大学物理下课后复习规范标准答案.doc

/* 习题一 一、选择题 1．如图所示，半径为R的圆环开有一小空隙而形成一圆弧，弧长为L，电荷均匀分布其上。空隙长为，则圆弧中心O点的电场强度和电势分别为 [　　 ] （Ａ）； （Ｂ）； （Ｃ）； （Ｄ）。 答案：A 解：闭合圆环中心场强为0，则圆弧产生的场强与空隙在圆心处产生的场强之和为0。由于空隙 Dl非常小，可视为点电荷，设它与圆弧电荷密度相同，则所带电荷为，产生的场强为，所以圆弧产生的场强为；又根据电势叠加原理可得 . 2．有两个电荷都是＋q的点电荷，相距为2a。今以左边的点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯面。在球面上取两块相等的小面积S1和S2，其位置如图所示。设通过S1和S2的电场强度通量分别为和，通过整个球面的电场强度通量为，则［ ］ （A）； （B）； （C）； （D）。 答案：D 解：由高斯定理知。由于面积S1和S2相等且很小，场强可视为均匀。根据场强叠加原理，，所以。 3．半径为R的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E与距球心的距离r的关系曲线为 [ ] 答案：B 解：由高斯定理知均匀带电球体的场强分布为，所以选（B）。 4．如图所示，一半径为a的“无限长”圆柱面上均匀带电，其电荷线密度为l。在它外面同轴地套一半径为b的薄金属圆筒，圆筒原先不带电，但与地连接。设地的电势为零，则在内圆柱面里面、距离轴线为r的P点的场强大小和电势分别为 [ ] （A）； （B）； （C）； （D）。 答案：C 解：由高斯定理知内圆柱面里面各点E＝0，两圆柱面之间，则P点的电势为 5．在边长为a的正方体中心处放置一点电荷Q，设无穷远处为电势零点，则在正方体顶角处的电势为 （A）； （B）； （C）； （D）。 答案：B 解：正方体中心到顶角处的距离，由点电荷的电势公式得 二、填空题 1．真空中两平行的无限长均匀带电直线，电荷线密度分别为和，点P1和P2与两带电线共面，位置如图，取向右为坐标正方向，则P1和P2两点的场强分别 为 和 。 答案：；。 解：无限长均匀带电直线，在空间某点产生的场强，方向垂直于带电直线沿径向向外（）。式中a为该点到带电直线的距离。 由场强叠加原理，P1，P2点的场强为两直线产生的场强的矢量和。在P1点，两场强方向相同，均沿x轴正向；在P2点，两场强方向相反，所以 ； 2．一半径为R，长为L的均匀带电圆柱面，其单位长度带有l。在带电圆柱的中垂面上有一点P，它到轴线距离为，则P点的电场强度的大小：当时，_____________；当时，_____________。 答案：；。 解：当时，带电体可视为无限长均匀带电圆柱面；当时，带电体可视为点电荷。 3．如图，A点与B点间距离为2l，OCD是以B为中心，以l为半径的半圆路径。 A、B两处各放有一点电荷，电量分别为＋q和－q。若把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，则电场力所做的功为______________；把单位负电荷从D点沿AB延长线移到无穷远，电场力所做的功为_______________。 答案：；。 解：电场力做功与路径无关。 （1）， ， （2） 4．如图所示，两同心带电球面，内球面半径为，带电荷；外球面半径为， 带电荷。设无穷远处电势为零，则在两球面间另一电势为零的球面半径__________。 答案：10cm 解：半径为R的均匀带电球面的电势分布为。所以，当时，。令，得。 5．已知某静电场的电势分布为，则场强分布 _______________________________________。 答案： 解：电场强度与电势梯度的关系为。由此可求得 三、计算题 P L d dq x (L+d-x) dE x O 1．如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端为d的P点的电场强度。 答案： 解：带电直杆的电荷线密度为。设坐标原点O在杆的左端，在x处取一电荷元，它在P点的场强为 总场强 方向沿x轴，即杆的延长线方向。 2．如图所示，一半径为R的半圆环，右半部均匀带电，左半部均匀带电。问半圆环中心O点的电场强度大小为多少？方向如何？ 答案：，方向水平向左。 解：本题运用点电荷公式对电荷连续分布的带电体在空间产生的电场进行计算。 如图所示，取电荷元，则电荷元在中心O点产生的场强为 由对称性可知。所以 方向沿方向，即水平向左。 3．图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为r，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2。设无穷远处为电势零点，求该带电系统的场强分布和空腔内任一点的电势。 答案： （1），，； （2）。 解：（1）根据电场分布的球对称性，可以选以O为球心、半径为r的球面作高斯面，根据高斯定理即可求出：。 在空腔内（）：，所以 在带电球层内（）：， 在带电球层外（）：， （2）空腔内任一点的电势为 还可用电势叠加法求空腔内任一点的电势。在球层内取半径为的薄球层，其电量为 在球心处产生的电势为 整个带电球层在球心处产生的电势为 因为空腔内为等势区（），所以空腔内任一点的电势U为 4．两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为和。已知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷。 答案： 解：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为 () 两球的电势差 所以 5．一平面圆环，内外半径分别为R1，R2，均匀带电且电荷面密度为。（1）求圆环轴线上离环心O为x处的P点的电势；（2）再应用场强和电势梯度的关系求P点的场强；（3）若令，则P点的场强又为多少？ 答案：（1）； （2）； （3）当，。 解：（1）把圆环分成许多小圆环。对半径为y，宽为dy的小圆环，其电量为，该带电小圆环在P点产生的电势为 整个园环上的电荷在P点产生的电势 （2），方向沿x正向； （3）当， 习题二 一、选择题 1．如图所示，一均匀带电球体，总电量为+Q，其外部同心地罩一内、外半径分别为和的金属球壳。设无穷远处为电势零点，则球壳内半径为r的P点处的场强和电势为［ ］ （A）； （B）； （C）； （D）。 答案：D 解：由静电平衡条件得金属壳内；外球壳内、外表面分别带电为和，根据电势叠加原理得 2．半径为R的金属球与地连接，在与球心O相距处有一电量为q的点电荷，如图所示。设地的电势为零，则球上的感应电荷为［ ］ （A）0； （B）； （C）； （D）。 答案：C 解：导体球接地，球心处电势为零，即（球面上所有感应电荷到球心的距离相等，均为R），由此解得。 3．如图，在一带电量为Q的导体球外，同心地包有一各向同性均匀电介质球壳，其相对电容率为，壳外是真空，则在壳外P点处()的场强和电位移的大小分别为［ ］ （A）； （B）； （C）； （D）。 答案：C 解：由高斯定理得电位移 ，而 。 4．一大平行板电容器水平放置，两极板间的一半空间充有各向同性均匀电介质，另一半为空气，如图所示。当两极板带上恒定的等量异号电荷时，有一个质量为m、带电量为+q的质点，在极板间的空气区域中处于平衡。此后，若把电介质抽去 ，则该质点［ ］ （A）保持不动； （B）向上运动； （C）向下运动； （D）是否运动不能确定。 答案：B 解：由知，把电介质抽去则电容C减少。因极板上电荷Q恒定，由知电压U增大，场强增大，质点受到的电场力增大，且方向向上，故质点向上运动。 5．和两空气电容器并联以后接电源充电，在电源保持联接的情况下，在中插入一电介质板，如图所示, 则［ ］ （A）极板上电荷增加，极板上电荷减少； （B）极板上电荷减少，极板上电荷增加； （C）极板上电荷增加，极板上电荷不变； （D）极板上电荷减少，极板上电荷不变。 答案：C 解：在中插入电介质板，则电容增大，而电压保持不变，由知极板上电荷增加，极板上电荷不变。 二、填空题 1．一空心导体球壳带电q，当在球壳内偏离球心某处再放一电量为q的点电荷时，则导体球壳内表面上所带的电量为 ；电荷 均匀分布（填“是”或“不是”）；外表面上的电量为 ；电荷 均匀分布（填“是”或“不是”）。 答案： ；不是；；是。 解：由高斯定理及导体静电平衡条件，导体球壳内表面带有非均匀分布的电量；由电荷守恒定律，球壳外表面带电量为，且根据静电屏蔽原理知，外表面电荷均匀分布。 2．如图所示，两块很大的导体平板平行放置，面积都是S，有一定厚度，带电荷分别为Q1和Q2。如不计边缘效应，则A、B、C、D四个表面上的电荷面密度分别为______________ ；______________；_____________；___________。 答案：；；；。 解：作高斯面，用高斯定理可得（或参考教材例题），，。依题意得，，，四式联立求解出上面结果。 3．一空气平行板电容器，电容为C，两极板间距离为d。充电后，两极板间相互作用力为F，则两极板间的电势差为______________，极板上的电量为______________。 答案：；。 解：，，故，，。 4．一电容为C的空气平行板电容器，接上电源充电至端电压为V后与电源断开。若把电容器的两个极板的间距增大至原来的3倍，则外力所做的功为 。 答案： 解：因，所以当，则。电容器充电后与电源断开，极板上的电荷不变，由知，。外力所做的功为 5．两个电容器的电容关系为，若将它们串联后接入电路，则电容器1储存的电场能量是电容器2储能的 倍；若将它们并联后接入电路，则电容器1储存的电场能量是电容器2储能的 倍。 答案：；2。 解：串联电容器的电量相等，所以；并联电容器的电压相等，所以。 三、计算题 1．半径为的导体球，带有电荷，球外有一个内外半径分别为和的同心导体球壳，壳上带有电荷，试计算： （1）两球的电势和； （2）用导线把球和球壳接在一起后，和分别是多少？ （3）若外球接地，和为多少？ （4）若内球接地，和为多少？ 答案：（1）330V，270V； （2）270V，270V； （3）60V， 0V； （4） 0V，180V。 解：本题可用电势叠加法求解，即根据均匀带电球面内任一点电势等于球面上电势，均匀带电球面外任一点电势等于将电荷集中于球心的点电荷在该点产生的电势。首先求出导体球表面和同心导体球壳内外表面的电荷分布。然后根据电荷分布和上述结论由电势叠加原理求得两球的电势。若两球用导线连接，则电荷将全部分布于外球壳的外表面，再求得其电势。 （1） 据题意，静电平衡时导体球带电，则 导体球壳内表面带电为； 导体球壳外表面带电为， 所以，导体球电势U1和导体球壳电势U2分别为 （2）两球用导线相连后，导体球表面和同心导体球壳内表面的电荷中和，电荷全部分布于球壳外表面，两球成等势体，其电势为 （3）若外球接地，则球壳外表面的电荷消失，且 （4）若内球接地，设其表面电荷为，而球壳内表面将出现，球壳外表面的电荷为．这些电荷在球心处产生的电势应等于零，即 解得，则 2．两个同心的薄金属球壳，内、外半径分别为和。球壳之间充满两层均匀电介质，其相对电容率分别为和，两层电介质的分界面半径为。设内球壳带有电荷，求电位移、场强分布和两球壳之间的电势差。 答案：（1）；（2）； （3）。 解：由高斯定理及得： 当时， 当时， 当时， 当时， 两球壳之间的电势差为 3．在极板间距为d的空气平行板电容器中，平行于极板插入一块厚度为 、面积与极板相同的金属板后，其电容为原来电容的多少倍？如果平行插入的是相对电容率为的与金属板厚度、面积均相同的介质板则又如何？ 答案：（1）2倍； （2）倍。 解：（1）平行插入厚的金属板，相当于原来电容器极板间距由d减小为 ，则 （2）插入同样厚度的介质板，则相当于一个极板间距为的空气平行板电容器与另一个极板间距为、充满电容率为的电介质的电容器的串联，则 ，解得 4．一半径为R的球体，均匀带电，总电荷量为Q，求其静电能。 答案：。 解：由高斯定理易得球体内外场强为 ， 把空间看成由许多与带电球体同心的球壳组成，任取一个内径为，外径为的球壳，其体积为，球壳中的电场能量为 则整个空间的电场能量为 5．一圆柱形电容器内外两极板的半径分别为，试证其带电后所储存的电场能量的一半是在半径为的圆柱面内部。 证：圆柱状电容器中的场强，其中，。取体积元，能量为 设总能量的一半是储藏在半径为r的圆柱内部，则有 ， 即 解得 习题三 一、选择题 图3-1 1．如图3-1所示，两根长直载流导线垂直纸面放置，电流I1 =1A，方向垂直纸面向外；电流I2 =2A，方向垂直纸面向内，则P点的磁感应强度的方向与x轴的夹角为[ ] （A）30˚； （B）60˚； （C）120˚； （D）210˚。 答案：A 解：如图，电流I1，I2在P点产生的磁场大小分别为 ，又由题意知； 再由图中几何关系容易得出，B与x轴的夹角为30。 图3-2 R r O 2．如图3-2所示，一半径为R的载流圆柱体，电流I均匀流过截面。设柱体内（r < R）的磁感应强度为B1，柱体外（r > R）的磁感应强度为B2，则 [ ] （A）B1、B2都与r成正比； （B）B1、B2都与r成反比； （C）B1与r成反比，B2与r成正比； （D）B1与r成正比，B2与r成反比。 答案：D 解：无限长均匀载流圆柱体，其内部磁场与截面半径成正比，而外部场等效于电流集中于其轴线上的直线电流磁场，所以外部磁场与半径成反比。 3．关于稳恒电流磁场的磁场强度，下列几种说法中正确的是 [ ] （A）仅与传导电流有关。 （B）若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的必为零。 （C）若闭合曲线上各点均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零。 （D）以闭合曲线Ｌ为边缘的任意曲面的通量均相等。 答案：C 解：若闭合曲线上各点均为零，则沿着闭合曲线环流也为零，根据安培环路定理，则该曲线所包围传导电流的代数和为零。 4．一无限长直圆筒，半径为R，表面带有一层均匀电荷，面密度为，在外力矩的作用下，这圆筒从t=0时刻开始以匀角加速度绕轴转动，在t时刻圆筒内离轴为r处的磁感应强度的大小为 [ ] （A）0； （B）； （C）； （D）。 答案：B 解：圆筒转动时形成电流，单位长度圆筒的电流强度为 在t时刻圆筒转动的角速度为 所以，t时刻单位长度圆筒的电流强度为 则，圆筒转动形成圆电流在内部的磁感应强度为 5．能否用安培环路定律，直接求出下列各种截面的长直载流导线各自所产生的磁感应强度。（1）圆形截面；（2）半圆形截面；（3）正方形截面 [ ] （A）第（1）种可以，第（2）（3）种不行； （B）第（1）（2）种可以，第（3）种不行； ba I a 图3-3 P （C）第（1）（3）种可以，第（2）种不行； （D）第（1）（2）（3）种都可以。 答案：A 解：利用安培环路定理时，必须要求所选环路上磁感应强度具有对称性，B可作为常数提出积分号外，否则就无法利用该定律来计算B。 二、填空题 ba I a 图3-3 Pa 1．如图3-3所示，一无限长扁平铜片，宽度为a，厚度不计，电流I在铜片上均匀分布。求铜片外与铜片共面、离铜片右边缘为b处的P点的磁感应强度的大小 。 答案：。 解：如图所示，建立水平的坐标x轴，平片电流分割成无限个宽度为dx，电流强度为的无限长直线电流，在P点处的磁感应强度为 所以，平片电流在P点的磁感应强度为 2．在真空中，电流I由长直导线1沿垂直bc边方向经a点流入一电阻均匀分布的正三角形线框，再由b点沿平行ac边方向流出，经长直导线2返回电源，如图3-4所示。三角形框每边长为l，则在该正三角框中心O点处磁感应强度的大小______________。 Ia Ia ba aa ca ea Oa 1a 2a 图3-4 答案：。 解：长直线电流1a在O点的磁感应强度为0； 长直线电流b2在O点的磁感应强度为 方向垂直平面向里； 电流ab边和acb边的电流强度分别为和； 电流ab边在O点的磁感应强度为 方向垂直平面向里； 电流acb边在O点的磁感应强度为 方向垂直平面向外。 所以，三角形线框在中心O点的合磁感应强度为0。 则，总电流在O点的磁感应强度为 ，方向垂直平面向里。 图3-5 b b a I O X dS 3．在一根通有电流I的长直导线旁，与之共面地放着一个长、宽各为a和b的矩形线框，线框的长边与载流长直导线平行，且二者相距为b，如图3-5所示。在此情形中，线框内的磁通量 ______________。 答案：。 解：如图所示，建立竖直向下的坐标轴OX，在矩形线框内取平行于长直导线的微元面积dS，磁通量为，则 所以，线框内总的磁通量为 4．电子在磁感应强度为的均匀磁场中沿半径为R的圆周运动，电子运动所形成的等效圆电流______________；等效圆电流的磁矩______________。(已知电子电量的大小为e，电子的质量为m)。 答案：；。 解：电子在磁感应强度为的均匀磁场中沿半径为R的圆周运动，电子所受的磁场力为电子做圆周运动的向心力，即 ，所以 电子运动所形成的等效圆电流为 等效圆电流的磁矩为 5．如图3-6所示，无限长直导线在P处弯成半径为R的圆，当通以电流I时，则在圆心O点的磁感强度图3-6 大小等于 ；方向 。 答案：；方向垂直纸面向内。 解：圆心O处的磁场是圆电流在圆心处产生的磁场与场无限长直线电流的磁场的矢量和。由图中电流方向可知，圆电流的磁场向内，而直线电流的磁场向外，所以，O点的总磁感应强度大小为 ，方向垂直纸面向内。 三、计算题 图3-7 1．如图3-7所示，载流圆线圈通有电流为I，求载流圆线圈轴线上某点P的磁感应强度。 答案： ，方向沿轴线。 解：电流元与对应处的夹角均为，，则 由对称性分析，各的垂直轴线的分量全部抵消，只剩下平行于轴线的分量： 所以 ，方向沿轴线。 ω dr r σ R 图3-8 2．一个塑料圆盘，半径为R，电荷q均匀分布于表面，圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为ω。求圆盘中心处的磁感应强度。 答案：，方向沿轴线与电流成右手螺旋关系。 解：如图所示，在圆盘上取半径为r、宽为dr的细圆环，环上所带电荷量为 （其中 ） 电流为 （其中 ） 在盘心所产生的磁感应强度的大小为 每一载流圆环在盘心处的dB方向相同，故盘心处的合磁感应强度的大小为 方向沿轴线与电流成右手螺旋关系。 3．如图3-9所示，真空中一无限长圆柱形铜导体，磁导率为，半径为R，I均匀分布，求通过S（阴影区）的磁通量。 答案：。 解：取平行于无限长圆柱形铜导体轴线的面元， 无限长圆柱形铜导体周围空间磁场强度分布为 在导体内阴影部分的磁通量为 在导体外阴影部分的磁通量为 所以，通过S（阴影区）的总磁通量为 图3-10 4．如图3-10所示，一半径R的非导体球面均匀带电，面密度为s，若该球以通过球心的直径为轴用角速度w旋转，求球心处的磁感应强度的大小和方向。 答案：；方向沿轴向上。 解：利用圆形电流在轴线上产生的磁场公式 如图所示 ，而 又 ，，所以 习题四 图4-1 1．如图4-1所示，abc是弯成直角的导线，，，通以电流I，并放在和均匀磁场垂直的平面内，则导线所受到磁场力为 [ ] （A）； （B）； （C）； （D）。 答案：C 解：由得，方向垂直于；，方向垂直于。又由图中几何关系知，所以整个导线受力为 2．两个在同一平面内的同心圆线圈，大圆半径为R，通有电流I1，小圆半径为r，通有电流I2，电流方向如图4-2所示，且，那么，在小线圈从图示位置转到两线圈平面相互垂直位置的过程中，磁力矩所作的功A为 [ ] （A）； （B）； （C）； （D）。 r I2 I1 O R 图4-2 答案：B 解：因，所以大圆电流在小圆范围产生的磁场可看作是均匀的，且近似等于大圆电流在其圆心O处产生的磁场，即；小圆由平行位置转过90时磁力矩做功为 图4-3 x a 2 I B I I A 3．如图4-3所示，平行放置在同一平面内的载流长直导线，要使AB导线受的安培力等于零，则的值为 [ ] （A）； （B）； （C）； （D）。 答案：A 解：导线AB上长度为l的一段受其左、右两导线的安培力分别为 . 令，得，由此解得。 4．如图4-4，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈发生转动，其方向是 [ ] a b c d 图4-4 （A）ab边转入纸内，cd边转出纸外； （B）ab边转出纸外，cd边转入纸内； （C）ad边转入纸内，bc边转出纸外； （D）ad边转出纸外，bc边转入纸内。 答案：A 解：载流直导线在均匀磁场中受力为 ，由此可判断ab边受力指向纸内，cd边受力指向纸外。 二、填空题 1．电流为I，磁矩为的线圈置于磁感应强度的均匀磁场中，与方向相同，求通过线圈的磁通量 ；线圈所受的磁力矩的大小 。 答案：；M = 0。 解：通过线圈的磁通量 ，磁力矩的大小。 因，所以 。 2．如图4-5所示，某瞬间a点有一质子A以沿图所示方向运动。相距远处的b点，有另一质子B以沿图所示方向运动。、与r在同一平面内，求：（1）质子A经过a点的瞬间在b点所产生的磁感应强度的大小 ； （2）b点的质子所受洛伦兹力的大小 。 45˚ A B a b va vb 图4-5 45˚ 答案：（1）；（2）。 解：（1）质子A经过点的瞬间在点所产生的磁感应强度 方向垂直于纸面向外。 （2）质子B在点所受到的洛伦兹力 。 图4-6 3．一个通有电流I的导体，厚度为D，放置在磁感强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示，则导体上下两面的电势差为 (其中A为一常数）。则上式中A定义为 系数，且A与导体中的载流子数密度n及电荷q之间的关系为_____________。 答案：（1）霍尔；（2）。 图4-7 4．一电子在的磁场中沿半径为的螺旋线运动，螺距为， 如图4-7所示。（1）这电子速度的大小 ；（2）方向 。 答案：；。 解：依题意，有 ，式中，。 与轴线夹角 ， 5．一个速度的电子，在均匀磁场中受到的力为。如果，则___________。 答案：。 解：， 而，两式相等得：； 。将，及题给或代入，得。 三、计算题 I2 I1 b 1cm a 10cm 图4-8 dl 1．如图4-8所示，一长直导线通有电流，其旁置一导线ab，通以电流，求导线ab所受的作用力的大小和方向。 答案：，方向：垂直于ab向上。 解：长直载流导线在周围空间产生的是非均匀磁场，方向：垂直纸面向里。在ab上取一电流元，其受安培力为 ，方向：垂直于ab向上。 ab导线上每一电流元所受力的方向都相同，整条导线受力为： 方向：垂直于ab向上。 2．有一圆线圈直径8厘米，共12匝，通电流5安培，将此线圈置于磁感应强度为0.6特斯拉的均匀磁场中。试求：（1）作用在线圈上的最大转矩是多少？（2）线圈平面在什么位置时转矩是（1）中的一半？ 答案：（1）；（2）线圈法线与成或角时。 解：（1）线圈在磁场中受力矩公式为： （2），即 ，所以 得 ，或 即线圈法线与成或角时为的一半。 图4-9 R O φ ω B 3．如图4-9所示，盘面与均匀磁场B成φ角的带电圆盘，半径为R，电量Q均匀分布在表面上，当圆盘以角速度ω绕通过圆盘中心与盘面垂直的轴线转动，求圆盘在磁场中所受的磁力矩。 答案：。 解：圆盘的电荷面密度为 取距圆盘中心r处，宽度为dr的圆环，则此圆环上的电量为 由于圆盘以角速度ω绕轴线转动，故圆环的等效电流为 电流dI所围的面积 对应磁矩 总磁矩 矢量式 ，的方向即为圆盘面积的法线方向。 磁力矩 其数值 图4-10 4．截面积为S、密度为r 的铜导线被弯成正方形的三边，可以绕水平轴转动，如图4-10所示。导线放在方向竖直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I时，导线离开原来的竖直位置偏转一个角度q 而平衡。求磁感应强度。若，，，，问磁感应强度大小为多少？ 答案：。 解：磁场力的力矩为 重力的力矩为 由平衡条件 ，得 I R B 图4-11 5．一半径为的半圆形闭合线圈，载有电流，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈面平行，如图4-11所示。已知。求 （1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）； （2）若线圈受力矩的作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则力矩做功多少？ 答案：（1）； （2）。 解：（1）根据可知，垂直纸面向外，故沿转轴向上，大小为 （2）磁力矩做功 图4-7 习题五 一、选择题 1．一闭合圆形线圈在均匀磁场中运动，在下列几种情况中那种会产生感应电流 [ ] （A）线圈沿磁场方向平移； （B）线圈沿垂直磁场方向平移； （C）线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行； （D）线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。 答案：D 解：（A）、（B）、（C）问中当闭合圆形线圈运动时，穿过线圈的磁通量不发生变化，线圈中的感应电动势为零，所以不产生感应电流。（D）问中当闭合圆形线圈运动时，穿过线圈的磁通量发生了变化，线圈中产生了感应电动势，所以产生了感应电流。 2．如图5-1所示，M为一闭合金属轻环，当右侧线圈通以如下所说哪种情况的电流时，将在环内产生图示方向的感生电流，同时环向线圈方向移动 [ ]。 图5-1 （A）电流由b点流入，a点流出，并逐渐减少； （B）电流由a点流入，b点流出，并逐渐减少； （C）电流由b点流入，a点流出，并逐渐增大； （D）电流由a点流入，b点流出，并逐渐增大。 答案：A 解：环M向右移动，可判断线圈内磁力线的方向由右向左，即电流由b点流入，a点流出；根据环内感应电流的方向，应用楞次定律可判断线圈内的磁通量在减少。 3．如图5-2所示，一矩形线圈以一定的速度ν穿过一均匀磁场，若规定线圈中感应电动势ε沿顺时针方向为正值，则下面哪个曲线图正确表示了线圈中的ε和x的关系[ ] 答案：a 解：依题意，回路中的感应电动势由导线切割磁力线的情况确定。当线圈右边进入磁场，右边导线切割磁力线，动生电动势的方向由右手定则判断，方向逆时针；整个线圈进入磁场，磁通量无变化，感应电动势为零；当线圈右边从磁场中穿出，左边导线切割磁力线，动生电动势的方向由右手定则判断，方向顺时针。 4．在圆柱形空间内有一磁感应强度为的均匀磁场，如图5-3所示，的大小以速率变化。有一长度为l0的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1（ab）和2（），则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为 [ ] （A）； （B）； （C）； （D）。 图5-3 答案：A 解：感应电动势。 连接、、、，依题意有。由对称性可知，在圆形截面上，场线为以O为中心的一族同心圆，所以沿着半径方向上的积分为0，即。所以。同理，。而，。根据题意可知，两个三角形等底不等高，，所以。 5．有一细长螺线管其自感系数，若将此螺线管平分成两个，每一个螺线管的自感系数为及，它们的互感系数为，以下答案哪一个正确 [ ] （A）由可以看出，细长螺线管其自感系数与螺线管的体积成正比，把螺线管平分成两个，则每一个螺线管的体积为原来的一半，所以； （B）由两个线圈串联时的自感系数； （C）由两个线圈串联时的自感系数； （D）由两个线圈串联时的自感系数。 答案：B 解：因为当把细长螺线管平分成两个螺线管时，原螺线管的自感系数应包括两个螺线管的自感系数、及它们之间的互感系数。 至于螺线管的自感系数与螺线管的体积成正比的公式，利用了无限长螺线管内磁场的结论。对有限体积的实际螺线管来说，它只是一个近似的关系。如果该螺线管足够长，远远大于时，以上四个答案趋向一致。 a b 图5-4 二、填空题 1．如图5-4所示，一个矩形线圈在均匀磁场中以角速度w旋转，当它转到图a和图b位置时感应电动势的大小分别为 ； 。 答案：；。 解：回路中感应电动势的大小由穿过回路的磁通量的变化率决定。矩形线圈转到图中位置a时，感应电动势最大；转到位置b时，感应电动势为零。 初始时刻（t = 0）矩形线圈平面的法线与均匀磁场的磁感应强度平行，则穿过线圈的磁通量为，经过t后，与的夹角为，此时通过矩形线圈磁通量为： 故感应电动势 在位置a，，电动势最大，； 图5-5 在位置b，，电动势最小，。 2．半径为R的无限长园柱导体电流（图5-5），电流强度为I。横截面上各点的电流密度相等，求每单位长度导体内所储存的 磁能 。 答案：。 解：设导体电流方向由下向上，则磁感应强度的方向如俯视图（图5-5）所示，根据安培环路定理，无限长载流园柱导体内部离轴线距离为r处的磁感应强度 磁场能量体密度为 取半径为r，厚为dr，长为的体积元 ，则磁场能量为 每单位长度所储存的磁能为 3．如图5-6，一矩形导体回路ABCD放在均匀外磁场中，磁场的磁感应强度的大小为 高斯，与矩形平面的法线夹角；回路的CD段长为l =1.0m，以速度v =5.0m/s平行于两边向外滑动，如图所示。则求回路中的感应电动势的大小和方向分别为 和 ；感应电流方向 。 答案：，方向D C；感应电流方向。 解：回路中的感应电动势为 负号表示的方向(非静电力的方向)为 ，这个方向就是感应电流的方向。 4．如图5-7所示，两根平行长直导线置于空气中，横截面半径都是a，两导线中心相距为d，属于同一回路。设两导线内部的磁通量可忽略不计。求这一对导线单位长度的自感系数 。 答案：。 解：自感一般用进行计算。设电流为I，算出电流I的磁场分布，进而算出自感磁通量，即可求出结果。 设电流和坐标的方向如图5-7所示，则在离o为x处的总磁感应强度 通过图中阴影部分面元的磁通量 通过整个中心平面的磁通量 所以，平行导线单位长度的自感系数 5．真空中一均匀磁场的能量密度与一均匀电场的能量密度相等，已知，则电场强度为 。 答案：。 解：依题意，有 三、计算题 1．长为L的金属细杆ab与载有电流的无限长直导线共面，且绕端点a以角速度w 在公共平面内转动，如图5-8所示 。当细杆转到与水平线夹角为q 时，求ab两点的电势差。 答案：。 解：积分路径选为ba ，q 为常量。 图5-9 2．如图5-9所示直角三角形金属PQS框放在均匀磁场中，平行于边PQ，PQ边长为b，PQ边与QS边夹角为a，当金属框绕PQ边以角速度w 转动时，求（1）回路的总感应电动势；（2）各边的感应电动势。 答案：（1）；（2）PQ边：，PS边：，QS边：。 解：本题先求回路的总感应电动势，再求各边的感应电动势较为方便。 （1）在线圈旋转过程中，磁力线总与线圈平面平行，通过线圈的磁通量恒为零，其感应电动势 （2）求各边的动生电动势 PQ边：v = 0，所以其动生电动势。 PS边： 即 （其中） QS边：，所以 。 图5-10 3．限制在圆柱形体积内的均匀磁场，磁感应强度为，方向如图5-10所示。圆柱的半径为R，的数值以的恒定速率减小。当电子分别位于磁场中a点、b点与c点时，假定r = 0.5m，求电子获得的瞬时加速度的大小和方向。 答案：（1），方向水平向左；（2）； （3），方