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|概率论基础知识第一章 随机事件及其概率一 随机事件1几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。 例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 A，B，C 例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为。 例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。 例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，“掷出6点”均为此试验的基本事件。 由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为e. 例如，在E1中，用数字1，2，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集1，2，6便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。 例如， 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为2，4，6。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为。 例如， 在E1中，=1，2，3，4，5，6 在E2中，=（H，H），（H，T），（T，H），（T，T） 在E3中，=0，1，2，例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。 此试验样本空间所有样本点的个数为N=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京） 若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为 (组合)例2随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为 第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列2事件间的关系与运算 1、包含:“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为A B或B A。 例如，在E1中，令A表示“掷出2点”的事件，即A=2B表示“掷出偶数”的事件，即B=2，4， 6则 2、相等：若A B且B A，则称事件A等于事件B，记为A=B 例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然A=B 3、和：称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为A B，或A+B 例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件。 推广： 有限个 无穷可列个 4、积：称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为A B或AB。 例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A=接到偶数次呼唤，B=接到奇数次呼唤，则A B=接到6的倍数次呼唤推广： 任意有限个 无穷可列个 5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。 例如，测量晶体管的参数值，令A=测得值不超过50，B=测得值不超过100，则，A-B=，B-A=测得值为50100 6、互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=，则称A与B是互不相容的。 例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若A=红灯亮，B=绿灯亮，则A与B便是互不相容的。7、对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为 显然 ，A = 例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A=取得的3个产品中至少有一个次品，则 =取得的3个产品均为正品。3事件的运算规律 1、交换律 AB=BA； AB=BA2、结合律 （AB）C=A（BC） ；（AB）C=A（BC）3、分配律 A（BC）=（AB）（AC）， A（BC）=（AB）（A C）4、对偶律 此外，还有一些常用性质，如 A B A，AB B（越求和越大）；AB A，AB B（越求积越小）。 若A B，则A B=B, A B=A A-B=A-AB= A 等等。例3，从一批产品中每次取一件进行检验，令Ai=第i次取得合格品,i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A=三次都取得合格品三次中至少有一次取得合格品三次中恰有两次取得合格品三次中最多有一次取得合格品解： 表示方法常常不唯一，如事件又可表为 或 例4，一名射手连续向某一目标射击三次，令i=第i次射击击中目标 , i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：解： A1A2A3=三次射击都击中目标 A3-A2=第三次击中目标但第二次未击中目标 例5，下图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点，闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。 解，不难看出有如下一些关系： 二 事件的概率1概率的定义所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P（A）。规定P(A)0，P（）=1。1、古典概型中概率的定义古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。（1）所有基本事件是有限个；（2）各基本事件发生的可能性相同；例如：掷一匀称的骰子，令A=掷出2点=2，B=掷出偶数总=2，4，6。此试验样本空间为=1，2，3，4，5，6，于是，应有1=P（）=6P（A），即P（A）= 。而P（B）=3P（A）= 定义1：在古典概型中，设其样本空间所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为N而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：例1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。解：用H表示正面，T表示反面，则该试验的样本空间=（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）。可见N=8 令A=恰有一次出现正面，则A=（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）可见，令NA=3 故 例2，（取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。（1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；（2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；（3）一次取球：从袋中任取3个球。在以上三种取法中均求A=恰好取得2个白球的概率。解：（1）有放回取球 N=888=83=512(袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等)（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取白球还有五种情况，第三次取黑球只有三种情况） （2）无放回取球故 （3）一次取球故 属于取球问题的一个实例：设有100件产品，其中有5%的次品，今从中随机抽取15件，则其中恰有2件次品的概率便为（属于一次取球模型）例3（分球问题）将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（nN）。解： 令A=恰有n个盒子各有一球，先考虑基本事件的总数先从N个盒子里选n个盒子，然后在n个盒子里n个球全排列故 属于分球问题的一个实例：全班有40名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令A=40个同学生日皆不相同，则有(可以认为有365个盒子，40个球)故 例4（取数问题） 从0，1，,9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）四个数排成一个偶数；（2）四个数排成一个四位数；（3）四个数排成一个四位偶数；解：令A=四个数排成一个偶数，B=四个数排成一个四位数，C=四个数排成一个四位偶数 ， ，例5（分组问题）将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率各为多少？解：令A=有人手里有13张黑桃，B=有人手里有4张A牌于是 ，故 不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质：1P（A）0 2 P（）=13 若A1，A2，An两两互不相容，则 2、概率的统计定义 频率：在n次重复试验中，设事件A出现了nA次，则称：为事件A的频率。频率具有一定的稳定性。示例见下例表 试验者抛硬币次数n正面（A）出现次数nA 正面（A）出现的频率 德摩尔根2048106105180浦丰4040214805069皮尔逊12000601905016皮尔逊240001201205005维尼300001499404998定义2：在相同条件下，将试验重复n次，如果随着重复试验次数n的增大，事件A的频率fn(A)越来越稳定地在某一常数p附近摆动，则称常数p为事件A的概率，即P（A）=p不难证明频率有以下基本性质：1 2 3 若A1，A2，两两互不相容，则 3、概率的公理化定义 （数学定义）定义3：设某试验的样本空间为，对其中每个事件A定义一个实数P（A），如果它满足下列三条公理：1 P（A） 0（非负性）2 P（）=1（规范性）3 若A1，A2，An两两互不相容，则 （可列可加性，简称可加性） 则称P（A）为A的概率 4、几何定义定义4：假设是Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域，从中随机地选择一点，即中任何一点都有同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是，假设事件A是中任何一个可度量的子集，则P(A)=(A)/ ()2概率的性质 性质1：若A B, 则P(B-A)=P(B)-P(A) 差的概率等于概率之差证： 因为：A B 所以：B=A(B-A)且A(B-A)=,由概率可加性 得P（B）=PA（B-A）=P（A）+P（B-A） 即 P（B-A）=P（B）-P（A） 性质2：若A B， 则P（A）P（B） 概率的单调性证：由性质1及概率的非负性得 0P（B-A）=P（B）-P（A），即P（A）P（B） 性质3：P（A）1 证明：由于A ，由性质2及概率的规范性可得P（A）1 性质4：对任意事件A，P（ ）=1-P（A） 证明：在性质1中令B=便有P（ ）=P（-A）=P（）-P（A）=1-P（A）性质5：P（）=0证：在性质4中，令A=，便有P（）=P（ ）=1-P（）=1-1=0性质6 （加法公式）对任意事件A，B，有P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）证：由于AB=A（B-AB）且A（B-AB）=（见图）由概率的可加性及性质1便得 P（AB）=PA（B-AB）=P（A）+P（B-AB） =P（A）+P（B）-P（AB）推广: P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）例6 设10个产品中有3个是次品，今从中任取3个，试求取出产品中至少有一个是次品的概率。解：令C=取出产品中至少有一个是次品，则=取出产品中皆为正品，于是由性质4得例7，甲，乙两城市在某季节内下雨的概率分别为0.4和0.35，而同时下雨的概率为0.15，问在此季节内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。解：令A=甲城下雨，B=乙城下雨，按题意所要求的是P（AB）=P（A）+P（B）P（AB）=0.4+0.35-0.15=0.6例8设A,B,C为三个事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有一个发生的概率。 于是所求的概率为 三 条件概率1条件概率的概念及计算 在已知事件B发生条件下，事件A发生的概率称为事件A的条件概率，记为P（A/B）。条件概率P（A/B）与无条件概率P（A）通常是不相等的。例1：某一工厂有职工500人，男女各一半，男女职工中非熟练工人分别为40人和10人，即该工厂职工人员结构如下：人数男女总和非熟练工人401050其他职工210240450总和250250500现从该厂中任选一职工，令A= 选出的职工为非熟练工人，B= 选出的职工为女职工显然，；而 ，定义1 设A、B为两事件，如果P（B）0，则称为在事件B发生的条件下，事件A的条件概率。同样,如果P（A）0，则称为在事件A发生条件下，事件B的条件概率。条件概率的计算通常有两种办法：(1)由条件概率的含义计算（通常适用于古典概型），(2)由条件概率的定义计算。例2：一盒子内有10只晶体管，其中4只是坏的，6只是好的，从中无放回地取二次晶管，每次取一只，当发现第一次取得的是好的晶体管时，向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少？ 解： 令 A=第一次取的是好的晶体管，B=第二次取的是好的晶体管按条件概率的含义立即可得： 按条件概率的定义需先计算：；于是 例3：某种集成电路使用到2000小时还能正常工作的概率为0.94,使用到3000小时还能正常工作的概率为0.87 .有一块集成电路已工作了2000小时,向它还能再工作1000小时的概率为多大? 解：令 A=集成电路能正常工作到2000小时，B=集成电路能正常工作到3000小时已知:：P(A)=0.94, P(B)=0.87 且 ，既有AB=B于是P(AB)=P(B)=0.87按题意所要求的概率为：2关于条件概率的三个重要公式1.乘法公式定理1: ，例4:已知某产品的不合格品率为4%,而合格品中有75%的一级品,今从这批产品中任取一件,求取得的为一级的概率.解: 令 A= 任取一件产品为一级品, B= 任取一件产品为合格品，显然 ，即有AB=A 故P（AB）=P（A）。于是, 所要求的概率便为例5:为了防止意外,在矿内安装两个报警系统a和b,每个报警系统单独使用时,系统a有效的概率为0.92,系统b的有效概率为0.93,而在系统a失灵情况下,系统b有效的概率为0.85，试求：(1)当发生意外时,两个报警系统至少有一个有效的概率；(2)在系统b失灵情况下,系统a有效的概率.解: 令 A=系统a有效 B=系统b 有效已知 , , 对问题(1) ,所要求的概率为 ，其中 (见图)= = 于是 对问题(2),所要求的概率为：= 推广：如果证:由于 所以上面等式右边的诸条件概率均存在,且由乘法公式可得= = （依此类推）= 例6：10个考签中有4个难签,三个人参加抽签(无放回)甲先,乙次,丙最后,试问(1) 甲、乙、丙均抽得难签的概率为多少? (2) 甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少?解: 令A,B,C分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件，对问题(1),所求的概率为：对问题(2), 甲抽得难签的概率为：乙抽得难签的概率为丙抽得难签的概率为 其中 于是 2.全概率公式完备事件组:如果一组事件 在每次试验中必发生且仅发生一个,即 则称此事件组为该试验的一个完备事件组例如，在掷一颗骰子的试验中，以下事件组均为完备事件组： 1，2， 3，4，5，6； 1，2，3，4，5 ， 6； ，（A为试验中任意一事件） 定理2： 设 为一完备事件组，且 ，则对于任意事件A有 证：由于 且对于任意 ，于是由概率的可加性及乘法公式便得：例7，某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下：根据以往资料可知，中国胜美国的概率为0.4 ，中国胜日本的概率为0.9，而日本胜美国的概率为0.5，求中国得冠军的概率。解：令H= 日本胜美国, =美国胜日本, A= 中国得冠军由全概率公式便得所求的概率为例8， 盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时，从盒中任取3个使用，用后放会盒中，第二次比赛时，再取3个使用，求第二次取出都是新球的概率解： 令 H =第一次比赛时取出的3个球中有i个新球i=0，1，2，3，A = 第二次比赛取出的3个球均为新球于是 , , , 而 , , , 由全概率公式便可得所求的概率=0.1463 贝叶斯公式 定理3： 设 H ,H ,.H 为一完备事件组，且 又设A为任意事件，且 P(A) 0，则有证：由乘法公式和全概率公式即可得到先验概率例9：某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95，不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为0.95，并假定就诊者中有0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？解： 令 H=做实验的人为癌症患者，=做实验的人不为癌症患者，A=实验结果反应为阳性，实验结果反应为阴性，由贝叶斯公式可求得所要求的概率：例10：两信息分别编码为X和Y传送出去，接收站接收时，X被误收作为Y的概率0.02,而Y被误作为X的概率为0.01.信息X与Y传送的频繁程度之比为2:1,若接收站收到的信息为X，问原发信息也是X的概率为多少?解：设H=原发信息为X由题意可知 由贝叶斯公式便可求得所要求的概率为 例11：设有一箱产品是由三家工厂生产的，已知其中 的产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各占 ，已知甲，乙两厂的次品率为2%，丙厂的次品率为4%，现从箱中任取一产品（1） 求所取得产品是甲厂生产的次品的概率；（2） 求所取得产品是次品的概率；（3） 已知所取得产品是次品，问他是由甲厂生产的概率是多少？解：令 分别表示所取得的产品是属于甲、乙、丙厂的事件，A=所取得的产品为次品显然 ， ， ， 对问题（1），由乘法公式可得所要求的概率：对问题（2），由全概率公式可得所要求的概率 对问题（3），由贝叶斯公式可得所要求的概率 四 独立性1事件的独立性 如果事件B的发生不影响事件A的概率，即 则称事件A对事件B独立。如果事件A的发生不影响事件B的概率，即 ， 则称事件B对事件A独立。不难证明，当 时，上述两个式子是等价的。事实上，如果 ，则有反之，如果 ，则有即 同样可证 总之 ，可见事件独立性是相互的。定义1 设A，B为两个事件，如果 ，则称事件A与事件B相互独立。例1,袋中有3个白球2个黑球，现从袋中（1）有放回；（2）无放回的取两次球，每次取一球，令 A=第一次取出的是白球 B=第二次取出的是白球 问A，B是否独立？解：（1）有放回取球情况，则有2*3可见， ，可见A，B独立。（2）无放回取球情况，则有可见， ，故A，B不独立。（实际上就是抓阄模型）例2,设有两元件，按串联和并联方式构成两个系统，（见图）每个元件的可靠性(即元件正常工作的概率)为r(0r1).假定两元件工作彼此独立,求两系统的可靠性.解: 令 A= 元件a 正常工作 , B= 元件b 正常工作 ,且A,B独立。C1= 系统I正常工作 , C2=系统II正常工作于是系统I的可靠性为系统II的可靠性为 显然 ，系统可靠性大于系统的可靠性。定义：设A，B，C为三个事件，如果 P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P（B）P（C），P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 则称A，B，C为相互独立的。定义2：设A1，A2，An为n个事件，如果对任意正整数 及上述事件中的任意P则称这n个事件A1，A2，An是相互独立的。下面几个结论是常用的 ：其它三个必成立。证：设A，B成立，即 ，于是有 故 独立。利用这个结果便可证明其它结论，即（2）如果相互独立，则(3) 如果相互独立，则 证： 例3：三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为 求密码能被译出的概率解：令Ai第 个人能译出密码，I=1,2,3 ；A=密码能被译出，所要求的概率为例4：设每支步枪击中飞机的概率为 ，(1)现有250支步枪同时射击，求飞机被击中的概率;(2)若要以 概率击中飞机，问需多少支步枪同时射击？解：令Ai=第i支步枪击中飞机 1,2,n；A=飞机被击中对问题（1），n=250,所要求的概率为对问题（2），n为所需的步数，按题意,即 , 即 于是得 2独立重复试验 独立重复试验 在相同条件下，将某试验重复进行n 次，且每次试验中任何一事件的概率不受其它次试验结果的影响，此种试验称为n次独立重复试验。 称此试验为贝努里试验n重贝努里试验 将贝努里试验独立重得n次所构成n次独立重得试验称为n重贝努里试验。例如，（1）将一骰子掷10次观察出现6点的次数10重贝努里试验（2）在装有8个正品，2个次品的箱子中，有放回地取5次产品，每次取一个，观察取得次品的次数5重贝努里试验（3）向目标独立地射击n次，每次击中目标的概率为P，观察击中目标的次数n重贝努里试验等等一个重要的结果：在n重贝努里实验中，假定每次实验事件A出现的概率为p（0p1）,则在这n重贝努里实验中事件A恰好出现k(kn)次的概率为其中q=1-p 因此，在n次独立重复试验中事件A恰好出现k次的事件便可表为上式为在n次试验中恰有k次A出现，而在另外n-k次A不出现的所有可能事件之和，这及事件的独立性便可得到在n重贝努里试验中事件A恰好出现k次的概率为例5：设电灯泡的耐用时数在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用了1000小时之后：（1） 恰有一个灯泡损坏的概率；（2） 至多有一个灯泡损坏的概率。解：在某一时刻观察三个灯泡损坏情况为3重贝努里实验。令 A=灯泡是坏的，则p=P(A)=0.8若令Bi=有i个灯泡损坏，i=0，1 2 3；对于问题（1），所求的概率为对于问题（2），所求的概率为 例6：某工厂生产某种产品，其次品率为0.01 ，该厂以每10个产品为一包出售，并保证若包内多于一个次品便可退货，问卖出的产品与被退的比例多大解：卖出产品被退回的比例也即卖出一包产品被退回的概率，观测一包内次品（即事件A，p=P(A)=0.01）数的实验可视为10重贝努里实验。令则 令C=卖出一包被退回，则如果厂方以20个产品为一包出售，并保证包内多于2个次品便可退货，情况又将如何呢？完全类似可算得