数学期望及其应用.doc

-/ 本科生毕业论文本科生毕业论文 题题 目目: 数学期望的计算方法与实际应用数学期望的计算方法与实际应用 专业代码专业代码: 070101 -/ 原创性声明 本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含 为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明 确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期 指 导 教 师 签 名: 日期 -/ 目 录 1.1.引引 言言 .................................................................................................1 2.2. 数学期望的定义及其性质数学期望的定义及其性质................................................................2 2.1 数学期望的定义..............................................................................................2 2.2 数学期望的基本性质......................................................................................2 2.3 数学期望的计算方法......................................................................................3 3 3 数学期望在实际生活中的应用数学期望在实际生活中的应用........................................................7 3.1 在医学疾病普查中的应用............................................................................7 3.2 数学期望在体育比赛中应用........................................................................8 3.3 数学期望在经济问题中的应用..................................................................10 3.3.1 免费抽奖问题 .................................................................................10 3.3.2 保险公司获利问题 .........................................................................11 3.3.3 决定生产批量问题 .........................................................................11 3.3.4 机器故障问题 .................................................................................12 3.3.5 最佳进货量问题 .............................................................................13 3.3.6 求职决策问题 .................................................................................14 4 4 结论结论 .................................................................................................15 参考文献参考文献..............................................................................................16 致谢致谢.....................................................................................................17 -/ 摘摘 要要 数学期望简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，它代表了 随机变量总体取值的平均水平。数学期望的涉及面非常之大，广泛应用于实际生 活中的各个领域。在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望 来解决。其意义是运用对实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到 认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。 本文从数学期望的内涵出发，介绍了数学期望的定义、性质，介绍了数学期 望的几种计算方法并举以实例，通过数学期望在医学疾病普查、体育比赛和经济 问题中的应用的探讨。特别是在经济问题方面，本文又详细分为免费抽奖问题、 保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题、最佳进货量问题和求职 决策问题，试图初步说明数学期望在实际生活中的重要作用，几个例子将数学期 望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性， 体现了数学期望在生活中的应用。 关键词：关键词：概率论与数理统计；数学期望；性质；计算方法；应用 -/ Abstract Mathematical expectation or expectations, also known as average, is very important digital features in the theory of probability, and it represents the overall average value random variables. Mathematical expectation is very big, widely applied in all fields in actual life. In real life, there are a lot of problems can be directly or indirectly solved by using the mathematical expectation. Its meaning is to use mathematical model to carry on the analysis of practice of abstracting method, so as to achieve the purpose of understanding the objective world rule, in order to provide accurate theoretical basis such as decision analysis. Based on the connotation of mathematical expectation, this paper introduces the definition and properties of mathematical expectation,and introduces several calculation methods of mathematical expectation and with examples, through the mathematical expectation in the medical disease census, sports, and discussed the application of economic problems. Especially in terms of economy, this paper is divided into free sweepstakes problem, insurance company profits, decided to production batch problems, machine failure problem, best carried out and cover decision problem, and attempts to preliminarily illustrate the important role of mathematical expectation in the actual life,and a few examples combine mathematical expectation and actual problem, with specific example is given to illustrate the feasibility of solving practical problems with mathematical expectation method,and embodies the application of mathematical expectation in life. Keywords：：Probability and mathematical statistics; Mathematical expectation; Properties; Calculation method; application -/ 数学期望的计算方法与实际应用数学期望的计算方法与实际应用 1.引 言 知识来源于人类的实践活动，又反过来运用到改造世界的实践活动中去，其 价值也就在于此.面对当今信息时代的要求，我们应当思维活跃，富于创新，既 要学习数学知识，更应该重视对所学知识的应用. 在现实生活中，我们常常需要研究各种各样的随机变量.对于一个随机变量， 如果掌握了它的概率分布，当然就可以对它进行全面的分析，但是在实际问题中 要求出一个随机变量的概率分布往往不是一件容易事.有时甚至是不可能，而有 些实际问题我们也不一定非要掌握一个随机变量的概率分布，而只要知道它的某 些数字特征就够了，因此并不需要求出它的分布函数.这些特征就是随机变量的 数字特征，是随机变量的分布所决定的常数，刻画了随机变量某一方面的性质。 例如比较不同班级的某次统考的成绩，通常就是比较各班的平均分；考察某种大 批量生产的元件的寿命往往只需知道元件的平均寿命；评定某地区粮食产量的水 平时，经常考虑平均亩产量；对一射手进行技术评定时，经常考察射击命中环数 的平均值；检查一批棉花的质量时，关心的是棉花纤维的平均长度等.这个重要 的数字特征就是数学期望，它是现实生活中“平均值”概念的推广，在现实生活 中有重要的作用. 盛骤等人在文献[1]中给我们系统地介绍了数学期望的定义、基本性质等， 文献[2——5]中介绍了用特征函数、逐项微分、特殊积分等求解数学期望的方法， 解法各具特色，张艳娥等在文献[6]中讨论了数学期望理论在疾病普查中的应用， 杨先伟在文献[7]中对数学期望在体育比赛中的应用作了研究，文献[8——12]通 过几个例子研究了数学期望在某些经济问题中的应用，内容包括免费抽奖问题、 保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题等. 本文介绍了数学期望的定义、性质及其计算方法与技巧，并从数学期望的内 涵出发，通过几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期 望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的广泛应用. -/ 2. 数学期望的定义及其性质 2.1 数学期望的定义 掷一枚质地均匀的骰子次，观察每次出现点数.它是一个随机变量，N 如果用、、、、、表示出现 1、2、3、4、5、6 点的次数，那 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 N 么每次投掷骰子出现点数的平均值为 N N N N N N N N N N N N NNNNNN X 654321 654321 654321 654321    表示事件投掷骰子出现 点的频率，由于频率具有波动性，因此该平均值也具 N Ni i 有波动性，并不能代表每次投掷骰子出现点数的平均值，当很大时，应稳N N Ni 定于，故该平均值也应该稳定于 6 1  2 7 654321 6 1 6 1 6 6 1 5 6 1 4 6 1 3 6 1 2 6 1 1 那么，这使得平均值是真正的每次投掷骰子出现点数的平均值，他是随机变量 的可能取值与所对应的概率乘积的总和，这是一个常数，可以用来描述随 i x i p 机变量的数学特征，称之为的数学期望，记作.E 定义 1 若离散型随机变量可能取值为，其分布列为, 3 , 2 , 1iai i p ，则当 (),所以我们可以得出结论，五场三胜制 EXEY 对中国队更有利. 3.3 数学期望在经济问题中的应用 3.3.1 免费抽奖问题 袋中装有大小相同的球 20 个，10 个 10 分，10 个 5 分，从中摸出 10 个球， 摸出的 10 个球分数之和即为中奖分数，获奖如下： 一等奖：100 分，家电一件，价值 2500 元 二等奖：50 分，家电一件，价值 1000 元 三等奖：95 分，洗发精 8 瓶，价值 176 元 四等奖：55 分，洗发精 2 瓶，价值 88 元 五等奖：60 分，洗发精 2 瓶，价值 44 元 六等奖：65 分，牙膏一盒，价值 8 元 七等奖：70 分，洗衣粉一袋，价值 5 元 八等奖：85 分，香皂一块，价值 3 元 九等奖：90 分，毛巾一条，价值 2 元 十等奖：75 分与 80 分为优惠奖，仅收成本 22 元，你将得到洗发精一瓶. 在解答该问题时，表面上看整个活动对顾客有利，一等奖到 9 等奖是白得的， 只有十等奖收费，但也仅收回成本.事实上，我们用概率只是来分析一下：摸出 10 个球的分值只有 11 种情况，用表示摸奖者获得的奖励金额数，一等奖即得 X 分 100 分，对应事件（=2500） ，该事件的概率服从超几何分布， X -/ ，取值分别为 10 20 10 10 10 10 2500 C CC XP X 2500、1000、176、88、44、8、5、3、2、-22，其概率可以类似求出如下表：用 的平均值就可以看出获利者，求出数学期望即可. X X250010001768844 （PkX  ） 0.0000050.0000050.0005410.0005410.01096 X8532-22 （=PXk ） 0.0779410.2386930.0779410.010960.582411 ，表明商家在平均一次的抽奖中，获得 10.098 元钱.而 098.10 10 1  k iiD xXE 平均每个抽奖者将花 10.098 元钱来享受这种免费抽奖，却没有机会获得大奖. 3.3.2 保险公司获利问题 一年中一个家庭万元被盗的概率是 0.01，保险公司开办一年期万元以上家 庭财产保险，参加者需要缴纳保险费 100 元，若在一年内，万元以上财产被盗， 保险公司赔偿元（ 0a 解得 100，所以 （100，10000）时保险公司才能期望获利.aaa 3.3.3 决定生产批量问题 决定生产批量问题是风险型经济决策问题.这种经济决策问题是物流企业进 -/ 行生产决策经常遇到的.选择何种方案，多少产量直接关系到企业成本的控制， 收益的高低，这些问题都是关系到企业管理和运营的重大问题，同时也困扰很多 管理者.简易可行的解决方法就是利用期望收益最大的原则进行方案选择：即进 行备选方案的收益(或损失)比较，选择收益(或损失)最大(最小)的方案. 例 某工厂决定今后 5 年内生产某电子产品的生产批量，以便及早做好生产 前的各项准备工作，根据以往销售统计资料及市场调查和预测知：未来市场出现 销路好、销路一般、销路差三种状态的概率分别为 0.3、0.5 和 0.2，若按大、 中、小三种不同生产批量投产，今后 5 年不同销售状态下的益损值如下所示： 销路好销路一般销路差 0.30.50.2 大批量益损 1  2014-2 中批量益损 2  121712 小批量益损 3  81010 试做出分析，以确定最佳生产批量. 解 比较期望益损法是常用的决策方法之一，下面算出每一方案的期望益损：   6 . 1222 . 0145 . 0203 . 0 1 E  5 .14122 . 0175 . 0123 . 0 2 E  4 . 9102 . 0105 . 083 . 0 3 E 比和均大，所以认为选择中批量生产方案为优.  2 E  1 E  3 E 3.3.4 机器故障问题 一部机器一天内发生故障的概率是 0.2，机器发生故障则全天停工，如果一 周 5 个工作日均无故障，工厂可获利润 10 万元，发生一次故障可获利 5 万元， 发生三次或三次以上的故障，则要亏损 2 万元，求这个工厂每周的期望利润. 解 以表示一周内机器发生故障的天数，则是=5 时的二项分布  n 状 态 概 率益 损 方 案 -/ （5，0.2） ，（=0，1，2，3，4，5） ，以表示工厂一 b  kkk CkP   5 5 8 , 02 . 0 k  周内所获得利润，则               3,2 2,0 1,5 0,10     g 的概率分布为：  1050-2 P0.3280.4100.2050.057  216. 5057 . 0 2205 . 0 0410 . 0 5238 . 0 10E 故工厂一周的期望利润是 5.216 万元. 3.3.5 最佳进货量问题 设某一超市经销的某种商品，每周的需求量在 10 至 30 范围内等可能取值， X 该商品的进货量也在 10 至 30 范围内等可能取值（每周只在周前进一次货）超市 每销售一单位商品可获利 500 元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品 亏损 100 元；若供不应求，可从外单位调拨，此时一单位商品可获利 300 元.试 测算进货量多少时，超市可获得最佳利润？并求出最大利润的期望值. 分析：由于该商品的需求量（销售量）是一个随机变量，它在区间X 上均匀分布，而销售该商品的利润值也是随机变量，它是的函数，称30,10YX 为随机变量的函数.本问题涉及的最佳利润只能是利润的数学期望即平均利润的 最大值.因此，本问题的解算过程是先确定与的函数关系，再求出的期望YX Y .最后利用极值法求出的极大值点及最大值.EYEY 先假设每周的进货量为，则 a  axxa axax axaxa axxax Y                      ,300200 ,100600 ,300500 ,100500 -/ 利润的数学期望为： Y dxaxdxaxEY a a   30 10 200300 20 1 100600 20 1 52503505 . 7 2 aa 035015-a da dEY 33.23 15 350 a 的最大值元 EY 3 . 93335250 3 70 350 3 70 5 . 7max 2       EY 由计算结果可知，周最佳进货量为 23.33（单位） ，最大利润的期望值为 9333.3 元. 3.3.6 求职决策问题 有三家公司为大学毕业生甲提供应聘机会，按面试的时间顺序，这三家公司 分别记为、、，每家公司都可提供极好、好和一般三种职位.每家公司根 ABC 据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝提供职位.按规定，双方在面试后要立 即做出决定提供，接受或拒绝某种职位，且不许毁约.咨询专家在为甲的学业成 绩和综合素质进行评估后，认为甲获得极好、好和一般的可能性依次为 0.2、0.3 和 0.4.三家公司的工资承诺如表： 公司极好好一般 A350030002200 B390029502500 C 400030002500 如果甲把工资作为首选条件，那么甲在各公司面试时，对该公司提供的各种 职位应作何种选择？ 分析：由于面试从公司开始，甲在选择公司三种职位是必须考虑后面、AAB 公司提供的工资待遇，同样在公司面试后，也必须考虑公司的待遇.因此CBC 我们先从公司开始讨论.由于公司工资期望值为：CC 3 X 27004 . 025003 . 030002 . 04000 3 XE -/ 再考虑公司，由于公司一般职位工资只有 2500，低于公司的平均工 BBC 资，因此甲在面对公司时，只接受极好和好两种职位，否则去公司.如此决BC 策时加工资的期望值为： 2 X 元30155 . 027003 . 029502 . 03900 2 XE 最后考虑公司，公司只有极好职位工资超过 3015，因此甲只接受公 A A A 司的极好职位.否则去公司.B 甲的整体决策应该如此：先去公司应聘，若公司提供极好职位就接受之.否AA 则去公司，若公司提供极好或好的职位就接受之，否则去公司应聘任意一BBC 种职位.在这一决策下，甲工资的期望值为： 1 X 元31128 . 030152 . 03500 1 XE 4 结论 本文重点讨论了几种简化计算数学期望的方法和技巧，解法各具特色,但不 是全部，除了上述一些求期望的方法外，还有“利用重期望公式法” ， “利用 α 函数或 β 函数法” ， “待定系数法” ， “利用母函数法” ， “利用分布的对称性”等， 应该根据具体情况选择相应的方法，应灵活应用.然而，只要对数学期望的基本 定义和随机变量分布形式的特点有了透彻的理解，那么，对各种简化计算方法和 技巧的应用就会游韧有余了. 本文利用数学期望解决了生活中的一些问题，比如疾病普查问题、抽奖问题、 经济决策问题、生产批量方面的一些问题等，说明了数学期望在生活中的重要作 用，它作为一个数学工具被我们广泛的运用着.当然这只是数学期望应用中的一 部分而已，还有更多的应用等待我们去发现. -/ 参考文献 [1]盛骤等,概率论与数理统计[M],北京:高等教育出版社,2008.6:90~100. [2]张唯春,浅谈概率论中数学期望的计算方法[J],辽宁交通高等专科学校报,2008,10(2):41~42. [3]唐秋晶,蒋传凤,数学期望的几种求法[J],洛阳师范学院学报,2000,19（5）:13~14. [4]高显彩,张丽慧,数学期望的计算方法[J],枣庄学院学报,2012,29（2）:33~36. [5]肖文华,数学期望的计算方法与技巧[J],湖南工业大学学报,2008,22（3）:98~100. [6]张艳娥等,数学期望在疾病普查中的应用[J],数理医药学杂志,2003,16（1）:83~84. [7]杨先伟,数学期望在体育比赛中的应用[J],无锡职业技术学院学报,2009,8（5）:42~43. [8]廖飞,李楠,数学期望的应用[J],牡丹江师范学院学报（自然科学版）,2007,60（4）:63~64. [9]赵艳侠,数学期望在经济问题中的应用[J],吉林师范大学学报（自然科学版） ，2005（5）: 92~93. [10]林侗芸,利用数学期望求解经济决策问题[J],龙岩学院学报,2006,24（6）:7~8. [11]刘小红,例谈数学期望在生活中的应用[J],教育创新学刊,2010:72~73. [12]段丽凌,浅析数学期望在经济生活中的应用[J],商业现代化,2008. -/ 致谢 本文在老师的督导下得以完成，首先感谢老师，他们不仅教会了我怎样写论 文，更让我明白了如何才能成为一名好老师、优秀的科研工作者，他们严谨教学、 认真仔细的态度真的是令我十分佩服。 感谢学校学院领导给我们一个好的学习环境来学习，感谢图书馆和网站为我 提供资料。感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献， 如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。 感谢同学们对我学习生活上各方面的帮助，尤其是我亲爱的舍友，学习上帮 助我，生活上关心我，在我写论文的过程中给予我了很多素材，还在论文的撰写 和排版过程中提供热情的帮助。 感谢生我养我，含辛茹苦的父母。是你们，为我的学习创造了条件；是你们， 一如既往的站在我的身后默默的支持着我。没有你们就不会有我的今天。谢谢你 们，我的父亲母亲！ 由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批 评和指正！