高等数学多元函数的积分.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4、二元函数的极值、最值10 极值定义P208可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 、yf x 0、y 0f x 0 、y0为极大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 、yf x 0、y 0f x 0 、y0为微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx 、 y 在x 0 、y 0有极限值f x x 0f y x 0、y 00、 y 00可编辑资料 - - -

2、 欢迎下载精品名师归纳总结驻点极值点，需判别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设f xxx 0 、y 0A 、 f xyx 0 、y 0B 、 f yyx 0 、y 0C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B 2ACf x、y00A 0极大值 0微小值 0非极值=0不定例1、 求 zx 3y 33xy 的极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： f x3x 23y ， f y3y 23x ，f xx6x ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xy3 ， f yy6y可编辑资料 - - -

3、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0令f y03x 23y03y23x0y4y0 y0y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得驻点0 , 0， 1 , 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 0 ,0 ， B 2AC0,023090可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f 0 , 0 非极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21 , 1 ， BAC 1,123360可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

4、师归纳总结 1 , 1 为极值点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A又1,160 f1 , 11为微小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、求 zx 2 y 5xy 在闭区域 D： x0 ， y0 ，可编辑资料 - - - 欢

5、迎下载精品名师归纳总结xy4 的最大，最小值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： f xxy 103x2y ， f yx 2 5x2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5xxy 103x2y02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令x 2 5x2y（在 D 内）05y4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 D 的内部函数只有一个驻点5, 5， f245, 52462564可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2223在边界 x0 ，

6、 f0 在 y0 ， f0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 xy4 ， zx4x5x4xx4x4xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dz8x dx3x 20 得： x8 ，即 x38 ， y34 为驻点3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z 8, 433256 比较 z27625， z640 ， z25627可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得

7、最大值 z62564，最小值 z0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外，仍有其他的附加条件，这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例3、 求原点到曲线x, y0 的最大距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此题即在条件x, y0 下求 zx 2y 2的最小值问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 -

8、- - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -20 条件极值、拉格朗日乘数法在实际问题中可依据题意来确定最值而不需判别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求在条件x, y0 下,zf x, y的极值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令 Ff x, yx, y 称 f x, y为目标函数 ,为拉格朗日常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

9、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Fx0Fy0 解得的F0x, y为可能的极值点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、求曲面 4z3x 22xy3y 2 到平面 xy4z1 的最短距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一、曲面上任一点（x， y， z）到平面的距离 dxy4z1 18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 F1xy 24z1 23x 22xy3y 24z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

10、 欢迎下载精品名师归纳总结Fxxy4z16x2y0Fyxy4z16y2x0Fz4 xF3x 2y 2xy4z1403y 24z0xy1得：4z116可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结驻点唯独2d min8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二、曲面在任一点的切平面法矢量n6x2y,6y2x, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面 x+y-4z=1 的法矢量 n11,1, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当n n1 时，即6x2y16y2x414可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

11、师归纳总结得： xy1 ,z1416可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 14点1, 1 , 1 41611 点处切平面平行已知平面2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,4416到平面距离最短，d min8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 2、在曲面 z2x 2

12、y 2 位于第一卦限部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四周体的体积最小。曲面位于第一卦限部分上任一点（x，y，z）处的平面方程为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xX2yYZ4z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3XYZ4z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即4z4z2x2y1，四周体体积 V4z24xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故令 FFx由Fy Fz3ln 4z2x02y00z201x 1y34zlnxlny x 2y 2z2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

13、师归纳总结Fx 2y 2xy2得：2z1驻点唯独可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ,22 ,12为所求点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3、在第一象限内， 过椭圆曲线3x 22xy3y21上任一点作椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的切线，求诸切线与

14、坐标轴所围成的三角形面积的最小值。解：在第一象限内曲线上任一点（x，y）处的切线方程为：Yy3xyXx x3y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Y x3yX 3xyy x3yx 3xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结切线与两坐标轴的截距分别为xx 3y y,3xyy 3xy x x3y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S1x2x3y yy3xy3xy xx3y112x3y13xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

15、载精品名师归纳总结如要使 S 最小，只要x3y3xy 最大可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故设 Fx3y3xy 3x 22xy3y 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Fx6x10y6 x2 y0由Fy10x6y2 x6 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F3x 22xy3y 210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得： xy122驻点唯独1 smin4例 4、P212 例 5.32 5.33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - -

16、- - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10 二重积分1、定义P225第六章多元函数的积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x, y dDnl imf,01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、性质P226其中d表示平面区域 D 的面积D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x, y df,D,D

17、，表 D 的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x, y0 ， x, yD ，就f x, y dD表示以 zf x, y为顶，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以 D 为底的曲顶柱体体积。4、二重积分在直角坐标下的运算法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x, y dDf x, yDdxdy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 zf x, y0用 xx 平面截立体得如图 所示的曲边梯形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其面积 s xy 2 x fxy 1 x

18、, y dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x, y dDbs x dxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结by 2 xfa y 1 xx , y dy dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b y 2 xdxfxay 1 x, y dy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dh 2 ydyfxch1 y, y dx可编辑资料 - - - 欢迎下载

19、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1、运算二重积分x 2D轴所围成。y 2 d其中 D 由曲线 yx 2 直线 xy1 及 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：第一画出积分区域D1x 2y=x21,1x=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x

20、 2y 2 dDdxx 200x 2y2 dy6x0y 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x 2 y01 y 3dx301x 4xdx0326105可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22例 2、将二重积分中 D 为：f x , y dD化为累次积分， 其yyx 22y4x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 抛物线 yx及 y4x所围成202x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx 2解：交点y4x 22,22,2可编辑资料 - -

21、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx, ydD242 dxx 2x 2fx, ydy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2dy0yfx,yydx44 ydy24 yfx,ydxyk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 圆 x 2y 2k 2 ， xkyk -yk ， y0 所围x-k0k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx,D0yddy0k 2 x 2k 2 y2 fx,kydxk xx2y 2k 2x-y=k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

22、结dxfx,k0ydydxfx,00ydy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) yx 2 ， y4x 2 ， y1 所围，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx,Dydy1dy20 yfx,ydx1 ydyy02fx,ydx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下

23、载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3、运算x 2 y 2 dxdy 0Dx1 ,0y 1y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11dxx002 y 2 dy1 x 2 dx01 y 2 dy0y011x,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结110x 3y 321x30309例 4、P228，例 6.1，6.2，6.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5、 fxx1ey dy ，就xx1fxdx01e12yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精

24、品名师归纳总结1解：fxdx011e y dydx0x11dxe y dy0xy111,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy1ydye dx00x yyx1yeydy00x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1ye - 1dy01 e12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6、22dxe0xy2 dy2 dyy e- y 2 dx00yy2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2y 2yedy0

25、22,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1 - e-4 yx20x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 7、交换积分次序可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1Idx013x 2fx,02yydy31 3 xdx210fx,ydyyyx21,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dyfx, ydx0

26、yy=3-x/2x03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8、P231例 6.5 例 6.6， 6.71，6.8，6.9，6.105、二重积分在极坐标下运算方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx,DydfrcosD, rsinrdrd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9、运算e x 2Dy 2 dD： x 2y 2a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解：e xDy 2 d2da e r 2 r dr00可编辑资料 - - - 欢迎

27、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12a20e a2 r 2edr 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10、x, ydDD：由 yx ， x0 ， x 2yb 2b2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2ya 2a20ab 所围。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：x, ydD2bsin2 d2asin4r 2 cossinr dr可编辑资料 - - - 欢迎下

28、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r4 2bsin24425可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos4sind42asin4ba sin4cosd3b4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结02bsin2asin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

29、归纳总结4b4a4 1 sin6627412b4a4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11 、x, ydDD 由 x 2y11, x 2y 21及 x0 轴所围。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结r1r2sin得交点2,16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x, ydD2sin2 d162r consinr d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 con6sind2sin1 r 441可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 4