小学数学学习知识介绍材料.doc

.- 班级__________________ 姓名__________________ 注意：带*的内容不属于“必会”的知识。 【加减乘除各部分之间的关系】 1、加数 + 加数 = 和； 和 － 一个加数 = 另一个加数 2、被减数-减数=差； 被减数-差=减数； 差+减数=被减数 3、因数因数=积； 积 一个因数 = 另一个因数 4、被除数除数=商 ； 被除数商=除数； 商除数=被除数 【常用数量关系】 1、每份数份数=总数； 总数每份数=份数 总数份数=每份数 2、1倍数倍数=几倍数 几倍数1倍数=倍数 几倍数倍数=1倍数 3、单位“1”的量比较量的分率=比较量 比较量比较量的分率=单位“1”的量 比较量单位“1 ”的量=比较量的分率 4、总数总份数=平均数 5、购物问题： 单价数量=总价 总价单价=数量 总价数量=单价 6、工程问题： 工作效率工作时间=工作总量 工作总量工作效率=工作时间 工作总量工作时间=工作效率 7、行程问题： 速度时间=路程 路程速度=时间 路程时间=速度 8、相遇问题： 相遇路程=速度和相遇时间； 相遇时间=路程速度和； 速度和=路程相遇时间 9、利润与折扣问题： 原价折扣=现价 现价折扣=原价 现价原价=折扣 * 利润=售出价-成本 利润率=利润/成本100% 涨跌金额=本金涨跌百分比 10、纳税问题： 收入税率=应纳税额 11、储蓄问题： 利息=本金利率时间 * 利息税=利息税率 * 税后利息=利息-利息税=本金利率时间（1-利息税） * 12、浓度问题： 溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量 溶液的重量浓度=溶质的重量 溶质的重量/溶液的重量100%=浓度 溶质的重量浓度=溶液的重量 * 13、和差问题的公式： (和+差)2=大数 (和-差)2=小数 * 14、和倍问题的公式： 和(倍数＋1)= 小数 小数倍数=大数( 和-小数=大数 ) * 15、差倍问题的公式: 差(倍数－1)= 小数； 小数倍数=大数（ 小数+差=大数 ） 【小学数学图形计算公式】 1、正方形（C: 周长， S：面积， a: 边长） 周长=边长4； C=4a 面积=边长边长； S=aa=a2 2、长方形（C:周长， S：面积， a: 长， b：宽 ） 周长=（长+宽）2； C=2(a+b) 面积=长宽 ； S=ab 3、平行四边形（S：面积， a:底， h:高） 面积=底高； S=ah 4、三角形（S：面积， a: 底， h: 高） 面积=底高2 ； S=ah2=ah ( 三角形的底 a=2sh ； 三角形的高 h =2sa ) 5、梯形（S：面积， a:上底， b：下底， h:高） 面积=(上底+下底)高2； S=(a+b)h2=(a+b)h ( 梯形的高 h =2s(a+b) ； 梯形的(上底+下底) a+b=2sh ) 6、圆形（S：面积，C：周长，π：圆周率，d：直径，r：半径 ） 周长=直径π=半径2π；C=πd=2πr 面积=π半径半径； S= πr2 7、正方体（V：体积， a：棱长） 表面积=棱长棱长6； S=aa6=6a2 体积=棱长棱长棱长； V= aaa= a3 8、长方体（V：体积， S：面积， a:长， b：宽， h:高） 表面积=（长宽+长高+宽高）2； S=2(ab+ah+bh) 体积=长宽高； V=abh 9、圆柱体（V：体积， S：底面积， C：底面周长， h：高， r：底面半径 ） 侧面积=底面周长高 S侧=Ch=πdh=2πrh 表面积=侧面积+底面积2 S表= S侧+2 S底 体积=底面积高 V=Sh 10、圆锥体（V：体积， S：底面积， h：高， r：底面半径 ） 体积=底面积高3 V=Sh3=Sh ( 圆锥的底面积 S=3Vh ； 圆锥的高 h =3VS ) 【常用单位换算】 （一）长度单位换算 1千米=1000米； 1米=10分米； 1分米=10厘米； 1米=100厘米 ； 1厘米=10毫米 （二）面积单位换算： 1平方千米=100公顷； 1公顷=10000平方米； 1平方米=100平方分米； 1平方分米=100平方厘米； 1平方厘米=100平方毫米 （三）体积（容积）单位换算： 1立方米=1000立方分米； 1立方分米=1000立方厘米； 1立方分米=1升； 1立方厘米=1毫升； 1升=1000毫升 （四）质量单位换算： 1吨=1000千克； 1千克=1000克； （1千克=1公斤） （五）人民币单位换算： 1元=10角； 1角=10分； 1元=100分 （六）时间单位换算： 1世纪=100年； 1年=12月； 【大月（31天）有：1、3、5、7、8、10、12月】； 【小月（30天）有：4、6、9、11月】 【平年：2月有28天；全年有365天】； 【闰年：2月有29天；全年有366天】 1日=24小时； 1时=60分=3600秒； 1分=60秒； 【基 本 概 念】 第一章 数和数的运算 一、概念 （一）十进制计数法：每相邻两个计数单位之间的进率都是十，这样的计数法叫做十进制计数法。 整数部分 小数点 小数部分 亿级 万级 个级 数位 … 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位 十 分 位 百 分 位 千 分 位 … 计数单位 … 千亿 百亿 十亿 亿 千万 百位 十万 万 千 百 十 一 十 分 之 一 百 分 之 一 千 分 之 一 … 数轴上，从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序。 （二）整 数 1、自然数、负数和整数 （1）自然数 ：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，如0，1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 自然数个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。 （2）负数：像-16，-，-0.4，……这样的数叫做负数。 0既不是正数也不是负数。 所有的负数都在0的左边,所有的正数都在0的右边； 也就是负数都比0小,正数都比0大,负数都比正数小。 （3）整 数：像-3，-2，-1，0，1，2，3……这样的数统称为整数。整数的个数是无限的。 自然数 正整数（1、2、3、4、……） 整 数 零 (0既不是正数，也不是负数) 负整数（-1、-2、-3、-4……） 2、数的整除 ：整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 （1）因数和倍数：如果数ab=c（a,b,c都是不为0的整数），那么a和b就叫做c的因数，c就叫做a和b的倍数。 注意：倍数和因数数是相互依存的。 * 或者说，a能被b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。如：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。 ①一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。 ②一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 如：3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 （2）2、3、5……倍数的特征： ①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。例如：202、480、304，都能被2整除。。 ②个位上是0或5的数，都是5的倍数。例如：5、30、405都能被5整除。 ③一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。例如：12、108、204都能被3整除。 * ④一个数各位数上的和是9的倍数，这个数就是9的倍数。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 * ⑤一个数的末两位数是4（或25）的倍数，这个数就是4（或25）的倍数。 例如： 404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 * ⑥一个数的末三位数是8（或125）的倍数，这个数就是8（或125）的倍数。 例如：1168、5000、12344都能被8整除，1125、5000都能被125整除。 （3）偶数和奇数：自然数按是否是2的倍数的特征可分为奇数和偶数。 自然数中，能被2整除的数叫做偶数。（0也是偶数。） 不能被2整除的数叫做奇数。 （4）质数与合数：非0自然数按其因数的个数的不同，可分为质数、合数和1。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 1不是质数也不是合数。 * ①每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=35，3和5 叫做15的质因数。 * ②把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如：把28分解质因数 （5）最大公因数与最小公倍数： 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 例如：12的因数有（1、2、3、4、6、12）；18的因数有（1、2、3、6、9、18）。其中，（1、2、3、6）是12和1 8的公因数，（6）是它们的最大公因数。 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 如：2的倍数有（2、4、6 、8、10、12、14、16、18 …… ）；3的倍数有（3、6、9、12、15、18 …… ），其中（6、12、18……）是2、3的公倍数，（6）是它们的最小公倍数。。 ①如果两个数是倍数关系，那么 这两个数的最大公因数就是较小数；最小公倍数就是较大数。 如果两个数是互质数，那么 它们的最大公因数就是1；最小公倍数就是这两个数的乘积。 ②几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。 公因数=最大公因数的所有因数 公倍数=最小公倍数1、2、3…… ③公因数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时，这个合数与这个质数互质。 两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。 ④如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。 （三）小数 1 、小数的意义 （1）把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。 （2）一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…… （3）一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。 （4）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。 2、小数的分类 * （1）纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。 例如： 0.25 、 0.368 都是纯小数。 * （2）带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。 （3）有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。 （4）无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 …… 3.1415926 …… （5）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：π （6）无限循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 …… 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。 * （8）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 例如： 3.111 …… 0.5656 …… * （9）混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 例如： 3.1222 …… 0.03333 …… （10）写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。 例如： 3.777 … 简写作：3.； 0.5302302 … 简写作：0.50 。 （三）分数 1、分数的意义 （1）把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 （2）在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。 （3）把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。 2、分数的分类 分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。 分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。 假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫带分数。 3、约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。 分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 4、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。 0没有倒数，1的倒数是1。 大于1的数的倒数都小于1，小于1的数的倒数都大于1。 （四）百分数 ： 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用"%"来表示。 二 、方法 （一）数的读法和写法 1、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 2、小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。 3、分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。 分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。 4、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 （二）数的改写 一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 1、准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。 2、近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 3、四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。 （三）大小比较 1、比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。 2、比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大…… 3、比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。 （四）数的互化 1、小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。 2、分数化成小数：用分子除以分母。除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。 注意：一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。 4、小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。 5、百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。 6、分数化成百分数：通常先把分数化成小数，再把小数化成百分数。除不尽时，通常保留三位小数。 7、百分数化成分数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 （五）数的整除：整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 * 1、把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。 2、用短除法求几个数的最大公因数的方法：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商互质（或两两互质），然后把所有的除数连乘，所得的积就是这几个数的的最大公因数 。 3、用短除法求几个数的最小公倍数的方法：先用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。 （六）约分和通分 1、约分的方法：用分子和分母的公因数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。 2、通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 （七）求一个数的倒数的方法 分子分母调换位置，如果是小数要把小数化成分数，带分数化成假分数，再调换位置。 三、性质和规律 （一）商不变的性质 在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（零除外），商不变。余数也随着扩大或缩小相同的倍数。 （二）小数的性质 在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 （三）小数点位置的移动引起小数大小的变化 1、小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍…… 2、小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍…… 3、小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足。 （四）分数的基本性质 分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 （五）分数与除法的关系 1、被除数除数= 2、因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。 四、运算 （一）四则运算的意义 1、加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 2、减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 加法和减法互为逆运算。 3、乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 0和任何数相乘都得0； 1和任何数相乘都得任何数。 4、除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 乘法和除法互为逆运算。 注意： 0不能做除数。（因为0和任何数相乘都得0，若被除数为0，则商不确定；若被除数不为0，则商不存在。 ） * 乘方: 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。 例如 3 3 =3 2 ； 5 5 5 =5 3 ） （二）运算定律 1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a+b=b+a 。 2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，和不变。即 （a+b)+c=a+(b+c) 。 3、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即 ab=ba。 4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。，即 (ab)c=a(bc) 。 5、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加。即 (a+b)c=ac+bc 。 6、减法的性质：从一个数里连续减去几个数，等于从这个数里减去所有减数的和，差不变。即 a-b-c=a-(b+c) 。 （三）运算法则 1、整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。 2、整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，就从前一位退一作十，和本位上的数合并再减。 3、整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 4、整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。 5、小数乘法计算法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 6、小数除法计算法则： 除数是整数的：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 除数是小数的：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 7、同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。 8、异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 9、带分数加减法计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。 10、分数乘法计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 11、分数除法计算法则:除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数。 （五）运算顺序 没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算 先算二级运算（乘、除法），后算一级运算（加、减法）。 有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。 第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。 五、应用 （一）整数和小数的应用 1、简单应用题 （一步运算解答） (1)解题步骤： A、 审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。 B、选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。 C、检验：根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。 （2）简单应用题基本类型： A、加法应用题： a.求总数 b.求比一个数多几的数 （求大数） B、减法应用题： a.求剩余 b.求两个数相差多少 （求相差数） c.求比一个数少几的数 （求小数） C、乘法应用题： a求相同加数和（求几个几是多少） b求一个数的几倍是多少 （求多倍数） D、除法应用题： a.把一个数平均分成若干份，求一份是多少（ 求每份数） b.求一个数里包含几个另一个数的应用题 （求份数） c.求一个数是另一个数的的几倍的应用题 （求倍数） d.已知一个数的几倍是多少，求这个数 （求一倍数） 2 复合应用题 （两步或两步以上运算解答） 3、典型应用题 ： 具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。 （1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。 解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。 例：一辆车以每小时 100 千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。 分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式：总路程 总时间=平均速度。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100千米，所用的时间为；汽车从乙地到甲地速度为 60 千米 ，所用的时间是 ，汽车共行的时间为： += , 汽车的平均速度为：2 =75（千米） （2）归一问题： 数量关系式：单一量份数=总数量 （正归一） 总数量单一量=份数 （反归一） 例 ： 一个织布工人，在七月份织布 4774 米 ，照这样计算，织布6930米，需要多少天？ 分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。 6930（477 431）=45（天） （3）归总问题： 特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。 例： 修一条水渠，原计划每天修 800 米，6 天修完。实际 4 天修完，每天修了多少米？ 分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。 800 6 4=1200 （米） （4）行程问题： 同时同地相背而行：路程=速度和时间。 同时相向而行：相遇路程=速度和时间 同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=追击路程速度差。 同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：相差路程=速度差时间。 例： 甲在乙的后面 28 千米 ，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米 ，乙每小时行 9 千米 ，甲几小时追上乙？ 分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。已知甲在乙的后面 28 千米 （追击路程）， 28 千米 里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。列式： 2 8 （16-9）=4 （小时） （二）分数和百分数的应用 1、分数乘法应用题：已知一个数，求它的几分之几是多少。 特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。 解题关键：准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。 2、分数除法应用题： （1）求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）。 特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量（单位“1”）。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。 解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位1”，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。 例：甲是乙的几分之几（百分之几）:甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。 甲比乙多几分之几（百分之几）： （甲-乙）乙 甲比乙少几分之几（百分之几）： （乙-甲）乙 。 （2）已知一个数的几分之几（或百分之几 ) 是多少,求这个数。 特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。 解题关键：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量。 3、百分率：与“求一个数是另一个数的百分之几”做法相同，注意：除法写成份数样，100%乘后面。 发芽率=发芽种子数/试验种子数100% 小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量100% 产品的合格率=合格的产品数/产品总数100% 职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数100% 4、工程问题： 解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。 5、纳税：收入税率=应纳税额 缴纳的税款叫应纳税款。应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ……）的比率叫做税率。 6、折扣：原价折扣=现价 7、利息：利息=本金利率时间 存入银行的钱叫做本金。取款时银行多支付的钱叫做利息。利息与本金的比值叫做利率。 第二章 量与计量 一、名数 单名数：只带有一个计量单位的名数叫做单名数。如：8.7吨，17.3升等都是单名数。 复名数：带有两个或两个以上同类计量单位的名数叫做复名数。如1元5角； 9小时30分39秒等都是复名数。 二、转换 高级单位→低级单位的方法：高级单位的数进率 低级单位→高级单位的方法：低级单位的数进率 第三章 代数初步知识 一、用字母表示数 1、用字母表示数的写法 （1）数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。 （2）当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。 （3）在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。 （4）用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。 2、将数值代入式子求值 （1）书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。 如：当a=15时，3a+5=315+5=45+5=50 （2）同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。 二、简易方程 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 （1）方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。 （2）方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立 。 2、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 3、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 4、列方程解应用题 （1）列方程解答应用题的步骤： A、弄清题意，确定未知数并用x表示； B、找出题中的数量之间的相等关系； C、列方程，解方程； D、检查或验算，写出答案。 （2）小学范围内常用方程解的应用题： A、一般应用题； B、和倍、差倍问题； C、几何形体的周长、面积、体积计算； D、 分数、百分数应用题； E、比和比例应用题。 三、比和比例 （一）比的意义和性质 1、比的意义： 两个数相除又叫做两个数的比。 A、 “：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 B、同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 同分数比较，比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。 C、比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 D、比的后项不能是零。 2、比的性质: 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 3、求比值和化简比 A、 求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。 B、根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。 4、比例尺: 图上距离：实际距离=比例尺 A、要求会求比例尺:已知图上距离和比例尺求实际距离； 已知实际距离和比例尺求图上距离。 B、线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。 5、按比例分配:在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。 或：先求出一份数，再求几份数是多少 例如，长方形：周长2再按比例分 长方体：棱长总和4再按比例分 （二）比例的意义和性质 1、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四