挑战中考数学压轴题(全部资料).doc

-* 第一部分 函数图象中点的存在性问题 1．1　因动点产生的相似三角形问题 1．2　因动点产生的等腰三角形问题 1．3　因动点产生的直角三角形问题 1．4　因动点产生的平行四边形问题1．5　　因动点产生的面积问题1．6因动点产生的相切问题1．7因动点产生的线段和差问题 第二部分 图形运动中的函数关系问题 2．1　　由比例线段产生的函数关系问题 第三部分 图形运动中的计算说理问题 3．1　　代数计算及通过代数计算进行说理问题 3．2　　几何证明及通过几何计算进行说理问题 第四部分 图形的平移、翻折与旋转 4．1　　图形的平移4．2　　图形的翻折4．3　　图形的旋转4．4三角形4．5　四边形4．6　圆4．7函数的图象及性质 1．1 因动点产生的相似三角形问题 课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程． 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题． 求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好． 如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？ 我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减． 图1 图1 图2 例 1 湖南省衡阳市中考第28题 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）； （2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值； （3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？ 动感体验 请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，△APC的面积最大．拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD和∠ADC都可以成为直角． 思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便． 2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP与△COP的和，再减去△AOC． 3．讨论△ACD与△OBC相似，先确定△ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD存在两种情况． 图文解析 （1）因为抛物线与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，设y＝a(x＋3)(x－1)． 代入点C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a＝m． 所以该二次函数的解析式为y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m． （2）如图3，连结OP．当m＝2时，C(0,－6)，y＝2x2＋4x－6，那么P(x, 2x2＋4x－6)． 由于S△AOP＝＝(2x2＋4x－6)＝－3x2－6x＋9， S△COP＝＝－3x，S△AOC＝9，所以S＝S△APC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC＝－3x2－9x＝． 所以当时，S取得最大值，最大值为． 图3 图4 图5 图6 （3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E．过点A作x轴的垂线交DE于F． 由y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，得D(－1,－4m)．在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶3m． 如果△ADC与△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m． ①如图4，当∠ACD＝90时，．所以．解得m＝1． 此时，．所以．所以△CDA∽△OBC． ②如图5，当∠ADC＝90时，．所以．解得． 此时，而．因此△DCA与△OBC不相似． 综上所述，当m＝1时，△CDA∽△OBC． 考点伸展 第（2）题还可以这样割补： 如图6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H． 由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因为P(x, 2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以 S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝(－2x2－6x)＝． 例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题 如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．21cnjy（1）求AD的长； （2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；图1 （3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值. 动感体验 请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已． 思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似． 2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式．图文解析 （1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH． 在Rt△BCH中，∠B＝60，BC＝4，所以BH＝2，CH＝．所以AD＝． （2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90时，AP＝10－2＝8． 所以＝＝，而＝．此时△APD与△PCB不相似． 图2 图3 图4 ②如图4，当∠BCP＝90时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2． 所以＝＝．所以∠APD＝60．此时△APD∽△CBP． 综上所述，当x＝2时，△APD∽△CBP．（3）如图5，设△ADP的外接圆的圆心为G，那么点G是斜边DP的中点．设△PCB的外接圆的圆心为O，那么点O在BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点E，与AB交于点F．设AP＝2m．作OM⊥BP于M，那么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60，所以BF＝4．在Rt△OFM中，FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30，所以OM＝． 所以OB2＝BM2＋OM2＝．在Rt△ADP中，DP2＝AD2＋AP2＝12＋4m2．所以GP2＝3＋m2．于是S＝S1＋S2＝π(GP2＋OB2)＝＝．所以当时，S取得最小值，最小值为． 图5 图6 考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题． 问题1，为什么设AP＝2m呢？这是因为线段AB＝AP＋PM＋BM＝AP＋2BM＝10． 这样BM＝5－m，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S的最小值． 问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？ 如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m． 此时OB2＝BM2＋OM2＝．这并不影响S关于m的解析式． 例 3 2015年湖南省湘西市中考第26题 如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式； （2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形； （3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标； （4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 图1动感体验 请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，△APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ与△BOP有一次机会相似．思路点拨 1．在△APQ中，∠A＝45，夹∠A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ．2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PE＝QF列方程就好了．3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．图文解析（1）由y＝－x＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)． 将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3． （2）在△APQ中，∠PAQ＝45，AP＝3－t，AQ＝t．分两种情况讨论直角三角形APQ： ①当∠PQA＝90时，AP＝AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如图2）． ②当∠QPA＝90时，AQ＝AP．解方程t＝(3－t)，得t＝1.5（如图3）． 图2 图3图4 图5 （3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形． 所以EP＝FQ．所以yE－yP＝yF－yQ．因为xP＝t，xQ＝3－t，所以yE＝3－t，yQ＝t，yF＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．因为yE－yP＝yF－yQ，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F的坐标为(2, 3)． （4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1, 4)． 由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB＝3． 由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM＝． 所以∠MBQ＝∠BOP＝90．因此△MBQ与△BOP相似存在两种可能： ①当时，．解得（如图5）． ②当时，．整理，得t2－3t＋3＝0．此方程无实根． 考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，将点Q向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．1．2 因动点产生的等腰三角形问题 课前导学 我们先回顾两个画图问题： 1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C． 已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外． 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类． 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？ 如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来． 图1 图2 图3 图1 例 9 2014年长沙市中考第26题 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2)． （1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标． 动感体验 请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是相交的，等腰三角形AMN存在五种情况． 思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值． 2．等腰三角形AMN存在五种情况，点P的纵坐标有三个值，根据对称性，MA＝MN和NA＝NM时，点P的纵坐标是相等的． 图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0． 将代入y＝ax2，得．解得（舍去了负值）． （2）抛物线的解析式为，设点P的坐标为． 已知A(0, 2)，所以＞． 而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA＞圆心P到x轴的距离． 所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交． （3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN． 在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4． 所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．等腰△AMN存在三种情况：如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0． 图2 图3图4 图5 ②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝2． 此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为． 如图5，当NA＝NM时，根据对称性，点P的纵坐标为也为． ③如图6，当NA＝NM＝4时，在Rt△AON中，OA＝2，AN＝4，所以ON＝2． 此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为． 如图7，当MN＝MA＝4时，根据对称性，点P的纵坐标也为． 图6 图7 考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．这是因为： 设点P的坐标为．已知B(0, 1)，所以． 而圆心P到直线y＝－1的距离也为，所以半径PB＝圆心P到直线y＝－1的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切． 例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为(10, 0)和，以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标； （3）点M是⊙A上一动点（不同于O、B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想mn的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒1个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．图1 动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M在圆上运动，可以体验到，△EAF保持直角三角形的形状，AM是斜边上的高．拖动点Q在BC上运动，可以体验到，△BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形． 思路点拨1．从直线BC的解析式可以得到∠OBC的三角比，为讨论等腰三角形BPQ作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜边上的高． 4．第（4）题的△PBQ中，∠B是确定的，夹∠B的两条边可以用含t的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形． 图文解析（1）直线BC的解析式为．（2）因为抛物线与x轴交于O、B(10, 0)两点，设y＝ax(x－10)．代入点C，得．解得． 所以．抛物线的顶点为．（3）如图2，因为EF切⊙A于M，所以AM⊥EF．由AE＝AE，AO＝AM，可得Rt△AOE≌Rt△AME． 所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF＝90． 所以∠5＝∠1．由tan∠5＝tan∠1，得． 所以MEMF＝MA2，即mn＝25． 图2 （4）在△BPQ中，cos∠B＝，BP＝10－t，BQ＝t．分三种情况讨论等腰三角形BPQ： ①如图3，当BP＝BQ时，10－t＝t．解得t＝5． ②如图4，当PB＝PQ时，．解方程，得． ① 如图5，当QB＝QP时，．解方程，得． 图3 图4 图5 图6 考点伸展在第（3）题条件下，以EF为直径的⊙G与x轴相切于点A． 如图6，这是因为AG既是直角三角形EAF斜边上的中线，也是直角梯形EOBF的中位线，因此圆心G到x轴的距离等于圆的半径，所以⊙G与x轴相切于点A． 例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标； （2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小； （3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．动感体验 请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨 1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标． 2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比． 3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程． 图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．． （2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OAOB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OAOB．所以． 所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余． 所以∠ACB＝90．（3）在△ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)． 讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2．①当AB＝AC时，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得（如图2）． ②当CA＝CB时，解方程4＋4n2＝5n2，得n＝－2（如图3），或n＝2（A、B重合，舍去）． 当BA＝BC时，解方程(n－2)2＝5n2，得（如图4），或（如图5）． 图1 图2 图3图4 图5 考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理． 由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1． 由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,－1)，得AB2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2， BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1．所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90． 第（3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于CA＝CB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直接写出B(－2, 0)，n＝－2． 例 12 2014年湖南省娄底市中考第27题 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？ 图1 图2 图3 图4 动感体验 请打开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，△APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况．还可以体验到，当QC＝2HC时，四边形PQP′C是菱形． 思路点拨1．在△APQ中，∠A是确定的，夹∠A的两条边可以用含t的式子表示． 2．四边形PQP′C的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，． 图文解析（1）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，所以AB＝5，sinA＝，cosA＝． 作QD⊥AB于D，那么QD＝AQ sinA＝t．所以S＝S△APQ＝＝＝＝．当时，S取得最大值，最大值为． （2）设PP′与AC交于点H，那么PP′⊥QC，AH＝APcosA＝． 如果四边形PQP′C为菱形，那么PQ＝PC．所以QC＝2HC． 解方程，得．（3）等腰三角形APQ存在三种情况： ①如图5，当AP＝AQ时，5－t＝t．解得．②如图6，当PA＝PQ时，．解方程，得．如图7，当QA＝QP时，．解方程得． 图5 图6 图7图8 考点伸展在本题情境下，如果点Q是△PP′C的重心，求t的值．如图8，如果点Q是△PP′C的重心，那么QC＝HC．解方程，得． 例 13 2015年湖南省怀化市中考第22题 如图1，已知Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P、Q两点间距离的最大值； （2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式； （3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形．若存在，求出此时的t值，若不存在，请说明理由．（，结果保留一位小数） 动感体验请打开几何画板文件名“15怀化22”，拖动点P在AC上运动，可以体验到，PQ与BD保持平行，等腰三角形PQC存在三种情况． 思路点拨1．过点B作QP的平行线交AC于D，那么BD的长就是PQ的最大值． 2．线段PQ扫过的面积S要分两种情况讨论，点Q分别在AB、BC上． 3．等腰三角形PQC分三种情况讨论，先罗列三边长． 图文解析 （1）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10． 如图2，当点Q在AB上时，作BD//PQ交AC于点D，那么． 所以AD＝5．所以CD＝3． 如图3，当点Q在BC上时，． 又因为，所以．因此PQ//BD．所以PQ的最大值就是BD． 在Rt△BCD中，BC＝6，CD＝3，所以BD＝．所以PQ的最大值是． 图1图2 图3 图4 （2）①如图2，当点Q在AB上时，0＜t≤5，S△ABD＝15． 由△AQP∽△ABD，得．所以S＝S△AQP＝＝． ②如图3，当点Q在BC上时，5＜t≤8，S△ABC＝24． 因为S△CQP＝＝＝， 所以S＝S△ABC－S△CQP＝24－(t－8)2＝－t2＋16t－40． （3）如图3，当点Q在BC上时，CQ＝2CP，∠C＝90，所以△PQC不可能成为等腰三角形．当点Q在AB上时，我们先用t表示△PQC的三边长：易知CP＝8－t． 如图2，由QP//BD，得，即．所以． 如图4，作QH⊥AC于H．在Rt△AQH中，QH＝AQ sin∠A＝，AH＝． 在Rt△CQH中，由勾股定理，得CQ＝＝． 分三种情况讨论等腰三角形PQC：（1）①当PC＝PQ时，解方程，得≈3.4（如图5所示）．②当QC＝QP时，．整理，得．所以(11t－40)(t－8)＝0．解得≈3.6（如图6所示），或t＝8（舍去）．③当CP＝CQ时，．整理，得． 解得＝3.2（如图7所示），或t＝0（舍去）． 综上所述，当t的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC是等腰三角形． 图5 图6 图7图8 图9 考点伸展第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法： ①如图8，当点Q在AB上时，PQ＝＝＝． 当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为．②如图9，当点Q在BC上时，PQ＝＝＝．当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为．综上所述，PQ的最大值为． 1．3 因动点产生的直角三角形问题 课前导学我们先看三个问题：1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标． 图1 图2 图3图4 如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标． 我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C． 如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．设OC＝m，那么． 这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点． 例 19 2015年湖南省益阳市中考第21题 如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比． 图1 图2图3 图4 动感体验请打开几何画板文件名“15益阳21”，拖动点P在抛物线E1上运动，可以体验到，点P始终是线段OP′的中点．还可以体验到，直角三角形QBB′有两个． 思路点拨1．判断点P是线段OP′的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P、P′的坐标．2．分别求线段AA′∶BB′，点P到AA′的距离∶点P′到BB′的距离，就可以比较△PAA′与△P′BB′的面积之比． 图文解析（1）当x＝1时，y＝x2＝1，所以A(1, 1)，m＝1． 设抛物线E2的表达式为y＝ax2，代入点B(2,2)，可得a＝．所以y＝x2． （2）点Q在第一象限内的抛物线E1上，直角三角形QBB′存在两种情况： ①如图3，过点B作BB′的垂线交抛物线E1于Q，那么Q(2, 4)． ②如图4，以BB′为直径的圆D与抛物线E1交于点Q，那么QD＝＝2． 设Q(x, x2)，因为D(0, 2)，根据QD2＝4列方程x2＋(x2－2)2＝4．解得x＝．此时Q． （3）如图5，因为点P、P′分别在抛物线E1、E2上，设P(b, b2)，P′(c, )． 因为O、P、P′三点在同一条直线上，所以，即． 所以c＝2b．所以P′(2b, 2b2)．如图6，由A(1, 1)、B(2,2)，可得AA′＝2，BB′＝4． 由A(1, 1)、P(b, b2)，可得点P到直线AA′的距离PM ′＝b2－1． 由B(2,2)、P′(2b, 2b2)，可得点P′到直线BB′的距离P′N′＝2b2－2． 所以△PAA′与△P′BB′的面积比＝2(b2－1)∶4(2b2－2)＝1∶4． 考点延伸第（2）中当∠BQB′＝90时，求点Q(x, x2)的坐标有三种常用的方法： 方法二，由勾股定理，得BQ2＋B′Q2＝B′B2．所以(x－2)2＋(x2－2)2＋(x＋2)2＋(x2－2)2＝42． 方法三，作QH⊥B′B于H，那么QH2＝B′HBH．所以(x2－2)2＝(x＋2) (2－x)． 图5 图6图1 图2 例 20 2015年湖南省湘潭市中考第26题 如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C，连结BC．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从点B向点C运动，P、Q两点同时出发，连结PQ，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒．（1）求二次函数的解析式； （2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值； （3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由． 动感体验请打开几何画板文件名“15湘潭26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，△BPQ有两次机会可以成为直角三角形．还可以体验到，点N有一次机会可以落在抛物线上． 思路点拨1．分两种情况讨论等腰直角三角形BPQ． 2．如果PQ的中点恰为MN的中点，那么MQ＝NP，以MQ、NP为直角边可以构造全等的直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程．． 图文解析（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，所以 y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3．（2）由A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0,－3)，可得AB＝4，∠ABC＝45．在△BPQ中，∠B＝45，BP＝4－t，BQ＝t．直角三角形BPQ存在两种情况： ①当∠BPQ＝90时，BQ＝BP．解方程t＝(4－t)，得t＝2（如图3）． ②当∠BQP＝90时，BP＝BQ．解方程4－t＝2t，得t＝（如图4）． 图3 图4 图5 （3）如图5，设PQ的中点为G，当点G恰为MN的中点时，MQ＝NP． 作QE⊥y轴于E，作NF⊥x轴于F，作QH⊥x轴于H，那么△MQE≌△NPF． 由已知条件，可得P(t－1, 0)，Q(3－t,－t)．由QE＝PF，可得xQ＝xN－xP，即3－t＝xN－(t－1)．解得xN＝2．将x＝2代入y＝(x＋1)(x－3)，得y＝－3．所以N(2,－3)． 由QH//NF，得，即．整理，得t2－9t＋12＝0．解得．因为t＜2，所以取． 考点伸展第（3）题也可以应用中点坐标公式，得． 所以xN＝2xG＝2．1．4 因动点产生的平行四边形问题 课前导学我们先思考三个问题：1．已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？3．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？ 图1 图2 图3图4 如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D． 如图2，已知A(0, 3)，B(－2, 0)，C(3, 1)，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D(5, 4)．