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-/ 小学数学速算与巧算方法例解 速算与巧算 在小学数学中，关于整数、小数、分数的四则运算，怎么样才能算得既快又准确呢？这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序，根据题目本身的特点，综合应用各种运算定律和性质，或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式，选用合理、灵活的计算方法。速算和巧算不仅能简便运算过程，化繁为简，化难为易，同时又会算得又快又准确。 一、“凑整”先算 　　1.计算：（1）24+44+56 　　　　　　（2）53+36+47 　　解：（1）24+44+56=24+（44+56） 　　　　　　=24+100=124 　　这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来. 　　　　（2）53+36+47=53+47+36 　　　　　　=（53+47）+36=100+36=136 　　这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 　　2.计算：（1）96+15 　　　　　　（2）52+69 　　解：（1）96+15=96+（4+11） 　　　　　　=（96+4）+11=100+11=111 　　这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. 　　　　（2）52+69=（21+31）+69 　　　　　　=21+（31+69）=21+100=121 　　这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算. 　　3.计算：（1）63+18+19 　　　　　　（2）28+28+28 　　解：（1）63+18+19 　　　　=60+2+1+18+19 　　　　=60+（2+18）+（1+19） 　　　　=60+20+20=100 　　这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. 　　　　（2）28+28+28 　　　　=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 　　　　=30+30+30-6=90-6=84 　　这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去. 　　二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变 　　计算：（1）45-18+19 　　　　　（2）45+18-19 　　解：（1）45-18+19=45+19-18 　　　　=45+（19-18）=45+1=46 　　这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. 　　　　（2）45+18-19=45+（18-19） 　　　　=45-1=44 　　这样想：加18减19的结果就等于减1. 三、计算等差连续数的和 　　相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如： 　　1，2，3，4，5，6，7，8，9 　　1，3，5，7，9 　　2，4，6，8，10 　　3，6，9，12，15 　　4，8，12，16，20等等都是等差连续数. 　　1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成： 　　（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9 　　=59 中间数是5 　　=45 共9个数 　　（2）计算：1+3+5+7+9 　　=55 中间数是5 　　=25 共有5个数 　　（3）计算：2+4+6+8+10 　　=65 中间数是6 　　=30 共有5个数 　　（4）计算：3+6+9+12+15 　　=95 中间数是9 　　=45 共有5个数 　　（5）计算：4+8+12+16+20 　　=125 中间数是12 　　=60 共有5个数 　　2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成： 　　（1）计算： 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 　　=（1+10）5=115=55 　　共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10. 　　（2）计算： 　　3+5+7+9+11+13+15+17 　　=（3+17）4=204=80 　　共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17. 　　（3）计算： 　　2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 　　=（2+20）5=110 　　共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20. 四、基准数法 　　（1）计算：23+20+19+22+18+21 　　解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去. 　　23+20+19+22+18+21 　　=206+3+0-1+2-2+1 　　=120+3=123 　　6个加数都按20相加，其和=206=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推. 　　（2）计算：102+100+99+101+98 　　解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算. 　　102+100+99+101+98 　　=1005+2+0-1+1-2=500 　　方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就是把有的加数带有符号搬家） 　　102+100+99+101+98 　　=98+99+100+101+102 　　=1005=500 　　可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5.　 　　加法中的巧算 　　1.什么叫“补数”？ 　　两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。 　　如：1+9=10，3+7=10， 　　2+8=10，4+6=10， 　　5+5=10。 　　又如：11+89=100，33＋67=100， 　　22+78=100，44+56=100， 　　55+45=100， 　　在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。 　　对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。 　　如： 87655→12345， 46802→53198， 　　87362→12638，… 　　下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。 　　2.互补数先加。 例1 巧算下面各题： 　　①36+87+64②99+136＋101 　　③ 1361＋972＋639＋28 　　解：①式=（36＋64）＋87 　　=100＋87=187 　　②式=（99＋101）＋136 　　=200+136=336 　　③式=（1361＋639）＋（972＋28） 　　=2000+1000=3000 　　3.拆出补数来先加。 　　例2 ①188＋873 ②548＋996 ③9898＋203 　　解：①式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略） 　　＝200+861=1061 　　②式=（548-4）＋（996＋4） 　　=544+1000=1544 　　③式=（9898＋102）＋（203-102） 　　=10000+101=10101 　　4.竖式运算中互补数先加。 　　如：　 　 　　二、减法中的巧算 　　1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。 　　例 3① 300-73-27 　　② 1000-90-80-20-10 　　解：①式= 300-（73＋ 27） 　　＝300-100=200 　　②式=1000-（90＋80＋20＋10） 　　＝1000-200＝800 　　2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 　　例4① 4723-（723＋189） 　　② 2356-159-256 　　解：①式=4723-723-189 　　＝4000-189=3811 　　②式=2356-256-159 　　＝2100-159 　　=1941 　　3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。 　　例 5 ①506-397 　　②323-189 　　③467＋997 　　④987-178-222-390 　　解：①式=500＋6-400+3（把多减的 3再加上） 　　=109 　　②式=323-200+11（把多减的11再加上） 　　=123+11＝134 　　③式=467＋1000-3（把多加的3再减去） 　　＝1464 　　④式=987-（178＋222）-390 　　＝987-400-400+10=197 　　三、加减混合式的巧算 　　1.去括号和添括号的法则 　　在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“＋”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即： 　　a＋（b＋c＋d）＝a＋b＋c＋d 　　a-（b＋a＋d）＝a-b-c-d 　　a-（b-c）＝a-b+c 例6 ①100＋（10＋20＋30） 　　② 100-（10＋20+3O） 　　③ 100-（30-10） 　　解：①式=100＋10＋20＋30 　　=160 　　②式=100-10-20-30 　　=40 　　③式=100-30＋10 　　＝80 例7 计算下面各题： 　　① 100＋10＋20＋30 　　② 100-10-20-30 　　③ 100-30＋10 　　解：①式=100＋（10+20+30） 　　=100＋60=160 　　②式=100-（10＋20+30） 　　＝100-60=40 　　③式=100-（30-10） 　　=100-20=80 　　2.带符号“搬家” 例8 计算 325＋46-125＋54 　　解：原式=325-125＋46+54 　　＝（325-125）+（46＋54） 　　=200+100＝300 　　注意：每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前面虽然没有符号，应看作是+325。 　　3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉 例9 计算9+2-9＋3 　　解：原式=9-9＋2+3=5 　　4.找“基准数”法 　　几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。 例10 计算 78+76＋83＋82+77＋80＋79＋85 　　＝640 1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式： 　　52=10 　　254=100 　　1258=1000 例1 计算①123425 　　② 125282554 　　解：①式=123（425） 　　=123100＝12300 　　②式=（1258）（254）（52） 　　=100010010=1000000 　　2.分解因数，凑整先乘。 　　例 2计算① 2425 　　② 56125 　　③ 1255325 　　解：①式=6（425） 　　=6100=600 　　②式=78125=7（8125） 　　=71000=7000 　　③式=1255485=（1258）（554） 　　=1000100=100000 　　3.应用乘法分配律。 　　例3 计算① 17534＋17566 　　②6712+6735＋6752+6 　　解：①式=175（34+66） 　　=175100=17500 　　②式=67（12＋35＋52＋1） 　　＝ 67100＝6700 　　（原式中最后一项67可看成 671） 　　例4 计算① 123101 ② 12399 　　解：①式=123（100＋1）=123100＋123 　　＝12300＋123=12423 　　②式=123（100-1） 　　=12300-123=12177 　　4.几种特殊因数的巧算。 例5 一个数10，数后添0； 　　一个数100，数后添00； 　　一个数1000，数后添000； 　　以此类推。 　　如：1510=150 　　15100=1500 　　151000＝15000 例6 一个数9，数后添0，再减此数； 　　一个数99，数后添00，再减此数； 　　一个数999，数后添000，再减此数； … 　　以此类推。 　　如：129＝120-12＝108 　　1299＝1200－12＝1188 　　12999＝12000-12=11988 例7 一个偶数乘以5，可以除以2添上0。 　　如：65＝30 　　165＝80 　　1165=580。 例8 一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。 　　如 222211＝24442 　 　　 　　245611＝27016 　　 　　 例9 一个偶数乘以15，“加半添0”. 　　2415 　　＝（24+12）10 　　＝360 　　因为 　　2415 　　＝ 24（10+5） 　　＝24（10＋102） 　　=2410+24102（乘法分配律） 　　＝2410+24210（带符号搬家） 　　＝（24+242）10（乘法分配律） 例10 个位为5的两位数的自乘：十位数字（十位数字加1）100+25 　　如1515=1（1+1）100+25=225 　　2525=2（2+1）100+25=625 　　3535=3（3+1）100+25=1225 　　4545=4（4+1）100+25=2025 　　5555=5（5+1）100+25=3025 　　6565＝6（6+1）100+25=4225 　　7575=7（7+1）100+25＝5625 　　8585=8（8+1）100+25=7225 　　9595＝9（9+1）100＋25＝9025 　　还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看《算得快》一书。 　　二、除法及乘除混合运算中的巧算 　　1.在除法中，利用商不变的性质巧算 　　商不变的性质是：被除数和除数同时乘以或除以相同的数（零除外），商不变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。 例11 计算①1105②330025 　　③ 44000125 　　解：①1105=（1102）（52） 　　＝22010=22 　　②330025＝（33004）（254） 　　＝13200100＝132 　　③ 44000125=（440008）（1258） 　　＝3520001000＝352 　　2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。 例12 8642754 　　＝8645427 　　=1627 　　=432 　　3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个数。 　　例13① 139＋59 ②215-65 　　③209024-48224 　　④18712-6312-5212 　　解：①139+59=（13＋5）9 　　=189＝2 　　②215-65＝（21-6）5 　　＝155=3 　　③209024-48224＝（2090-482）24 　　＝160824＝67 　　④18712-6312-5212 　　＝（187-63-52）12 　　＝7212=6 　　4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法：如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变；如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后，原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。 　　即a（bc）=abc 从左往右看是去括号， 　　a（bc）＝abc 从右往左看是添括号。 　　a（bc）＝abc 例14 ①1320500250 　　②40001258 　　③5600（286） 　　④37216254 　　⑤2997729（8181） 　　解：① 1320500250＝1320（500250） 　　=13202＝2640 　　②40001258＝4000（1258） 　　＝40001000＝4 　　③5600（286）=5600286 　　=2006=1200 　　④37216254=372（16254） 　　＝3723＝124 　　⑤2997729（8181）＝29977298181 　　＝（299781）（72981）＝379 　　＝333 例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999 　　解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧. 　　 9＋99＋999＋9999＋99999 　　＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1） 　　 ＋（100000-1） 　　＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5 　　＝111110-5 　　＝111105. 例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19 　　解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200） 　　 199999＋19999＋1999＋199＋19 　　＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1） 　　 ＋（19＋1）－5 　　＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5 　　＝222220-5 　　＝22225. 例3 计算（1＋3＋5＋…＋1989）－（2＋4＋6＋…＋1988） 　　 　　解法2：先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是： 　　 　　从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是： 　　 　　从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990. 　　1990497＋995—1990497＝995. 例4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388 　　解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数. 　　 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388 　　＝3907—1—3—7—5—6—4— 　　＝2730—28 　　＝2702. 　　解法2：也可以选380为基准数，则有 　　 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388 　　＝3807＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8 　　＝2660＋42 　　＝2702. 例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）6 　　解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数. 　　 （4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）6 　　＝（49406＋2＋3—2—1＋1＋3）6 　　＝（49406＋6）6（这里没有把49406先算出来，而是运 　　＝494066＋66运用了除法中的巧算方法） 　　＝4940＋1 　　＝4941. 例6 计算54＋9999＋45 　　解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了. 　　 54＋9999＋45 　　＝（54＋45）＋9999 　　＝99＋9999 　　＝99（1＋99） 　　＝99100 　　＝9900. 例7 计算 99992222＋33333334 　　解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为33333，规律就出现了. 　　 99992222＋33333334 　　＝333332222＋33333334 　　＝33336666＋33333334 　　＝3333（6666＋3334） 　　＝333310000 　　＝33330000. 例8 1999＋999999 　　解法1：1999＋999999 　　＝1000＋999＋999999 　　＝1000＋999（1＋999） 　　＝1000＋9991000 　　＝1000（999＋1） 　　＝10001000 　　＝1000000. 　　解法2：1999＋999999 　　＝1999＋999（1000-1） 　　＝1999＋999000-999 　　＝（1999-999）＋999000 　　＝1000＋999000 　　＝1000000. 　　 有多少个零. 　　　 　　总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧。