立体几何解题方法技巧.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -专题六立体几何解题方法技巧一、内容提要：立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面，证明位置关系、求距离和求角。详细内容见下表：提主 要 内 容重 点 内 容要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结位置两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直关线与平面斜交、 直线与平面垂直、 两个平面斜交、两个平面相互垂直立系体几距两条异面直线的距离、点到平面的距离、直线到何离平面的距离、两个平面的距离两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直线与平面垂直、两个平面相互垂直两条异面直线的距离、点到平面的距离

2、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、度二面角两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、主要解题方法：（一）位置关系1、两条异面直线相互垂直证明方法： 1 证明两条异面直线所成角为90o。 2 证明两条异面直线的方向量相互垂直2、直线和平面相互平行证明方法： 1 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行。2 证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行。3 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。3、直线和平面垂直证明方法：

3、 1 证明直线和平面内两条相交直线都垂直，2 证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直。3 证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。4、平面和平面相互垂直证明方法： 1 证明这两个平面所成二面角的平面角为90o。 2 证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面。3 证明两个平面的法向量相互垂直。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -

4、（二）求距离求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。1、两条异面直线的距离求法： 1 假如知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度，线段长度的求法也可以用向量来帮忙解决，求线段AB的长度，可以利用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2AB AMMNNB 2来 帮 助 解 决 ， 但 是 前 提 条 件 是 我 们 要 知 道可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AM , MN , NB的模和每两个向量所成的

5、角。2 利用公式d| ABn |（其中 A、B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| n |分别为两条异面直线上的一点，n 为这两条异面直线的法向量）2、点到平面的距离求法： 1 “一找二证三求”，三步都必需要清晰的写出来。2 等体积法。 3 向量法，利用公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| ABn |式 d| n |（其中 A 为已知点， B 为这个平面内的任意一点，n 这个平面的法向量）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（三）求角1、两条异面直线所成的角求法： 1 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去

6、求得。2 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是留意到异可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面直线所成角得范畴是留意转化成相应的锐角。2、直线和平面所成的角0, ，向量所成的角范畴是2 0, ，假如求出的是钝角，要可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求法： 1 “一找二证三求”，三步都必需要清晰的写出来。2 向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角 ，那么所要求的角为或223、平面与平面所成的角求法： 1 “一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角 是 我 们 要 求 的 二 面 角 的 平 面 角 ， 最 后 就 通 过 解

7、三 角 形 来 求 。 2 通 过 射 影 面 积 来 求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosS射影S原（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cos ，留意到我们要

8、求的角为 或 ）。 3 向量法，先求两个平面的法向量所成的角为 ，那么这两个平面所成的二面角的平面角为 或 。我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，留意到向量学问的应用，假如可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，假如建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很便利的时候，就用传统的方法了！三、留意的问题：1、我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很便利的时候， 传统的解法我们也要能够运用自如。2、我们假如是通过解三角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中肯定要显现这样一句话，“ 是我们所要

9、求的角”、“线段AB 的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。3、用向量来求两条异面直线所成角时，如求出 cos x，就这两条异面直线所成的角为 a rccos|x|4、在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要或，如求出的角为锐角，22就用，如求出的钝角，就用。225、求平面与平面所成角的时，如用第2 、 3 种方法，先要去判定这个二面角的平面角是钝角仍是锐 角，然后再依据我们所作出的判定去取舍。【专题训练】可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、已知三棱锥PABC中 PB底面 ABC，B

10、CA90 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PB=BC=CAa=， E是 PC的中点，点F 在 PA上，且 3PF=FA.（ 1）求证：平面PACPBC。（ 2）求平面BEF与底面 ABC所成角（用一个反三角函数值表示）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2、如图，四棱锥P ABCD的底面是正方形 ,PA底面ABCD，PA=A

11、D=2，点 M、N分别在棱PD、 PC上，且 PC平面 AMN.（ 1）求证： AMPD。（ 2）求二面角P AM N的大小。（ 3）求直线CD与平面 AMN所成角的大小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、如图，平面ABCD平面ABEF， ABCD是正方形， ABEF是矩形，且AFEF 的中点，（ 1）求证平面AGC平面 BGC。（ 2）求 GB与平面 AGC所成角的正弦值.（ 3）求二面角B AC G的大小 .1 ADa, G 是2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4、如图，在正方体ABCDA1 B1 C1D1

12、 中， E 是棱A1 D1 的中 点， H 为平面 EDB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结内一点，HC 1 2m ,2m ,mm0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）证明HC1平面 EDB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）求BC1 与平面 EDB 所成的角。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）如正方体的棱长为a ，求三棱锥AEDB 的体积。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7

13、 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtBCM 中, HO5 a ，在 Rt101EHO 中,.EHa 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanEOHEH5HO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即平面 BEF与底面 ABC所成二面角的大小为arctan5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如利用面积射影法，指出HDB 是 EF

14、B 在底面 ABC上的射影，并运算出其面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S射影1 a 2167 分运算出S EFB6 a 216可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosS射影1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S EFB6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

15、纳总结即平面 BEF与底面 ABC所成二面角的大小为2、（ 1）证明： ABCD是正方形， CDAD，PA底面ABCD， PACD.CD平面PADAM平面 PAD， CDAM.PC平面AMN， PCAM.AM平面PCD.AMPD.（ 2）解： AM平面PCD（已证） .AMPM，AMNM. PMN为二 面角 P-AM-N 的平面角 .PN平面AMN， PNNM.arccos66可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在直角 PCD中， CD=2，PD=22 ， PC=23 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PA=AD，AMPD，M 为 PD的中点，1PM=2PD=2可编

16、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 RtPMNRtPCD，得 MNCD PM .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosPMN MNCD23 .PMPC2 33PCPMNarccos 3 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即二面角 P AM N 的大小为arccos3 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、（ 1）证明：正方形ABCDCBAB面 ABCD面 ABEF且 交于 AB，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CB面 A

17、BEFAG， GB面 ABEF，CBAG，CBBG可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -又 AD=2a， AF= a ， ABEF是矩形， G是 EF的中点，222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AG=BG=2a ， AB=2a， AB=AG+BG， AGBG CGBG=BAG平面CBG而 AG面可编辑资料 - - - 欢迎下载精

18、品名师归纳总结AGC，故平面 AGC平面BGC（ 2）解：如图，由（）知面AGC面 BGC，且交于 GC，在平面 BGC内作 BHGC，垂足为 H，就 BH平面 AGC， BGH是 GB与平面 AGC所成的角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtCBG中 BHBCBGBCBG23 a又 BG=2a ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CGBC 2BG 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 sinBGHBH6BG3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）由（）知，BH面 AGC作 BOAC，垂足为O，连结 HO，就 HOAC，BOH 为二面角B ACG的平面角在 RtABC 中, BO2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtBOH中，sinBOHBH6BO3BOHarcsin63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即二面角B AC G的大小为arcsin63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载