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概率论与数理统计 习题三 答案
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】的可能取值为：0，1，2，3；的可能取值为：0，1.
和的联合分布律如下表：
0
1
2
3
1
0
0
3
0
0
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】的可能取值为：0，1，2，3；的可能取值为：0，1，2.
X和Y的联合分布律如下表：
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
0
3.设二维随机变量的联合分布函数为
求二维随机变量在长方形域内的概率.
【解】如图
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量的分布密度
求：（1） 常数；
（2） 随机变量的分布函数；
（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】（1） 由
得 =12
（2） 由定义，有
(3)
5.设随机变量的概率密度为
（1） 确定常数；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}；
（3） 求P{X<1.5}；
（4） 求P{X+Y≤4}.
【解】（1） 由性质有
故
（2）
(3)
(4)
题5图
6.设和是两个相互独立的随机变量，在（0，0.2）上服从均匀分布，的密度函数为
求：（1） 与的联合分布密度；（2） .
题6图
【解】（1） 因在（0，0.2）上服从均匀分布，所以的概率密度函数为
而
所以
(2)
7.设二维随机变量的联合分布函数为
求（X，Y）的联合分布密度.
【解】
8.设二维随机变量的概率密度为
求边缘概率密度.
【解】的边缘概率密度为
的边缘概率密度为
题8图 题9图
9.设二维随机变量的概率密度为
求边缘概率密度.
【解】的边缘概率密度为
的边缘概率密度为
题10图
10.设二维随机变量的概率密度为
（1） 试确定常数；
（2） 求边缘概率密度.
【解】（1）
得.
(2)
11.设随机变量的概率密度为
求条件概率密度，.
题11图
【解】
所以
12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为，最大的号码为.
（1） 求与的联合概率分布；（2） 与是否相互独立？
【解】（1） 的可能取值为：1,2,3；的可能取值为3,4,5.
与的联合分布律及边缘分布律如下表：
3
4
5
1
2
0
3
0
0
(2) 因
故与不独立
13.设二维随机变量的联合分布律为
2 5 8
0.4
0.8
0.15 0.30 0.35
0.05 0.12 0.03
（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2） X与Y是否相互独立？
【解】（1）X和Y的边缘分布如下表
2
5
8
P{Y=yi}
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.8
0.05
0.12
0.03
0.2
0.2
0.42
0.38
(2) 因
故与不独立.
14.设与是两个相互独立的随机变量，在（0，1）上服从均匀分布，的概率密度为
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
【解】（1） 因
故
题14图
(2) 方程有实根的条件是
即 ，
从而方程有实根的概率为：
15.设和分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设和相互独立，且服从同一分布，其概率密度为
f（x）=
求的概率密度.
【解】因为和相互独立，所以与的联合概率密度为
如图,Z的分布函数
(1) 当z≤0时，
（2） 当0
0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0
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