2022年江苏数学高考真题 .pdf

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1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗

2、。参考公式：锥体的体积13VSh，其中 S是锥体的底面积，h是锥体的高一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合0,1,2,8A， 1,1,6,8B，那么ABI 2若复数 z满足i12iz，其中 i 是虚数单位，则z的实部为 3已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5 位裁判打出的分数的平均数为 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1

3、页，共 16 页 - - - - - - - - - 5函数2( )log1f xx的定义域为 6某兴趣小组有2 名男生和 3 名女生，现从中任选2 名学生去参加活动，则恰好选中2 名女生的概率为 7已知函数sin(2)()22yx的图象关于直线3x对称，则的值是 8在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点( ,0)F c到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是 9函数( )f x 满足(4)( )()f xf x xR ，且在区间 ( 2,2 上，cos,02,2( )1|, 20,2xxf xxx-则( (15)ff的值为 10如图所示，正方体的棱长

4、为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 11 若函数32( )21()f xxaxaR 在 (0,) 内有且只有一个零点，则( )f x 在 1,1上的最名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 大值与最小值的和为 12在平面直角坐标系xOy 中， A 为直线:2lyx 上在第一象限内的点，(5,0)B，以 AB 为直径的圆 C与直线 l 交于另一点D若0AB CDu uu ruuu r，则点 A 的横坐标为 13

5、在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，120ABC，ABC的平分线交AC于点 D，且1BD，则 4ac 的最小值为 14已知集合*|21,Ax xnnN，*|2 ,nBx xnN将ABU的所有元素从小到大依次排列构成一个数列na记nS 为数列 na的前 n 项和，则使得112nnSa成立的n 的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计 90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分14 分）在平行六面体1111ABCDAB C D 中，1111,AAAB ABB C 求证： （ 1）11ABABC平面；（2）111ABB A

6、A BC平面平面16 （本小题满分14 分）已知,为锐角，4tan3，5cos()5（1）求 cos2的值；（2）求 tan() 的值17 （本小题满分14 分）某农场有一块农田，如图所示， 它的边界由圆O 的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆O 的半径为40 米，点 P到 MN 的距离为50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求,A B均在线段 MN 上，,C D均在圆弧上设OC与 MN 所成的角为（1）用分别表示矩形ABCD 和CDP的面积，并确定sin的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙

7、种蔬菜，且甲、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 :3 求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大18 （本小题满分16 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1( 3,)2，焦点12(3,0),(3,0)FF，圆 O 的直径为12F F （1）求椭圆C及圆 O 的方程；（2）设直线l 与圆 O 相切于第一象限内的点P若直线 l 与椭圆 C有且只有一个公共点，求点P

8、的坐标；直线 l 与椭圆 C交于,A B两点若OAB的面积为2 67，求直线 l 的方程19 （本小题满分16 分）记( ),( )fxg x 分别为函数( ),( )f xg x 的导函数若存在0 xR ，满足00()()f xg x且00()()fxg x，则称0 x 为函数( )f x 与( )g x 的一个“ S点”（1）证明：函数( )f xx 与2( )22g xxx不存在“ S点”；（2）若函数2( )1f xax与( )lng xx 存在“ S点”，求实数a 的值；（3）已知函数2( )f xxa ，e( )xbg xx对任意0a，判断是否存在0b，使函数( )f x 与( )

9、g x 在区间 (0,) 内存在“ S点”，并说明理由20 （本小题满分16 分）设na是首项为1a ，公差为 d 的等差数列，nb是首项为1b ，公比为q 的等比数列（1）设110,1,2abq，若1|nnabb 对1,2,3,4n均成立，求d 的取值范围；（ 2 ） 若*110,(1, 2mabmqN， 证 明 ： 存 在 dR ， 使 得1|nnabb 对2,3,1nmL均成立，并求d 的取值范围（用1,b m q 表示）数学试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法每小题5 分，共计70 分11，82239048名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

10、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 52，+）6310768292210431131231391427二、解答题15本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力满分14 分证明：（1）在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中， ABA1B1因为 AB平面 A1B1C，A1B1平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C（2）在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形又因为 AA1=AB

11、，所以四边形ABB1A1为菱形，因此 AB1A1B又因为 AB1B1C1，BCB1C1，所以 AB1BC又因为 A1BBC=B，A1B平面 A1BC，BC平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC因为 AB1平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC16本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力满分14 分解： （1）因为，所以因为，所以，因此，（2）因为为锐角，所以又因为，所以，因此因为，所以，4tan3sintancos4sincos322sincos129cos2527cos22cos125,(0, )5cos()5225sin()1c

12、os ()5tan()24tan322tan24tan21tan7名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 因此，17本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力满分14 分解： （1）连结 PO并延长交 MN 于 H，则 PHMN，所以 OH=10过 O 作 OEBC于 E，则 OEMN，所以 COE = ，故 OE=40cos ，EC=40sin

13、，则矩形 ABCD的面积为 240cos （40sin +10）=800（4sin cos +cos ） ，CDP的面积为12240cos （4040sin ）=1600（cos sin cos ） 过 N 作 GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于G 和 K，则 GK=KN=10令 GOK =0，则 sin0=14，0（ 0，6） 当 0，2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以 sin的取值范围是 14，1） 答：矩形 ABCD的面积为 800（4sin cos +cos ）平方米， CDP的面积为1600（cos sin cos ） ，sin的取值范围是 14，1） （2）因为甲、乙

14、两种蔬菜的单位面积年产值之比为43，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k0） ，则年总产值为4k800 （4sin cos +cos ）+3k1600 （cos sin cos ）=8000k（sin cos +cos ） ， 0，2） 设 f（ ）= sin cos +cos ， 0，2） ，则222( )cossinsin(2sinsin1)(2sin1)(sin1)f令( )=0f，得 =6，当 （0，6）时，( )0f，所以 f（ ）为增函数；当 （6，2）时，( )0，设32( )3h xxxaxa因为(0)0(1)1320hahaa，且 h（x）的图象是不间

15、断的，所以存在0 x （ 0，1） ，使得0()0h x，令03002e (1)xxbx，则 b0函数2e( )( )xbf xxag xx，则2e (1)( )2( )xbxfxxg xx， 由 f（x）=g（x）且 f（x）=g（x） ，得22ee (1)2xxbxaxbxxx，即00320030202ee (1)2e (1)2e (1)xxxxxxaxxxxxxx（* ）此时，0 x 满足方程组（ * ） ，即0 x 是函数 f（x）与 g（x）在区间（ 0，1）内的一个“S点”因此，对任意 a0，存在 b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“ S点”20本小题主要考查

16、等差和等比数列的定义、通项公式、 性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16 分解： （1）由条件知：因为1|nnabb 对 n=1，2，3，4 均成立，即对 n=1，2，3，4 均成立，即 1 1，1d 3，3 2d 5，7 3d 9，得因此， d 的取值范围为（2）由条件知：若存在 d，使得1|nnabb （n=2，3，m+1）成立，即，即当时， d 满足因为，则，112(,)nnnand b1 12|()1|nnd7532d7 5, 3 2111(1),nnnabnd bb q1111|1|2,3,(1()nbndb qbnmL2,3,1nmL

17、1111211nnqqbdbnn(1, 2mq112nmqq名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 从而，对均成立因此，取d=0 时，1|nnabb 对均成立下面讨论数列的最大值和数列的最小值（） 当时，当时，有，从而因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为设，当 x0 时，所以单调递减，从而f（0）=1当时，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为因此， d 的取值范围为11201nqbn1101nqbn2,3,

18、1nmL2,3,1nmL121nqn11nqn2,3,1nmL2nm1112222111()()()nnnnnnnnqqnqqnqn qqqnnn nn n112mq2nmqq1() 20nnnn qqq21nm121nqn121nqn2mqm()()21xfxxln 21(0(n)l2 2)xfxx( )f x( )f x2nm111112111()()( )nnnqq nnfqnnnn21nm11nqn11nqnmqm11(2),mmb qbqmm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

19、- - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 数学 ( 附加题 ) 21 【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做， 则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲(本小题满分10 分)如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径， P为 AB 延长线上一点，过 P作圆 O 的切线，切点为C若2 3PC，求BC 的长B选修 42 ：矩阵与变换(本小题满分10 分)已知矩阵2312A（1）求A的逆矩阵1A；（2）若点 P在矩阵A对应的变换作用下得到点(3,1)P，求点

20、P的坐标C选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分10 分)在极坐标系中，直线l 的方程为sin()26，曲线 C的方程为4cos，求直线 l被曲线 C截得的弦长D选修 45：不等式选讲(本小题满分10 分)若 x，y，z 为实数，且x+2y+2z=6，求222xyz 的最小值【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10 分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， AB=AA1=2，点 P，Q 分别为A1B1，BC的中点（1）求异面直线BP与 AC1所成角的余弦值；（2）求直线 CC1

21、与平面 AQC1所成角的正弦值23(本小题满分10 分)设*nN ，对 1，2， ，n 的一个排列1 2ni iiL，如果当st 时，有stii ，则称 ( , )stii是排列1 2ni iiL的一个逆序，排列1 2ni iiL的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对1，2，3 的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 231 的逆序数为2记( )nfk 为

22、1， 2， ，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数（1）求34(2),(2)ff的值；（2）求(2)(5)nfn的表达式 (用 n 表示 )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 数学 ( 附加题 )参考答案21 【选做题】A选修 41：几何证明选讲本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分10 分证明： 连结 OC因为 PC与圆 O 相切，所以OC PC又因为 PC=2 3 ，OC =2，所以

23、 OP=22PCOC=4又因为 OB=2，从而 B 为 RtOCP斜边的中点，所以BC=2B选修 42 ：矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力满分10 分解： （1）因为2312A， det()221 310A，所以 A 可逆，从而1A2312（2）设 P(x，y)，则233121xy，所以13311xyA，因此，点 P的坐标为 (3，1) C选修 44：坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分10 分解： 因为曲线 C的极坐标方程为=4cos，所以曲线 C的圆心为（ 2，0） ，直径为 4 的圆因为直线 l 的极坐标方

24、程为sin()26，则直线 l 过 A（4，0） ，倾斜角为6，所以 A 为直线 l 与圆 C的一个交点设另一个交点为B，则 OAB=6连结 OB，因为 OA 为直径，从而OBA=2，所以4cos2 36AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 因此，直线l 被曲线 C截得的弦长为2 3 D选修 45：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力满分10 分证明： 由柯西不等式，得2222222(

25、)(122 )(22 )xyzxyz因为22 =6xyz，所以2224xyz，当且仅当122xyz时，不等式取等号，此时244333xyz，所以222xyz 的最小值为422 【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力满分10 分解：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设 AC，A1C1的中点分别为O，O1，则 OBOC，OO1OC，OO1OB，以1,OB OC OOu uu r uuu r uuuu r为基底，建立空间直角坐标系O-xyz因为 AB=AA1=2，所以1110, 1,0 ,3,0,0 ,0,1,0 ,0, 1,()()

26、()()(2 ,3,0,2 ,0,1,2)()ABCABC（1）因为 P 为 A1B1的中点，所以31(,2)22P，从而131(,2)(0,2,222),BPACuu u ruuuu r，故111| 14|3 10|cos,|20| |522BP ACBP ACBPACu uu r uuu u ru uu r uu uu ruu u ruu uu r名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 因此，异面直线 BP 与

27、AC1所成角的余弦值为3 1020（2）因为 Q 为 BC 的中点，所以3 1(,0)22Q，因此3 3(,0)22AQuu u r，11(0,2,2),(0,0,2)ACCCuuu u ruuu u r设 n=（x，y，z）为平面 AQC1的一个法向量，则10,0,AQACuuu ruuuu rnn即330,22220.xyyz不妨取(3, 1,1)n，设直线 CC1与平面 AQC1所成角为，则111|25sin|cos|,| |552CCCCCC|uu uu ru uuu ruuu u rnnn，所以直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为5523 【必做题】本小题主要考查计数原理、排

28、列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力满分10 分解： （1）记()abc 为排列 abc 的逆序数，对1，2，3 的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3，所以333(0)1(1)(2)2fff，对 1，2，3，4 的排列，利用已有的1，2，3 的排列，将数字4 添加进去， 4 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，4333(2)(2)(1)(0)5ffff（2）对一般的n（n4 ）的情形，逆序数为0 的排列只有一个：12n，所以(0)1nf逆序数为 1 的排列只能是将排列12n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(

29、1)1nfn为计算1(2)nf，当 1，2， ，n 的排列及其逆序数确定后，将n+1 添加进原排列，n+1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，1(2)(2)(1)(0)(2)nnnnnfffffn当 n5 时，112544(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)nnnnnffffffff242(1)(2)4(2)2nnnnf，因此， n5 时，(2)nf222nn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -