导数在高级中学数学中的地位及解题中的应用.doc

^` 导数在高中数学中的地位及解题中的应用 重庆师范大学涉外商贸学院 数学与应用数学（师范） 2013级3班 李锦华 指导老师 袁南桥 中文摘要：在近几年的高考中，对导数的考察越来越多，与导数有关的知识也成为高考考察的重要内容.导数作为选修课进入新课程，为高中阶段研究函数的相关性质提供了有力工具，本文试图以导数在函数、不等式以及切线中的应用为例，说明导数在高中数学解题中的应用分析 关键词：高中数学 导数 解题 应用 一. 导数在高中数学中的地位 1.1有利于学生更好地掌握函数思想 导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像来反映，因而，如果能准确地作出函数的图像，函数的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了。 如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像。但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，比如，等函数，仅用描点法就很难较为准确地作出图像。但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像。这样就有利于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识。 数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决.其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，来解决相关问题. 1.2有利于学生学好其他学科 高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数是微分学的核心概念，它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都 有着广泛的应用.例如：根据做变速直线运动物体的运动方程：s=s（t），算出物体的瞬时速度：v（t）=ds/dt、瞬时加速度：a（t）=d2s/dt2；对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了. 1.3有利于发展学生的思维能力 通过学习导数把中学所学的知识全部串联起来，让学生成为知识的“”发现者”“探究者”和“运用者”，一真正发展学生的各项科学素质，培养学生的各项能力，为学生的终身发展和个性发展，科学世界观和科学价值的形成打下基础. 二. 导数在高中数学解题中的应用 2.1导数在研究函数的极值和最值的应用 1.函数的最值与极值 求函数的最值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简单化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性质. 一般的，求可导函数的极值和最值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数 (2)求方程的根，计算在根和端点的函数值 (3) 比较在根和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值若满足，且在x0的两侧的导数异号，则x0是的极值点，是极值. 2.判别是极大、极小值的方法 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. 例1. 求函数在上的最大值和最小值． 分析：先求出的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可 得该函数在区间，上的最大值和最小值． 解：由于，则 当时， 所以为函数的单调区间 当，，所以为函数的单调区间 又因为，所以 当时，取得最小值；当时，取得最大值. 例2 求函数的极值. 解： 令，得驻点 1 2 + 0 - 0 + 0 + 极大 极小 是函数的极大值；是函数的极小值 2.2利用导数研究曲线的切线 1．导数的几何意义 过曲线上任意一点的切线的斜率就是在处的导数， 即k=fx0=lim∆x→0ΔyΔx=lim∆x→0fx0+∆x-f(x0)∆x.也就是说，曲线在点处的切线的斜率是，切线方程为. 2．导数几何意义应用的三个方面 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点求斜率k，即求该点处的导数值： (2)已知斜率k，求切点，即解方程 (3)已知过某点 (不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点，利用-求解． 例3求曲线在点处的切线方程. 分析：此题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可． 解：由 则在点处斜率， 故所求的切线方程为， 即 例4求与直线的平行的抛物线的切线方程. 分析：此题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 解：设为切点，则切点的斜率为． ．得到切点． 故切线方程为. 即． 例5 求过曲线上的点的切线方程． 分析：过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 解：设想为切点，则切线的斜率为． 切线方程为． ． 又知切线过点，把它代入上述方程， 得． 解得，或． 故所求切线方程为，或. 即，或． 2.3利用导数研究函数的单调性 1、函数的单调性 函数在某个区间 内可导 ①函数的单调性的充分条件 若，则为增函数； 若，则为减函数. ②函数的单调性的必要条件 若为增函数，则； 若为减函数，则. 例6已知函数 (1)求的单调增区间； (2)是否存在，使在(－2,3)上为减函数，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由． 思维点拨：函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论． 解 （1） 若，则即在上单调递增 若，令，则 因此当时，的单调增区间为 当时，的单调增区间为. （2）在上恒成立 在上恒成立 ，只需 当时，在上恒成立 即在上为减函数， 故存在实数，使在上为减函数. 2.4利用导数证明不等式 利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题．对证明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式构造形如的函数型并通过一阶或二阶、三阶求导达到证明目的的不等式。作辅助函数型：对含有两个变量的不等式，可构造出以其中一个变量为自变量的函数，再采用上述方法证明不等式. 例：:求证：不等式在上成立． 分析：通过作差，构造函数 在通过对和求导来判断. 证明：构造函数则： 知在上单调递增， 又因为，所以 即 成立 又构造函数则： 知在上单调递增 又因为，所以 即 综上所述，原命题成立. 三．总结 导数的相关知识一直是高考命题的重点与热点.将导数这一概念引入到高中数学教学中,不仅使高中数学的教学更显活力,同时也为函数的求解过程提供了更简单更灵活的解题工具.利用导数可以更便捷的解决高中数学中一些用传统方法难以解决的问题,并且能够提高解题的准确率与速度,在实际问题的解决中也能发挥作用.本文通过阐述导数在求最值与极值，切线方程，不等式等的求解方式,对其在高中数学解题过程中的应用进行探讨.事实上，导数的应用范围还远远不止这么多.例如在向量中的应用，在解析几何与立体几何中都具有重要的应用.导数为函数问题的解决提供了简捷有效的途径，而应用导数来解题，则需要在平时多加训练，才能快速熟练的应用. 参考文献 [1]李秋凤．导数在函数问题中的应用．中国科技信息，2006（3）．133–153 [2]马德炎. 常见的代数不等式的证明[J].高等数学研究,2009 [3]窦宝泉：《导数在数学中的应用》数学通讯2012.12 [4]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社，2001-7 [5]高群安.运用导数巧解题[J].中学数学,2005(3)