高中数学人教版必修《基本不等式》青教师参赛教学设计.docx

《高中数学人教版必修《基本不等式》青教师参赛教学设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教版必修《基本不等式》青教师参赛教学设计.docx（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案基本不等式教学设计一. 教学内容分析基本不等式是高中教材人教A 版必修五第三章第三节的内容，是不等式这一 章中继一元二次不等式、简洁线性规划之后，从几何背景 （赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一. 就本章的编写而言， 教材讲究从直观性上学习，留意每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都表达出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想. 本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习选修2-3 中

2、推理与证明和选修4-5 中不等式选讲时再次得到加强.基本不等式的学时支配是3 课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分 . 本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结比较、抽象概括，提炼出不等式a 2b 22aba,bR. 在此基础上，通过演绎替换、证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导同学熟识基本不等式. 其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面绽开，既有规律推理，又有直观的几何说明，使同学充分运用数形结合的思想方法，进一步培育其抽象概括才能

3、和推理论证才能. 这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容.因此，我认为本节课的教学重点为：应用数形结合的思想懂得基本不等式，并从不同角度探究基本不等式的证明过程.二教学目标设置课程标准对本节课的要求有以下两条：探究并明白基本不等式的证明过程。会用基本不等式解决简洁的最值问题. 依据课标要求和本节教学内容，并考虑同学的接受才能，我将本节课的教学目标确定为：（1）通过观看图形，抽象出基本不等式，培育同学的抽象概括才能和规律推理才能。（2）让同学经受基本不等式的证明过程，懂得基本不等式的几何背景，体会数形结合的数学思想 .（3）通过运用基本不等式解决简洁的最大（小）值问题，加深同学对基本不等式的懂

4、得，熟识数学的对称性与完整性.三同学学情分析同学在此之前已经具备了平面几何的基本学问，把握了不等式的基本性质和比较法证明不等式 . 同时，高二同学具备了良好的图形分析才能、抽象概况才能以及肯定层次上的交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案流沟通才能 . 这些都为学习本节内容奠定了基础.在学习本节课前尽管同学已经学习了函数的最值问

5、题以及不等式的性质和解法，但对于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景同学仍是有一些困难，一时很难接受。从重要不等式到基本不等式的简洁结构使得变量范畴是从全体实数变化为正实数，很不好懂得。 对于变量存在和或者积为定值也需认真观看，在整体的变化过程中取最值是整体与 局部的数学思想简洁忽视. 另外，教材中提出探究基本不等式的几何说明需要同学具备良好的规律推理才能，而且图形中线段间的关系也比较隐藏，不易被发觉. 因此，我以为本节课的教学难点为：从不同角度探究基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值.四教学策略分析本节课采纳探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在老师的引导下，以同

6、学的自主探究与合作沟通为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发觉与证明”为基本争论内容，为同学供应自由表达、质疑、探究、争论问题的机会，让同学在学问的形成、进展过程中绽开思维，逐步提高同学发觉问题、探究问题、解决问题的才能.五、教学过程设计1. 创设情境【课前预习】赵爽利用弦图证明勾股定理的过程.（请同学在学案上课前完成：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S大正方形4S直角三角形S小正方形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c241 abab 22a2b2 . ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

7、结【引言】 右图是在北京召开的第24 届国际数学家大会的会标，会标是依据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像个风车，代表了中国人民的友好好客 .【摸索 1】赵爽利用弦图最先完成了勾股定理的证明，你仍记得这个证明过程吗？（请同学表述推导过程，老师课件呈现. ）【过渡】在弦图中，由面积间的相等关系，得到了勾股定理这一经典等式. 然而，相对关系与不等关系是相对存在的. 在弦图中存在着怎样的不等关系了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -

8、- - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案【摸索 2】观看变化的弦图，你能在图中找出面积间的不等关系吗？a（老师利用几何画板转变弦图中两直角边的长度，呈现运动变化的弦图，请同学观看并归纳：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生 1： S4S，得 a 2b 22ab 。b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大正方形直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生 2：S小正方形0 ，得ab 20 . ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【设计意图 】介绍国际数学家大会

9、以及赵爽的相关背景，表达数学的文化价值，渗透爱国主义训练. 课前完成利用弦图证明勾股定理的过程，一方面呈现了赵爽证明的构图奇妙、精致，是数与形的完善统一，让同学对弦图的熟识清楚、完整。另一方面为提出弦图中面积间的不等关系做铺垫，体会相对关系与不等关系的辩证统一. 同时，通过运动变化将直观的面积关系转化为隐含的数值关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【归纳 】对于两直角边a、b ，有 a 2b 22ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【摸索 3】上式中何时等号成立？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 请同学说明：当ab 时 ,a 2b 22ab

10、 。当 ab ， a 2b 22 ab . 老师归纳 : 当且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结仅当 ab 时，等号成立.【探究 1】上式对正实数是成立的，那么对任意实数a、b ，上式都成立吗？请证明自己的结论 .（请同学自主探究完成证明，同学比较自然的想到用“比较法”证明. 老师利用投影仪呈现同学的完整证明过程. 强调 ab 和 ab 两种情形，说明“当且仅当”的含义. ）【归纳】 由图形中面积间的不等关系，我们发觉了两实数间的这一事实：对任意实数a、b ，有 a2b 22ab ，当且仅当ab 时，等号成立.【设计意图】摸索2 请同学争论等号成立的条件，明白“当且仅当”的含义，

11、由于此时同学仍没有学习简易规律的相关学问，无需从“充分必要条件”的角度加以说明. 探究 1给同学供应思维进展的空间，让同学从对学问的直观感知上升到理性证明，既表达了数学 学问发生进展的过程及其严谨性，又巩固了证明不等式的基本方法，为后续证明基本不等 式做铺垫 . 在此过程中给同学供应了一种争论思路：由图形中的不等关系可以获得相应实数间的一些不等式，渗透数形结合思想.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精

12、心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab2. 基本不等式2aba0,b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【过渡】 实际上，在不同的图形中上述不等式有不同的表达，我们再看这样一个情境.【探究 2】如图， 取正方形对角线上任意一点，分别作正方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形两邻边的垂线， 切分出两个正方形和两个矩形，设切分出的两正方形边长分别为a、b ，问：切分出的两正方形面积和与两矩形面积和的大小关系？（请同学自主探究完成，并说明：a S1 S3S4b S2可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品名师归纳总结生1 ：SSa 2b 2 ， SS2ab， 由 不 等 式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1234a 2b 22ab得：S1S2S3S4 ，当且仅当ab 时，等号成立 .生 2：由正方形的对称性，将切分出的两矩形及较小的正方形分别向较大的正方形翻折 ， 并 没 有 将 较 大 的 正 方 形 完 全 覆 盖 ， 故 ：S1S2S3S4 ）【引申】 如设切分出的两正方形的面积分别为a、b ,依据上述a不等关系，又可以得到怎样的不等式了？ 请同学说明：如两正方形的面积分别为a、b ，就其边长分别为b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a、 b

14、 ，得： ab2aba0, b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 a=b 时，等号成立.【归纳】 由图形中面积间的不等关系，我们又可以得到不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab2aba0,b0，当且仅当a=b 时，等号成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【设计意图】 从同学比较熟识的图形背景中再一次熟识不等式22ab2ab ，既可以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据已知的不等式探究图形中面积间的不等关系，又可以运用“割补法”在图形中表达不可编辑资料 - - - 欢迎下

15、载精品名师归纳总结等 式 a 2b22ab . 进 而 提 出 引 申 问 题 ， 自 然 的 由 不 等 式 a 2b22 ab 过 渡 到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab2aba0,b0 ，为基本不等式的产生构造几何背景，并在图形中揭示不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b 22ab 与不等式 ab2aba0,b0 的内在联系 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【摸索4】回忆不等式ab2a

16、b a0, b0 （）的生成过程中，你发觉它与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式 a 2b22ab （）有怎样的联系了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（请同学说明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

17、总结生 1：a 2b2a 2b222ab2ab4ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abab24ab, a ab0, b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生 2：由于 a0, b0 ，在式中用a 代替 a ，b 代替 b 即得式 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生 3：在式中用a 代替a 2 ， b 代替b2 即得式 . ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【设计意图】激发同学的思维，使其

18、从多角度发觉不等式a2b22ab 与不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab2aba0, b0 的内在联系，熟识到它们是对同一个事实的两种不同描述，其可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结本质是一样的. 同时也能促进同学形成对学习进行反思的意识与习惯.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【说明】 通常我们把上式写作ababa 20,b0 ，称为基本不等式，本节课可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们就来争论基本不等式. （引入课题并板书）【摸索 5】你能否证明基本不等式？（请同学摸索完成.ab

19、12abab0生 1：（比较法）2 2abab2当且仅当 ab 时，等号成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生 2：（综合法）2ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab2ab当且仅当 ab 时，等号成立;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案要证abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

20、师归纳总结生 3：（分析法）只要证只要证ab2abab2ab02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结只要证ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上式明显成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab2ab ,当且仅当 a=b时，等号成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结请同学呈现不同的证明方法，并表达证明方程. 生 3 的做法是普遍错误，老师可引导同学纠错，进而加入关键词“要证, 只要证”即可, 对分析法不做过多说明. ）【设计意图】对于不等式的证明，同学已具备了“分析法”的基本思想，教材上以填空的形式证明白基本不等式，但“分析法”证明的

21、格式以及为什么要这样证明，是同学思维的盲点，一是同学不会发觉其中隐含的道理，二是同学照此仿照往往会出错. 因此此处的证明由同学独立完成，相互沟通，并呈现不同的证明方法，这样既能使不同认知基本的学生暴露出不同的问题，并加以解决，又能教会同学观赏同伴身上的闪光点，发扬合作精神.【过渡】 实际上， 在很多图形中都包蕴着基本不等式.Dab【 探 究3 】 如 图 ， 取 线 段 ABab ， 其 中ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ACa, BCb ，以 AB 为直径做圆O，过点 C 做垂直2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于 AB的弦 DE，连接 AD、BD.

22、图中你能找到长度为它们分别有什么几何意义了？Aab 与ab 的线段吗？2OCB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结. 移动点 C 在线段 AB上的位置（几何画板） ，你有什么结论了？ 请同学合作探究完成，并呈现说明： 生 1：直角三角形中，斜边大于直角边。生 2：在直角三角形中，斜边上的中线不小于斜边的高.生 3：在圆中，半径不小于半弦.【设计意图】通过对图形的探究多角度说明基本不等式的几何意义，由于同学对问题的分解才能不足，不知如何入手探究，并且表示ab 的线段及其几何意义同学不易发觉.为了帮忙同学，我将探究分解为两个小问题，从运动变化的角度帮忙同学观看、归纳. 一方可编辑资料

23、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案面，帮忙同学建立数学结合的基本思想。另一方面，培育同学从运动变化的角度摸索问题、解决问题的才能，多角度熟识基本不等式的几何说明.【过渡】 基本不等式的代数意义是什么了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结【说明】 我们通常把ab 叫做两个正数的算术平均数，ab 叫做两个正数的几何平2可编辑资料

24、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结均数 . 基本不等式也可以表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3. 应用举例【过渡】 怎样运用基本不等式解决生活中的不等问题了？【例】学校用篱笆围一个面积为36 平方米的矩形花圃，问：如何设计花圃的长和宽，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？（请同学尝试完成，并表述解题过程，老师板书. 强调能取得最小值的缘由及等号成立的条件. 老师适度归纳：依据基本不等式发觉，两个正数积为定值时，和存在最小值. ）【摸索 6】由数学的对称性，你认为利用基本不等式，我们仍可以解决怎样的问题？（请同学从数学对称性的角度反思，上例中能取得最小值的缘由，观看基本不等式的

25、结构，尝试归纳出：当正数x 、y 的和为定值，当且仅当x=y 时，积有最大值. ）【引申】 现在学校仓库有一段长为36 米的篱笆，要围成一个矩形花圃，问：如何设计花圃的长和宽，花圃的面积最大，最大面积是多少？【设计意图】此题是基本不等式在实际问题中的简洁应用，一方面，让同学知道可以利用基本不等式求解最大（小）值的问题。另一方面，强化同学对基本不等式的懂得，特殊是等号成立的条件，同时培育同学形成严谨的思维习惯，具备反思的意识，也为后续提出 “一正，二定，三相等”做铺垫.5. 课堂小结【摸索 7】（ 1）本节课我们学习的主要内容是什么.（ 2）在应用基本不等式时，需要留意哪几点？（3）在本节课的学

26、习中，运用了哪些数学思想方法？（请同学发言，并相互补充，老师点评即可 . 老师可适当总结本节课所应用的数学思想与方法 . ）【设计意图】通过对所学内容进行小结，从数与形两个方面提炼争论基本不等式的过程，使同学对本节内容有一个更全面的熟识.6. 作业布置：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案（1）课本 100 页习题 A 组第 1,2 题。（2）课后作业：请同学们课后在网上查找基本不等式的其它几何说明，整理并相互沟通.【设计意图】支配一组教材上的习题，使同学连续加深对基本不等式的懂得和应用.课后作业为拓展同学思维，进一步体会数形结合思想.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载