中考数学二次函数全二次函数知识点总结 .docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数学问点总结及相关典型题目第一部分二次函数基础学问a 的 符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相关概念及定义二次函数的概念：一般的，形如2yaxbxc （ a ，b ，c 是常数，a0 ）的函数，叫做二a0向上h，0xh 时， y 随 x 的增大而增大。xh 时， y 随 xX=h的增大而减小。xh 时， y 有最小值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结次函数。这里需要强调：

2、和一元二次方程类似，二次项系数函数的定义域是全体实数2a0 ，而 b ，c 可以为零二次a0向下h，0X=hxh 时， y 随 x 的增大而减小。xh 时， y 随 x的增大而增大。xh 时， y 有最大值 0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数yaxbxc 的结构特点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项二次函数各种形式之间的变换二次函数2ya xhk 的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二 次 函 数

3、 yax 2bxc用 配 方 法 可 化 成 ：ya xh 2k 的 形 式 ， 其 中a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结hb ， k 2 a4 acb 2.4aa0向上h ，kxh 时， y 随 x 的增大而增大。xh 时， y 随X=hx 的增大而减小。xh 时， y 有最小值 k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22二 次 函 数 由 特 殊 到 一 般 ， 可 分 为 以 下 几 种 形 式 ： yax2 。 yax 2k 。xh 时， y 随 x 的增大而减小。xh 时， y 随可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

4、归纳总结 ya xh。 ya xhk 。 yax 2bxc .a0向下h ，kX=hx 的增大而增大。xh 时， y 有最大值 k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数解析式的表示方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般式：yaxbxc （ a ， b ， c 为常数， a220 ）。抛物线yax2bxc 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结顶点式：ya xhk （ a ， h ， k 为常数， a0 ）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两根式：ya xx1 xx2 （ a0 ， x1 ，x2 是

5、抛物线与x 轴两交点的横坐标）.a 的符号打算抛物线的开口方向：当a0 时，开口向上。当a0 时，开口向下。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成a 相等，抛物线的开口大小、外形相同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结交点式， 只有抛物线与x 轴有交点， 即 b24ac次函数解析式的这三种形式可以互化.0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作xb. 特殊的，y 轴记作直线x0 .2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数yax 2

6、的性质顶点坐标坐标： （b4 acb2，）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质2a4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上0，0y 轴x0 时， y 随 x 的增大而增大。x0 时， y顶点打算抛物线的位置. 几个不同的二次函数，假如二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结随 x 的增大而减小。x0 时， y 有最小值 0 抛物线 yax2bxc 中，a, b, c 与函数图像的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x0 时

7、， y 随 x 的增大增大而减小。x0二次项系数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向下0，0y 轴时， y 随 x 的增大而增大。x0 时， y 有最二次函数yaxbxc 中， a 作为二次项系数，明显a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2二次函数yaxc 的性质大值 0 当 a 当 a0 时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大。0 时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质性质总结起来，a 打算了抛物线开口的大小和方向

8、，a 的正负打算开口方向，a 的大小打算开口的大小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0 时， y 随 x 的增大而增大。x0 时， y一次项系数 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向上0 ，cy 轴随 x 的增大而减小。x0 时， y 有最小值 c 在二次项系数a 确定的前提下，b 打算了抛物线的对称轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 在 a0 的前提下，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a0向下0 ，cx0 时， y 随 x 的增大而减小。y 轴x0 时， y当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧。可编辑资料 -

9、- - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数ya xh2的性质：随 x 的增大而增大。x0 时， y 有最大值 c 2a当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴。2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b0 时，b0 ，即

10、抛物线对称轴在y 轴的右侧就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a 在 a0 的前提下，结论刚好与上述相反，即一次函数 ykxn k0 的图像 l 与二次函数yax2bxc a0 的图像 G 的交点， 由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧。2a方程组ykxnyax2bxc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b0 时，b0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴。交点 ; 方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点

11、。方程组无解时l 与 G 没有交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a抛 物 线 与 x 轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ： 如 抛 物 线 yax 2bxc与 x 轴 两 交 点 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 b0 时，b0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧2aA x1，0 ， Bx2，0，由于x1 、x2 是方程ax 2bxc0 的两个根，故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结起来，在a 确定的前提下，b 打算了抛物线对称轴的位置总结：常数项 cxxb , xxc aa22121222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

12、总结 当 c 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正。0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 。ABx1x2x1x2x1x24x1 x2b4caab4acaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 当 c0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负二次函数图象的对称: 二次函数图象的对称一般有五种情形，可以用一般式或顶点式表达可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结总结起来，c 打算了抛物线与y 轴交点的位置2总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯独确定的

13、求抛物线的顶点、对称轴的方法关于 x 轴对称2yaxbxc 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yaxbxc 。22ya xhk 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2b4acb 2b4acb 2关于 y 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式法：yaxbxca x2a，顶点是（4a，2a4 a），对称yax2bxc 关于 y 轴对称后，得到的解析式是2yax2bxc 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结轴是直线xb .2aya xhk 关于 y 轴对称后，得到的解析式是关于原点对称ya xhk

14、。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为ya xh 2k 的形式，得到顶点为2yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是22yaxbxc 。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 h , k ，对称轴是直线xh .ya xhk 关于原点对称后，得到的解析式是ya xhk 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直 平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.关于顶点对

15、称2yaxbxc 关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxcb 。22a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用待定系数法求二次函数的解析式2ya xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般式：yax 2bxc . 已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常挑选一般式.2关于点m，n 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结顶点式：ya xhk . 已知图像的顶点或对称轴，通常挑选顶点式.2ya xhk 关于点m，n对称后，得到的解析式是2ya xh2m2nk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

16、交点式：已知图像与x 轴的交点坐标直线与抛物线的交点x1 、 x2 ，通常选用交点式：ya xx1xx2.总结：依据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的外形肯定不会发生变化，因此 a永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或便利运算的原就，挑选合适可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 轴与抛物线yax2bxc 得交点为 0,c .的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与 y 轴平行的直线xh 与抛物线yax2bxc 有且只有一个交点 h ,ah 2bhc .定其对称抛物线

17、的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结抛物线与x 轴的交点 : 二次函数y2ax 2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x 、 x ，12二次函数图象的平移平移步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是对应一元二次方程axbxc0的两个实数根. 抛物线与x 轴的交点情形可以由对应的 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标h ，k 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x 轴相交。有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与x 轴相切。没有

18、交点0抛物线与x 轴相离 .平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ， 保持抛物线yax2 的外形不变，将其顶点平移到h ，k处，详细平移方法如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华

19、学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=ax2向右h0【或左h0【或向下k0【或左h0【或左h0【或下k0【或下k0】平移|k|个单位y=ax-h2+k1、已知关于 X 的一元二次方程 （ m+1）x +2m+1x+2=0 有两个相等的实数根，求抛物线y=-x解析式。2+m+1x+3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 已知抛物线y=a+2x-a+1x+2a的顶点在x 轴上 , 求抛物线的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移。k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”依据条件确定二

20、次函数表达式的几种基本思路。3、已知抛物线y=m+1x 2+m+2x+1 与 x 轴有唯独公共点，求抛物线的解析式。学问点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三点式。2一般的，假如特yax2bxca, b, c是常数， a0 ，特殊留意a 不为零可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1，已知抛物线y=ax +bx+c 经过 A（3 ，0）， B（ 23 ，0）， C（ 0， -3 ）三点，求抛物线的解析式。那么 y 叫做 x 的二次函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2，已知抛物线y=ax-1顶点式。2+4 ，

21、经过点 A（ 2， 3），求抛物线的解析式。2yax2bxca, b, c是常数， a0 叫做二次函数的一般式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1，已知抛物线y=x-2ax+a+b 顶点为 A（2， 1），求抛物线的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22，已知抛物线y=4x+a-2a的顶点为（ 3， 1），求抛物线的解析式。交点式。1，已知抛物线与x轴两个交点分别为（3， 0）,5,0,求抛物线y=x-ax-b的解析式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于xb对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2，已知

22、抛物线线与x轴两个交点（4， 0），（ 1， 0）求抛物线y=定点式。1 ax-2ax-b的解析式。2抛物线的主要特点：有开口方向。有对称轴。有顶点。3、二次函数图像的画法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线y1 x 225a x 22a2 经过 x 轴上肯定点Q，直五点法：（ 1）先依据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线 y a2 x2 经过点 Q, 求抛物线的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22，抛物线y= x+2m-1x-

23、2m与 x 轴的肯定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。2（ 2）求抛物线yax 2bxc 与坐标轴的交点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3，抛物线y=ax +ax-2 过直线 y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。平移式。221， 把抛物线y= -2x向左平移2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到抛物线y=a x-h+k,求此抛物线解析式。当抛物线与x 轴有两个交点时， 描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C，再找到点C的对称 点 D。将这五个点按从左到右的次序连接起来，并向上或向下延长，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交

24、点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D。由 C、 M、D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2， 抛物线 yx 2x3 向上平移 , 使抛物线经过点C0,2,求抛物线的解析式.三点可粗略的画出二次函数的草图。假如需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结距离式。1，抛物线y=ax 2+4ax+1a 0 与 x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。22，已知抛物线y=m x +3mx-4mm 0 与 x 轴交于 A、B 两点，与轴交于 C 点，且 AB=BC,求此抛物线的解析式。对称轴式。22顺次连接五

25、点，画出二次函数的图像。学问点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-一般两根三顶点（ 1） 一般一般式：yax2bxca, b, c是常数， a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21、抛物线y=x -2x+m -4m+4 与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2 倍，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求抛物线的解析式。2（ 2） 两根当抛物线y3ax 2bxc 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程axbxc0 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、 已知抛物线y=-x+ax+4,交 x 轴于 A,B （点

26、A 在点 B 左边）两点，交y 轴于点 C, 且 OB-OA=4OC，实 根 x1 和x2 存 在 时 ，根 据 二次 三 项 式的 分 解因 式ax2bxca xx1 xx2 ， 二 次 函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求此抛物线的解析式。对称式。yax 2bxc 可转化为两根式ya xx1 xx2 。假如没有交点，就不能这样表示。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢

27、迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点a 的肯定值越大，抛物线的开口越小,a的肯定值越大，抛物线的开口越小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）三顶点顶点式：y学问点三、二次函数的最值a xh 2yk a, h, k是常数， a0y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b假如自变量的取值范畴是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ，即当 x时，2a4acb 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y最值。4 a假如自变量的取值范畴是x1xx2 ，那么，第一要看b是否在

28、自变量取值范畴2a0x0xx1xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b4 acb 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结内，如在此范畴内， 就当 x=时，y最值。如不在此范畴内， 就需要考虑函数在x12a4 axx2（ 1）抛物线开口向上，并向上无限延长。bb（ 1）抛物线开口向下，并向下无限延长。bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结范畴内的增减性，假如在此范畴内，y 随 x 的增大而增大，就当xx2 时，y最大ax 2bx2c ，当（ 2）对称轴是x=，顶点坐标是（22a，（ 2）对称轴是x=2a，顶点坐标是（，2 a2 a可编辑资料 - - -

29、欢迎下载精品名师归纳总结xx1 时 ，y最小ax2bx1c 。 如 果 在此 范 围内，y随x的增 大 而减小， 就当xx1 时 ，4acb 2）。4a4acb2）。4a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y最大ax2bx1c ，当 xx2 时，y最小ax2bx2c 。（ 3）在对称轴的左侧，即当xb1时， y 随 x2a（ 3）在对称轴的左侧，即当xb2a时，y 随 x 的增大而增大，简记左减xb 2a时， y 随 x 的增大而减小，简记左可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax2当 a0 时x0 （ y 轴）（ 0,

30、0 ）右增。增右减。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax2k开口向上x0 （ y 轴）0,k （ 4）抛物线有最低点，当x=b时， y 有最小2a（ 4）抛物线有最高点，当x=b时， y 有最2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22ya xh当 a0 时xh h ,0值， y最小值4acb 24a大值，y最大值4acb 24a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2ya xh开口向下xh h , k 2、二次函数yaxbxca, b,c是常数， a0 中，a、 b、 c 的含义：可编辑资料 - - -

31、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kyax2bxcb2xb4acba 表示开口方向：a 0 时，抛物线开口向上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2a，2 a4aa 0a0 时，图像与x 轴有两个交点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

32、师归纳总结当=0 时，图像与x 轴有一个交点。当0 时，图像与x 轴没有交点。 点斜yy1kx xx1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学问点五中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，懂得记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点A 坐标为（ x1， y1）点 B 坐标为（ x 2，y 2） 斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: y kx b k 0xy 截距由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1ab牢记口诀-两点斜截距 - 两点点斜斜截截距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 AB间的距离，即线段AB的长度为2x1x22y1y2A5、设两条直线分别为，l1 ：yk1 xb1l2 ：yk 2 xb2如 l 1/l 2 ，就有 l1 / l 2k1k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0x且 b1Bb 2 。如ll12k1k 21kx0y0bkx0y0b可编辑资料 -