小学数学几何五大模型教师版.doc

.\ 几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (20.94 KB) 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (47.14 KB) （2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (7.34 KB) 则有：S△ABC：S△ADE=（ABAC）：（ADAE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (4.51 KB) 如图连接BE，根据等积变化模型知，S△ADE：S△ABE=AD：AB、S△ABE：S△CBE=AE：CE，所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC，因此S△ADE：S△ABC=（S△ADE：S△ABE）（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）（AE：AC）。 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (47.14 KB) （3）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 2012-8-28 10:23 上传 下载附件 (9.8 KB) 例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (89.67 KB) 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： 2012-8-28 10:25 上传 下载附件 (8.93 KB) 例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度是DO长度的几倍。 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (44.88 KB) 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 （4）相似模型 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质： ①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比； ③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线！ 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (38.08 KB) 例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的长度是多少？ 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (69.69 KB) （5）燕尾模型 2012-8-28 10:09 上传 下载附件 (4.2 KB) 由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质： S△ABG：S△ACG=S△BGE：S△CGE=BE：CE S△BGA：S△BGC=S△GAF：S△GCF=AF：CF S△AGC：S△BGC=S△AGD：S△BGD=AD：BD 例、如图，E、D分别在AC、BC上，且AE：EC=2:3，BD：DC=1:2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。 二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型 例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？ 2012-8-29 10:18 上传 下载附件 (22.83 KB) 例2、如图，Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求阴影部分三角形PQM的面积。 2012-8-29 10:18 上传 下载附件 (20 KB) （2）鸟头（共角）定理模型 例1、如图所示，平行四边形ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四边形ABCD的面积为2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。 2012-8-29 10:18 上传 下载附件 (18.89 KB) 例2、如图所示，△ABC的面积为1，BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG，求△FGS的面积。 2012-8-29 10:18 上传 下载附件 (21.35 KB) （3）蝴蝶模型 例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？ 2012-8-29 10:18 上传 下载附件 (17.79 KB) 例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。 2012-8-29 10:18 上传 下载附件 (13.99 KB) 例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG的面积。 2012-8-29 10:18 上传 下载附件 (18.67 KB) （4）相似模型 例1、如图，正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=1/3FC,求阴影部分的面积。 2012-8-29 10:18 上传 下载附件 (13.26 KB) 例2、如图，长方形ABCD，E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G和H，OE垂直于AD，交AD于E点，交AF于O点，已知AH=5,HF=3,求AG的长。 2012-8-29 10:18 上传 下载附件 (13.49 KB) （5）燕尾模型 例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积。 2012-8-29 10:18 上传 下载附件 (18.08 KB) 例2、如图，在△ABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么△ABC的面积是阴影△GHI面积的几倍？ 2012-8-29 10:18 上传 下载附件 (17.61 KB) 例3、如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E、F是BC的三等分点，若△ABC的面积是1，求四边形CDMF的面积。