成人高考专升本高数试题.doc

,. (满分150分。考试时间l20分钟。) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的． （1）的展开式中的系数为 （A）4 （B）6 （C）10 （D）20 （2）在等差数列中，，则的值为 （A）5 （B）6 （C）8 （D）10 （3）若向量，，，则实数的值为 （A） （B） （C）2 （D）6 （4）函数的值域是 （A） （B） （C） （D） （5）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 （A）7 （B）15 （C）25 （D）35 （6）下列函数中，周期为，且在上为减函数的是 （A） （B） （C） （D） （7）设变量满足约束条件则的最大值为 （A）0 （B）2 （C）4 （D）6 （8）若直线与曲线（）有两个不同的公共点，则实数的取值范围为 （A） （B） （C） （D） （9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 （A）只有1个 （B）恰有3个 （C）恰有4个 （D）有无穷多个 （10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有 （A）30种 （B）36种 （C）42种 （D）48种 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）设，则=____________ . （12）已知，则函数的最小值为____________ . （13）已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，则 _ _ . （14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品 率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________ . （15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等. 设第段弧所对的圆心角为，则____________ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ） 已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和. （Ⅰ）求通项及； （Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前 项和. （17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ） 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求： （Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率. （18）（本小题满分13分），（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分） 设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc . (Ⅰ) 求sinA的值； (Ⅱ)求的值. (19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.) 已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数. (Ⅰ)求的表达式; (Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间上的最大值和最小值. （20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ） 如题（20）图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点. （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值. （21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ） 已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率. （Ⅰ）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （Ⅱ）如题（21）图，已知过点的直线： 与过点（其中）的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，求的值. 参考答案 1-10 BADCB ACDDC 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）解析： （12）解析：，当且仅当时， （13）解析：由抛物线的定义可知 故2 （14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率 （15）解析： 又，所以 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）解：（I）因为是首项为公差的等差数列， 所以 （II）由题意所以 （17） 解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任两个，有种等可能的结果。 （I）设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数” 则A包含的结果有种， 故所求概率为 （II）设B表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻” 则表示甲、乙两单位序号相邻，包含的结果有种。 从而 （18）解：（I）由余弦定理得 又 （II）原式 （19） 解：（Ⅰ）由题意得 因此是奇函数，所以有 从而 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，上是减函数；当从而在区间上是增函数。 由前面讨论知，而因此 ，最小值为 （20）（I）证明：如答（20）图1，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB，由PA=AB知 为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB 由题意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD内的射影， 由垂线定理得BC⊥PB，从而PC⊥平面PAB， 因AE⊥BP，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC。 （II）解：由（I）知BC⊥平面PAB，又AD//BC， 得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE。 在中，PA=AB=， 从而在， 所以为等边三角形， 取CE的中点F，连接DF，则 因BE=BC=1，且BC⊥BE，则为等腰直角三角形，连接BF，则BF⊥CE， 所以为所求的二面角的平面角。 连接BD，在中， 所以 故二面角B—EC—D的平面角的余弦值为 解法二： （I）如答（20）图2，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A—xyz. 设D（0，a，0），则 . 于是 则，所以AE⊥平面PBC. （II）解：设平面BEC的法向量为n，由（I）知，AE⊥平面BEC， 故可取 设平面DEC的法向量，则， 由 =1，得 从而 故 所以 可取 从而 所以二面角B—EC—D的平面角的余弦值为 （21）（本题12分） 解：（I）设C的标准方程是， 则由题意 因此 C的标准方程为 C的渐近线方程为 （II）解法一：如图（21）图，由题意点在直线和 上，因此有 故点M、N均在直线上，因此直线MN的方程为 设G、H分别是直线MN与渐近线及的交点， 由方程组 解得 故 因为点E在双曲线 所以 解法二：设，由方程组得 解得 故直线MN的方程为 注意到因此直线MN的方程为， 下同解法一.