微积分习题集讲解与规范标准答案.doc

.* 习题8.1 1.指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程： (1) (2) (3) (4) 解 (1) 1阶 非线性 (2) 1阶 线性 (3) 3阶 线性 (4) 1阶 线性 2.验证下列函数是否是所给微分方程的解 (1) (2) (C为任意常数) (3) (C为任意常数) (4) (C1 ,C2为任意常数) (5) (C为任意常数) (6) 解 (1) 是，左==右 (2) 是，左==右 (3) 是，左==右 (4) 是，左= =右 (5) 是，左=右 (6) 是，左= = = 右 3.求下列微分方程的解 (1) ; (2) ; (3) (4) 解 (1) (2) (3) 解得 即 (4) 解得 整理得 4.已知曲线经过原点，并且它在点处的切线的斜率等于，试求这条曲线的方程。 解 已知 解得 又知曲线过原点，得 所求曲线方程为 习题8.2 1.用分离变量法求下列微分方程的解 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1) 解得 (2) 解得 (3) 解得 即 (4) 解得 整理得 (5) 解得 由于 ，解得 则 (6) 解得 由于 则 原方程解为 2.求下列齐次方程的解 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1) 令，代入方程得 分离变量得 两边积分得 整理得 将回代，即得原方程通解 (2) 原式可化为 令，代入方程得 分离变量得 两边积分得 将回代，即得原方程通解 整理得 (3) 原式可化为 令，代入方程得 分离变量得 两边积分得 即 将回代，即得原方程通解 (4) 原式可化为 令，代入方程得 分离变量得 两边积分得 即 将回代，即得原方程通解 (5) 令 (6) 原式可化为 令，代入方程得 分离变量得 两边积分得 即 将回代，即得原方程通解 将代入得C=2 于是，特解为 习题8.3 1.求下列微分方程的通解 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1) 这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程 的通解。分离变量得 两端同时积分，得 得通解为 用常数变易法，把C换成C(x)，即 两边微分，得 代入原方程，得 两端同时积分，得 故所求微分方程通解为 其中C为任意常数。 (2) 则 或：这是一阶非齐次线性微分方程，先求对应的齐次方程 的通解。分离变量得 两端同时积分，得 得通解为 用常数变易法，把C换成C(x)，即 两边微分，得 代入原方程，得 两端同时积分，得 故所求微分方程通解为 其中C为任意常数。 (3) 则 (4) 则 (5) 原式可化为 则 (6) 原式可化为 则 2.某种商品的消费量X随收入I的变化满足方程 （a是常数） 当时，，求函数的表达式。 解原式可化为 则 又当时，，得 则原方程解为 习题8.4 1.某商品的需求函数与供给函数分别为 (其中a,b,c,d,均为正常数) 假设商品价格P是时间t的函数，已知初始价格，且在任一时刻t，价格P(t)的变化率与这一时刻的超额需求成正比（比例常数为k>0） (1)求供需相等时的价格（均衡价格） （2）求价格P(t)的表达式 （3）分析价格P(t)随时间的变化情况 解 （1）当时，即 ，得 （2）由于，即 方程通解为 已知价格，代入得 ，于是 （3）由于 2.已知某种商品的需求价格弹性为，其中p为价格，Q为需求量，且当p=1时，需求量Q=1，试求需求函数关系。 解 设需求关系式为，则由题设知 即 此微分方程通解为 将Q(1)=1代入，得C=1，故所求需求函数为 3. 设某厂生产某种产品，随产量的增加，其总成本的增长率正比于产量与常数2之和，反比于总成本，当产量为0时，成本为1，求总成本函数。 解 设产量为x，总成本为C，比例系数为1，则依题意有 解此微分方程，得 把初始条件代入解得 于是总成本函数为 4.在宏观经济研究中，发现某地区的国民收入y，国民储蓄S和投资I均是时间t的函数，且储蓄额S是国民收入的，投资额为国民收入增长率的。若当t=0时，国民收入为5亿元，试求国民收入函数（假定在时间t的储蓄额全部用于投资） 解 依题意得 因为储蓄额全部用于投资，故有 即国民收入函数应满足方程 解得 将初始条件代入上式，得 于是 习题8.5 1、求下列微分方程通解 (1) (2) (3) (4) 解 (1) (2) (3) 令，原方程降阶为 分离变量得 两边积分得 即 所以 (4) 令，原方程降阶为 分离变量得 两边积分得 即 所以 2求解初值问题 (1) . (2) 解 (1) 设，则，代入原方程，得 分离变量得 积分得 ，即 由 得 则 ，由知单调增加，于是 再积分一次，可得通解 由 得 即 (2) 令,原方程化为 属于一阶线性方程 由得 又由 得 初值问题的解为 习题8.6 1.求下列方程通解 (1) (2) (3) (4) 解 (1) 解 特征方程为 解得两个不同实根，所求方程的通解为 其中是任意常数 (2) 解 特征方程为 解得两个不同实根，所求方程的通解为 其中是任意常数 (3) 解 特征方程为 其特征根为二重实根，所求方程通解为 其中是任意常数 (4) 解 特征方程为 解得两个共轭虚根，所求方程通解为 其中是任意常数 2.求方程满足初始条件的特解 解 特征方程为 解得两个共轭虚根，所求方程通解为 由初始条件得 又由 由，得 于是满足初始条件的特解为 3.求微分方程的一个特解 解 ，其中不是特征方程的根，得 为所给方程的一个特解，直接将代入原方程，得 比较系数得 解得 所以即为所求特解 4.求微分方程的通解 解 ，其中对应的齐次方程为 特征方程有二重特征根 齐次方程通解为 由于是重特征根，所以设非齐次方程特解为 直接将代入原方程，得 比较系数得 解得，因此为所给方程的一个特解，从而所求方程通解为 其中是任意常数 5.求方程的通解 解 对应齐次方程为 它的特征方程有重根 故对应齐次方程的通解为 由于不是特征根，因此设所给方程的特解为 代入原方程得 比较系数得 解得，因此为所给方程的一个特解，从而通解为 习题8.7 1. 设某种产品就要推向市场，t时刻的销量为x(t)，由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，t时刻产品销售的增长率与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N，统计表明与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N- x(t)也成正比，试给出x(t)的方程，并求销量达到多少时最为畅销。 解 其中k为比例系数，分离变量积分，可得 由 以及 当时，有，即销量单调增加；当时，；当时，；当时，；即当销量达到最大需求量N的一半时，产品最为畅销，当销量不足N的一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减少。 2、某商品的价格由供求关系决定，若供给量与需求量均是价格的线性函数： 若价格是时间t(年)的函数，且已知在时刻t时，价格的变化率与过剩需求成正比，比例系数为2，试求价格与时间t(年)的函数关系，且已知初始价格元，问当年时价格应为多少？ 解 依题意，得 解得 由已知，代入得 于是 则当时， 习题8.8 1、计算下列各题的差分 （1） （2） 解 (1) (2) 解 2、求下列差分方程的通解 （1） （2） （3） （4） 解 （1） 因，对应齐次方程通解为 （C为任意常数） 设代入原方程，有 比较系数得，所以 所求方程通解为 C为任意常数 （2） 因，对应齐次方程通解为 （C为任意常数） 设代入原方程，有 比较系数得 故有 所求方程通解为 （3）对应齐次方程通解为 （C为任意常数） 又，即，且，因此，原方程的特解为 故原方程通解为 （4）对应齐次方程通解为 （C为任意常数） 又，即，且，因此，原方程的特解为 故原方程通解为 3、求下列二阶差分方程的通解 （1） （2） （3） （4） 解 (1) 特征方程 得特征根 从而得到方程的通解 其中为任意常数。 （2）原方程对应的特征方程为 特征方程有两个共轭复根 且，即 知方程有两个特解 于是原方程通解为 其中为任意常数。 （3）特征方程为 解得重根，于是原方程通解为 其中为任意常数。 下面求非齐次方程特解 因为，则，且不是特征根 则形式特解为，代入原方程 比较系数得 于是 原方程通解为 其中为任意常数。 （4）特征方程为 解得重根，于是原方程通解为 其中为任意常数。 下面求非齐次方程特解 因为，则，是重根 则形式特解为，代入原方程 比较系数得 于是 原方程通解为 其中为任意常数。