数学与应用数学毕业汇报资料多元函数的极值及其实际应用.doc

-! 1绪论 在一般的《数学分析》中，仅讨论了一元函数及二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元及更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进行诸如建筑、饲养、产品制造及其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题.工程技术、自然科学及日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题. 2多元函数的概念 2.1 二元函数的极值的定义[1] 原点是极大值 在高等数学中, 常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数在点的某个领域内有定义, 对该邻域内异于的点,如果都适合不等式 ,则称函数在点取极大值; 如果都适合不等式,则称函数在点取极小值.使函数取得极大(小)值的点称为极大(小)值点.例如：（图1-1） 图1-1 2.2 多元函数的极值 二元函数的极值是一个局部概念, 这一概念很容易推广至多元函数.若多元函数于点 的邻域内有定义, 并且当时, (或) ,则说函数在点有极大值(或极小值) ,点称为函数的极值点,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并给出了极值取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,并未进行详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法则. 2.3 多元函数的极值的几个判定定理[1] 不少微积分的教材中,给出了关于二元函数取得极值的必要条件,即有下面的定理. 定理1 设函数在点在点具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为0,即将此定理推广至一般的多元函数,即有定理2. 定理2　 设函数在点的邻域内有定义,在点具有偏导数,可微分的函数仅在稳定点即在偏导数是0的点 能达到极值,所以函数的极值点应当满足方程组 () . 证明:在点 取得极值,则固定 , 在点取得极值, ,同理. 另外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3. 定理3　设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又令,令, , ,则在处是否取得极值的条件如下: 1) 时具有极值,且当时有极大值,当时有极小值; 2) 时没有极值; 3) 时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论. 现将此定理推广至一般多元函数, 即有下面的定理4. 定理4　设, 在点的某邻域内有直至阶的连续偏导数,又设是稳定点, ,记, ,即: ,再记矩阵 , 则: (1)若矩阵的各阶顺序主子式全大于零,就有在点取得极小值. (2)若矩阵的各阶顺序主子式 全大于零,则在点取得极大值.若矩阵有偶数阶主子式小于零,在点没有极值. 证明:多元函数 , ,由已知 , ，其中 ,将看作是元二次型,则由文献中二次型判定定理可知实二次型是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零,故当A的各阶顺序主子式 全大于零时, 是正定的,当时, ,则在点取得极小值,而由是负定的充要条件就是是正定的,于是当的各阶顺序主子式全大于零, 在点取得极大值,若矩阵有偶数阶顺序主子式小于零, 既非半正定也非半负定,取值可正可负,在点没有极值,定理得证.显然,定理3是定理4的特殊情况. 2.4 定理的应用[11] 2.4.1 多元函数的最大值与最小值 例1：在 坐标面上找出一点，使它到三点、、距离的平方和为最小. 解：设为所求之点，为到、、 三点距离的平方和，即，，所以 对求偏导数，有， 即，解方程组得驻点，由问题的实际意义，到三点距离平方和最小的点一定存在，可微，又只有一个驻点，因此即为所求之点. 2.4.2 研究下列多变量函数的极值 例1, 求多元函数的极值情况. 解: 由 得稳定点 ,二阶偏导数，, 的各阶顺序主子式全大于,故在点取得极小值. 例2, 求多元函数的极值情况. 解:由 得稳定点及 , , 在处, ,的各阶顺序主子式, , 全大于零, 则在点 取得极小值,在点处,的各阶顺序主子式不全大于零, 此时,当而当均大于时,,因此符号不定,故无极值, 或计算偶数阶顺序主子式小于因而无极值. 2.5 隐函数的极值概念和应用 　 关于显函数的极值问题已有许多讨论. 本文利用显函数极值问题的一些结果给出了隐函数极值存在的条件,并举出了应用实例. 2.5.1 引理及定理 引理[1] 若函数在的邻域内存在二阶导数,且,,则 (1) 当时,是函数的极小值点; (2) 当时,是函数的极大值点. 　　引理[2] [2]　若n 元函数 在驻点 的某个邻域内具有二阶连续偏导数,在驻点 处作矩阵 则 a) 当为正定矩阵时, 元函数在处取得极小值; b) 当为负定矩阵时, 元函数在处取得极大值; c) 当是不定矩阵时, 元函数在处不取得极值. 　　定理1 　设函数 在 的邻域内具有二阶连续偏导数,且, , ,则当时,由方程 确定的隐函数在处取得极大值;当时,由方程 确定的隐函数在处取得极小值. 　　证　由 ,得 ,又 , 所以 又因为 ,所以. 由引理1知, 当时,即当时,在点处取得极小值; 当时,即当时,在点处取得极大值. 定理2 　设函数 在点 的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数, 且,, . 由方程所确定的元函数,则当 a) 当为正定矩阵时, 在处取得极小值; b) 当为负定矩阵时, 在处取得极大值; c) 当为不定矩阵时, 在处不取得极值. 其中 　　证　由,得. 又 ,所以 在中对 求偏导数得 因为, . 所以 所以. 由n 元显函数极值存在的条件即引理2 知,　　 a) 当为正定矩阵时, 在处取得极小值; b) 当为负定矩阵时, 在处取得极大值; c) 当为不定矩阵时, 在处取得极值. 其中 2.5.2 多变量函数的极值举例 　　例1 　求由方程 所确定的隐函数的极值. 　　解　令, 由 得驻点 ,而 , ,所以. 而 为负定矩阵, 为正定矩阵,由定理2知函数 在 处取得极大值;在处取得极小值.对某些条件极值的问题亦可转化为隐函数的极值问题来解决. 　　例2 　求 在条件 下的极值. 　解:　将 代入 的表达式, 得. 令 . 解得: . 得驻点 . 而 .所以 ,,且. 即 是正定矩阵.所以在点处取得极小值3. 又由 得,所以在条件下,与 对应的点为.所以原函数在条件下,在点 处取得极小值,且.同理可知函数 在点 处均取得极小值且极小值为3. 3多元函数极值实际应用 3.1 最大值和最小值问题 如果在有界闭区域上连续,则在上必定能取得最大值和最小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在的内部,也可能在D的边界上. 我们假定, 函数在上连续、在内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 将函数在内的所有驻点处的函数值及在的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数的最大值(最小值)一定在的内部取得,而函数在内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数在上的最大值(最小值). 3.2 多元函数极值的实际应用的思路[8] 3.2.1 实际问题的提出 在学习导数应用时, 我们经常遇到一道经典的导数应用题目是“做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器, 问应当如何设计, 才能使用料最省, 这时圆柱的直径和高之比为多少?” 我们知道易拉罐的主体部分是正圆柱体, 因此把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.经过计算可得出圆柱的直径和高之比为1: 1时, 用料最省.但是从我们的实际感受和具体测量可知, 这只是一种近似的结果, 那实际的可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的易拉罐的包装究竟设计成什么样子? 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 它们的形状为什么是这样的?通过测量得到（表格转下一页）: 说 明 尺 寸 上底厚 下底厚 侧面厚 上盖半径 正圆柱体部分半径 正圆柱部分的高 圆台高 整个易拉罐高 易拉罐的实际容积 可乐的净含量 说明尺寸上底厚下底厚侧面厚上盖半径正圆柱体部分半径正圆柱部分的高圆台高整个易拉罐高易拉罐的实际容积可乐的净含量，根据以上数据我们对部分数据近似取值为: 小数点后两位. 3.2.2 分析和假设 3.2.2.1 假设除易拉罐的顶盖外(顶盖的硬度比其他的材料要硬)罐的厚度相同,记作. 3.2.2.2 假设硬度体现在同样材料的厚度上, 记顶盖的厚度为 (测量得知,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍). 注: 以上假设是模型讨论过程中的全局性的假设, 在以后的分布讨论中, 我们可能引入新的局部性假设. 3.2.3 模型建立及求解 3.2.3.1 明确变量和参数 设饮料罐的半径为(直径),罐的高为,罐内体积为,为除顶盖外的材料的厚度.其中,是自变量, 所用材料的体积是因变量,而和是固定参数,是待定参数.和分别为：　　　　　　　　　　　 ,注意,饮料罐侧面的体积应为因为 ,所以可以忽略. 3.2.3.2 建立模型 记 　 　其中S是目标函数,是约束条件, V是已知的(即罐内体积一定) ,即要在体积一定的条件下求表面积最小的r, h和a使得r, h和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题. 3.2.3.3 模型的求解 从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题 从解出 代入S,使原问题化为:求使最小,即求r使最小. 令其导数为零得　 解得驻点为 因此测量数据为 ,即,即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍.为验证这个r确实使S 达到极小.计算， .,因此,这个r确实使S达到局部极小,因为驻点只有一个,因此也是全局极小. 应用算术几何平均值不等式(当时有明显的几何意义, 即周长相等的矩形中正方形的面积最大,三棱长相等的长方体中正方体的体积最大). , ,当且仅时等号成立. 令 ,于是有当且仅当时等号成立,即,结果相同. Lagrange乘数法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题) 求函数在条件下的极值，设二元函数和在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且,不同时为零，求函数在约束条件下的极值，按以下方法进行： a) 构造辅助函数其中称为拉格朗日乘数. b) 求的偏导数，并建立方程组 c) 解该方程组，得及，则是可能极值点的坐标. 这种求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法. 引入参数 , 令　　 从第2, 3式解得 ，,代入第1式得和前面的结果相同. 3.2.4 验证和进一步分析 由数据计算体积为 ,即装不下那么多饮料,为什么? 实际上,饮料罐的形状是上图左边平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.通过测量重量或容积来验证,可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克.未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料,而是留有10立方厘米的空间余量.而饮料罐胖的部分的直径和高的比为非常接近黄金分割比0.618. 3.2.5 一种细化模型 (考虑实际所用材料)此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为, 这保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)牢固、耐压.实际上,顶盖的半径为厘米,而正圆柱的高为厘米.因此.问题化为:当固定时,求使最小.由于立方厘米,即所以, , 高是直径的倍! 3.3 多元函数极值的实际应用 例1[9] [冻果汁的定价] 一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子的进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分.店主估计，如果当地牌子的每听卖美分，外地牌子的每听卖美分，则每天可卖出听当地牌子的果汁,听外地牌子的果汁.问:店主每天以什么价格卖两种牌子的冻果汁可取得最大收益？ 解：既然总收益为当地牌子的果汁收益与外地牌子的果汁收益之和，所以每天总收益为二元函数 于是求每天的最大总收益，就是求二元函数的最大值.求二元函数的偏导数，得 则有驻点. 所以当美分，美分时，小店可取得最大收益. 例2[3] 要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为，设计的总造价为元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽容积最大？ 解：设水槽的长、宽、高分别为，则容积为， 由题设知 即 解出，得 …………………………….① 将①式代入中，得二元函数 ……………………………………..② 求对的偏导数：，.令，得方程组 解之， 得 再代入 ① 式中得 .由问题的实际意义得知，函数 在 时确有最大值，又因为 可微，且只有一个驻点，所以取长为，宽为，高为 时，水槽的容积最大. 例3[14] 某公司通过电台和报纸做某商品的销售广告，据统计销售收入(万元)与电台广告费(万元)和报纸广告费(万元)的函数关系式 求： （1）在不限广告费时的最优广告策略； （2）在仅用万元做广告费时的最优广告策略. 解：（1）最优广告策略，即用于电台、报纸的广告费为多少时，可使商品的利润最大，故目标函数为利润函数；另据题意，知这是一个二元函数无条件极值问题.记电台和报纸的广告费之和为，则，于是 令，解得 所以在不限广告费的最优广告策略是用于电台和报纸的广告费分别为万元和万元. 据题意这是一个条件极值问题，约束条件为，一般的从这一约束条件中解出，带入利润函数 于是将条件极值问题转化为一元函数的普通极值问题. 由于，这表明关于变量是单调增加的，从而在时取最大值.因此用万元做广告费的条件下，相应的最优广告策略是将其全部用与报纸广告费用，而不做电台广告. 或构造辅助函数 ，解得有同样的结果. 结 语 函数的极值判定条件的深入分析是微积分课程教学中的一项基础性理论工作.近年来,有不少文章对二元函数极值的判定进行了讨论.从教科书中的满足的二阶连续可导的函数的驻点是极值点的基本判定定理出发,建立了一系列不同的或更细致的判别方法.利用一阶偏导数的连续性及去心邻域内点的方向导数的同号性等方法给出了光滑性不好的点的极值判定定理.另一方面,对于光滑性较好的驻点在的临界情形下的极值判定也有许多结论.给出了非零最低阶偏导数是奇数阶时驻点非极值点的结果,并建立了一、二、三阶偏导数全为零时利用四阶导数判断极值的一种方法;建立了临界情形下,二阶偏导不全为零时非极值点的判定条件,并利用关于二元四次齐次多项式的正定性的充要条件,直接给出了四阶导数判断极值的简明方法. 这不仅需要比较多元函数极值理论与一、二元函数极值理论的相同点，而更重要的是要突出二者的不同点，如此才能正确掌握多元函数极值的理论，对极值问题有一个全面的了解，从而更好的服务于人的生活和生产. 参考文献 [1] 陈传璋. 数学分析 [M] .编高等教育出版社，1990. [2] 张禾瑞、郝丙新. 高等代数〔M〕. 高等教育出版社，1991. [3] 数学分析习题集题解BI吉米多维奇. 山东科学杜术出版，1983. [4] 韩伯棠. 管理运筹学〔M〕. 北京:高等教育出版社，2003. [5] 魏国华、傅家良、周仲良. 实用运筹学〔M〕. 北京:清华大学出版社，2000. [6] 胡运权、 郭耀煌. 运筹学教程〔M〕. 清华大学出版社, 2002. [7] 邓成梁. 运筹学的原理和方法(第二版)〔M〕. 华中科技大学出版社, 2002. [8] 余兴无、李旭东. 确定性存储基本模型的几个推广〔J〕. 甘肃科学学报, 2002 [9] 同济大学函授数学教研室高等数学第二版[下] 上海同济大学出版社. [10] 仉志余. 大学数学应用教程[M ]. 北京: 北京大学出版社, 2005. [11] 叶其孝. 最优化———导数的应用教学单元[J]. 工程数学学报, 2005, (8). [12] James Stewart著. 白峰衫主译. 微积分[M]. 北京:高等教育出版社, 1998. [13] 黄忠霖、黄京. Matlab符号运算及其应用[M]. 北京: 国防工业出版社, 2004. [14] 裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M] . 北京: 高等教育出版社, 1993. [15] 王荷芬等. 高等数学汇解 [M] . 上海:同济大学出版社, 1990. [16] 汪荷仙. 高等数学解题方法指导 [M] . 成都:成都科技大学出版社, 1995. [17] G.B. Folland.Real Analysis(Second Editor),1999. 致 谢 首先感谢我的导师老师，我的这篇学位论文是在我的导师老师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．杨老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们等人，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，老师和同学给予我很多指导和帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们! 最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！