平面几何五种模型.doc

.\ 平面几何五种模型 等积，鸟头，蝶形，相似，共边 1、等积模型 等底等高的2个三角形面积相等 2个三角形高相等，面积比=底之比 2个三角形底相等，面积比=高之比 夹在一组平行线之间的等积变形（方方模型） 等积模型是基本应用应是烂熟于心的 都是利用面积公式得到的推定比例 如下： 1等底等高的2个平行四边形面积相等 2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半 3 2个平行四边形高相等，面积比=底之比；2个平行四边形底相等，面积比=高之比 2、鸟头模型（共角定理） 鸟头定理：2个三角形中，有一个角相等或互补，这2个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比（夹角2边 ） 鸟头定理的使用要火眼金睛，经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转换对应才能得到结果。 如图，浅紫色的三角形ADE跟大三角形ABC是公用A角的，等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形ABC里面，注意，鸟头定理用的是乘积比！不是单独的线段比~ 记忆上用夹角2边 最好记，这里等于 鸟头定理的证明，写出来是因为很多题目的解题过程，都需要补这么一条辅助线来过度连接2个看起来无关的图形。证明的途径其实跟我们日常解题途径重合，所以写出来，仔细看。 经由媒介的∆ABE，联系了∆ADE和大三角形∆ABC BE辅助线很重要！鸟头定理是用等高（等于是用等积推算而得） 第二种的证明方式将对顶角压回来∆ABC内，对顶角性质是相等的，所以压回来的新∆跟∆ADE是全等∆，再做一条辅助线就能用共角的方式证明出对角的鸟头定理 互补角的鸟头定理证明 写了这几个证明，其实说的目的只有一个：连接小三角形和大三角形过度的那条辅助线，特别重要！ 3蝴蝶模型 任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）任蝴蝶 ①或者 ② 【上下比】 = = = 【上上比】 = == 由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则：如 面积交叉相乘的乘积相等 = = 梯形蝴蝶定理（梯蝴蝶） ①→上：下= ②→上：下：左：右= ③的对应份数为→a2+2ab+b2=a2+b2+ab+ab 有木有↑ 4 相似三角形 形状相同，大小不同的三角形，只要形状不变，无论大小怎么改变，他们都相似。 1 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且=它们的相似比 2 相似三角形的面积比=相似比的平方 3 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长=它所对应的底边长的一半 就是三角形任2边中点连出来的中位线就是第三边长的一半！ 出题几率：多产生于2条平行线造成的相似三角形 金字塔模型 沙漏模型 S∆ADE：S∆ABC=AF2：AG2 特别注意！相似三角形的面积比是等于相似比的平方 5 共边定理 燕尾模型、风筝模型、塞瓦定理 共边定理说明 如图一想知道∆PAB和∆QAB的面积比？我们就如图二做个高，因为同底（就是共用一个边）所以面积比=髙之比，再想办法偷懒，延长PQ、AB的线相交于M，那么刚学的相似三角形可以派上用场，因为∆PDM∆QEM如图三 M 所以= 共边定理：若直线AB和PQ相交于点M（4种情况）则有 = 图一 图二 图三 图四 最常应用到的其实是图一，无论在三角形或四边形上我们喜欢用共边2方的不同三角形面积比来比出线段比。（图形不重叠） 图二的比例图形有重叠，所以线段长度也是重叠比~ 图三就是“燕尾定理”图形不重叠，所以线段比不重叠。 图四是四边形，做比的三角形有重叠，而比值是四边形的顶：延长线段QM(切记，唯一对比线段不在图形内的哈) 共边定理的证明 = 1，M点是PQ和AB延长后的交点 2，取N，使得MN长度=AB 3、== ∆PNM和∆QNM是等高∆， 塞瓦定理（燕尾定理模型补充） 三边比例互乘为1 在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于E、F、D，则得出 = 1 特殊题：参考共边定理2图（重叠）可得 三角形一边上之点到三边线交点O的长度：同边线全长的比值，3边比值相加=1 + + =1