全国高中数学联合竞赛试题与解答卷.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -20XX年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8 分和 0 分两档。其他各题的评阅，请严格依据本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次2. 假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分， 解答题中第9 小题 4 分为一个档次， 第 10、11 小题 5 分一个档次， 不要增加其他中间档次一、填空题：本大题共8 小题，每道题8 分，共 64 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1设实数 a

2、 满意 a9a311a| a |，就 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2设复数z, w 满意 | z |3 ，zw zw74i，其中 i 是虚数单位，z, w 分别表示z, w 的共轭复数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 z2 w z2w的模为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3正实数u,v, w 均不等于1，如log u vwlog v w5 ， log v ulogw v3 ，就lo

3、g w u 的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和3 张 1 元纸币，袋子B 中装有 4 张 5 元纸币和3 张 1 元纸币现随机从 两个袋子中各取出两张纸币，就A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 5设 P 为一圆锥的顶点，A，B，C 是其底面圆周上的三点，满意ABC =90， M 为 AP 的中点 如 AB=1，AC=2， AP2 ，就二面角M BC A 的大小为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 设 函 数f xsin 4 kx10cos 4 kx10， 其 中 k是 一 个 正 整 数 如

4、 对 任 意 实 数 a ， 均 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x | axa1 f x | xR ，就 k 的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7双曲线 C 的方程为 x2y1 ，左、右焦点分别为F 、 F ，过点 F 作直线与双曲线C的右半支交于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 P， Q，使得F1 PQ =90，就F1 PQ 的内切圆半径是可编辑资料 - - - 欢迎下载精

5、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8设a1 , a2 , a3 , a4 是 1，2， 100 中的 4 个互不相同的数，满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a 2a 2 a2a 2a 2 a aa aa a 2123234122334可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就这样的有序数组 a1 , a2 , a3 , a4 的个数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、解答题：本大题共3 小题，共56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9（此题满分16 分）在ABC

6、中，已知ABAC2BABC3CACB 求sin C 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10（此题满分20 分）已知f x 是 R 上的奇函数，f 11 ，且对任意x0 ，均有xf x1xf x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

7、总结求 f 1f 1 100f 1 f 2 1 99f 1 3f 1 98f 1 f 50 1 的值51可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11（此题满分20 分）如下列图，在平面直角坐标系xOy 中， F 是 x 轴正半轴上的一个动点以F 为焦点， O 为顶点作抛物线C设 P 是第一象限内C 上的一点， Q 是 x 轴负半轴上一点，使得PQ 为 C 的切线，且PQ =2.圆 C1 , C2 均与直线OP 相切于点P，且均与轴相切求点F 的坐标，使圆C1 与 C2 的面积之和取到最小值20XX年全国高中数学联合竞赛加试可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精

8、选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222一、（此题满分40 分）设实数a , a , a满意 9a11ai1,2,2021 。求 aa aa 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1122021ii 11223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a20212a2021 a2021a 2

9、的最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、（此题满分40 分）如下列图，在ABC 中， X， Y 是直线BC 上两点（ X， B， C， Y 顺次排列），使得BXACCYAB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设ACX ，ABY 的外心分别为证明：AUV 是等腰三角形。O1 ， O2 ，直线O1 O2 与 AB， AC 分别交于点U， V。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、（此题满分50 分）给定空间中10 个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，如得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值。可编辑

10、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、（此题满分50 分）设 p 与 p2 均是素数， p3 。数列 an 的定义为 a12 ，anan 1pan 1，n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n2,3, ，。这里x表示不小于实数x 的最小整数。20XX年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参

11、考答案及评分标准可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -说明：3. 评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设8 分和 0 分两档。其他各题的评阅，请严格依据本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次4. 假如考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分， 解答题中第9 小题 4 分为一个档次， 第

12、 10、11 小题 5 分一个档次， 不要增加其他中间档次一、填空题：本大题共8 小题，每道题8 分，共 64 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1设实数 a 满意 a9a311a| a |，就 a 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23答案： a,310 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由 a| a |可得 a0 ，原不等式可变形为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9a 3

13、111aa| a |1 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即19a 2111 ，所以 a 2104,93 又 a0 ，故 a23 ,310 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2设复数z, w 满意 | z |3 ，zw zw74i，其中 i 是虚数单位，z, w 分别表示z, w 的共轭复数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 z2 w z2w的模为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：6

14、5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 ： 由 运 算 性 质 ， 74izw zw|z |2| w |2zwzw， 因 为| z |2与 | w |2为 实 数 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22Rezwzw0 ，故 | z |2| w |27 ， zwzw4i ，又 | z |3 ，所以| w |22 ，从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z2w z2w| z |4 | w |2 zwzw988i18i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

15、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此， z2w z2 w 的模为65 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3正实数u,v, w 均不等于1，如log u vwlog v w5 ， log v ulogw v3 ，就log w u 的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：解：令45log u va ， log v wb ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log v u1， log w va1， log u vwblog u vlog

16、u vlog v wa ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结条件化为 aabb5 ， 1a13 ，由此可得ab b5，因此4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log w ulog w v4log v u5可编辑资料 - - - 欢

17、迎下载精品名师归纳总结4袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和3 张 1 元纸币，袋子B 中装有 4 张 5 元纸币和3 张 1 元纸币现随机从两个袋子中各取出两张纸币，就A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为答案：9352解：一种取法符合要求，等价于从 A 中取走的两张纸币的总面值a 小于从 B 中取走的两张纸币的总面值b ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而 ab 5510 故只能从A 中国取走两张1 元纸币， 相应的取法数为C33又此时 ba2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C即

18、从B 中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有2218 种取法因此，所求的概率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C73318549可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CC10213522575设 P 为一圆锥的顶点，A，B，C 是其底面圆周上的三点，满意ABC =90， M 为 AP 的中点 如 AB=1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC=2，答案：AParctan2 ，就二面角M BC A 的大小为23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由ABC =90知，AC 为底面圆的直径 设

19、底面中心为O，就 PO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平面 ABC，易知 AO1 AC1 ，进而 PO2AP 2AO 21 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 H 为 M 在底面上的射影， 就 H 为 AO 的中点在底面中作HKBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于点 K，就由三垂线定理知MKBC A 的平面角BC ，从而MKH为二面角M 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因MHAH1， 结 合HK与AB平 行 知 ，HK2ABHC3， 即AC43HK， 这 样4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanMKHMH HK

20、2故二面角M BC A 的大小为3arctan 2 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6 设 函 数f xsin 4 kx10cos 4 kx10， 其 中 k是 一 个 正 整 数 如 对 任 意 实 数 a ， 均 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x | axa1 f x | xR ，就 k 的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案： 16解：由条件知，f xsin 2 kx10cos 2kx 2102 sin 2kx cos2 kx

21、 1010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1sin 2 kx1 cos 2kx3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5454可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中当且仅当x5mm kZ 时，5f x取到最大值依据条件知，任意一个长为1 的开区间a ,a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结至少包含一个最大值点，从而1，即 k5k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反 之 ， 当k5时 ， 任 意 一 个 开 区 间 均 包 含f x的 一 个 完 整 周 期 ， 此 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f x |

22、 axa1 f x | xR 成立综上可知，正整数的最小值为5116 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7双曲线 C 的方程为x2y1 ，左、右焦点分别为F1 、 F2 ，过点F2 作直线与双曲线C的右半支交于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23可编辑资料 - - - 欢迎下载

23、精品名师归纳总结点 P， Q，使得F1 PQ =90，就F1 PQ 的内切圆半径是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结答案：71解：由双曲线的性质知，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122F1 F22134 ，PF1PF2QF1QF22 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因F1PQ =90，故PF 2PF 2F1F2 ，因此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PF1PF22 PF 22PF2PF12PF 2 2422 227 从而直角F1 PQ 的内切圆半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

24、名师归纳总结1是1rF1P 2PQF1Q1PF12PF2 1QF12QF 2 71可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8设a1 , a2 , a3 , a4 是 1，2， 100 中的 4 个互不相同的数，满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a 2a 2 a2a 2a 2 a aa aa a 2123234122334可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就这样的有序数组 a1 , a2 , a3 , a4 的个数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

25、纳总结答案： 40解：由柯西不等式知， a1a 2a2 a2a 2a 2 a aa aa a 2 ，等号成立的充分必要条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结123234122334可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a2是a2a3a3，即 a1, a2 ,a3 , a4 成等比数列于是问题等价于运算满意a4 a1, a2 , a3 , a4 1,2,3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结,100 的等比数列a , a , a , a的个数设等比数列的公比q1 ，且 q 为有理数记qn，其中m,n 为可编

26、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结互素的正整数，且1234mmn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结先考虑 nm的情形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1此时 aa n 3a n 3，留意到m3 , n3 互素，故la13为正整数相应的，a , a, a , a分别等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结41mm31234m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m3l , m2 nl , mn2 l , n3 l ，它们均为正整数这说明，对任意给定的qn1 ，满意条件并以q 为公比的等

27、m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结比数列a1, a2,a3, a4的个数，即为满意不等式n 3l100 的正整数 l 的个数，即 100 n 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 5 3100 ，故仅需考虑q2,3,34,4,23这些情形，相应的等比数列的个数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结100 8100 27100 27100 64100 6412331120 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页

28、- - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 nm 时，由对称性可知，亦有20 个满意条件的等比数列a1, a2 , a3, a4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上可知，共有40 个满意条件的有序数组a1 ,a2 , a3 , a4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、解答题：本大题共3 小题，共56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤可编辑

29、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9（此题满分16 分）在ABC 中，已知ABAC2BABCb 23CAc 2CB 求a 2sin C 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由数量积的定义及余弦定理知，ABACcb cos A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2同理得， BABCa 2c2222222b， CACBa 2b 222c 2故已知条件化为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222bca2 acb 3abc 可编辑资料 - - -

30、欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 a 22b 23c2 8 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由余弦定理及基本不等式，得22122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosCaa 2b 2c 2a2abb2abba32ab22b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3b6a3b6a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 sin C1cos 2 C712 分3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

31、结等号成立当且仅当a : b : c3 :6 :5 因此sin C 的最大值是716 分3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10（此题满分20 分）已知f x 是 R 上的奇函数，f 11 ，且对任意x0 ，均有f x x1xf x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 f 1f 1 100f 1 f 2 1 99f 1 3f 1 98f 1 f 50 1 的值51可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 anf 1 n =1，2， 3，），就 a1nf 11 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 f xx1xf x 中取 x1 k kN *x，留意到x1k1，及11k1kf x 为奇函数可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1k11 f 1 kk1 f 1 5 分kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ak