2022年挑战中考数学压轴题——平行四边形存在性问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 老师：同学：优秀教案欢迎下载时间： 20XX年月日课题内容 平行四边形存在性问题专题攻略一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤第一步查找分类标准,其次步画图,第三步运算 . 二、难点在于查找分类标准,查找恰当的分类标准,可以使得解的个数不重复不遗漏,也可以使运算又准又快 . 三、假如已知三个定点,探寻平行四边形的第四个顶点,符合条件的有 3 个点以已知三个定点为三角形的顶点,过每个点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生 3 个交点 . 四、假如已知两个定点,一般是把确定的一条线段依据边或对角线分为两种情形 . 敏捷运用向量和中心对称的性质

2、,可以使得解题简便. 第 1 页,共 23 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载典型例题例 1如图,抛物线： y=x2 x与 x 轴交于 A、B（A 在 B 左侧）,A（ 1,0）、B（3,0）,顶点为 C（1, 2）（1）求过 A、B、C 三点的圆的半径（2）在抛物线上找点 P,在 y 轴上找点 E,使以 A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形,求 点 P、E 的坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载（1） A（ 1,

3、0）、B（3,0）、C（1, 2）,AB=3 （ 1）=4,AC=2+BC=2,BC=2,AB2=16,AC2+BC2=8+8=16,AB2=AC2, ABC 是直角三角形, AB 是直径,故半径为2；（2）当 AB 是平行四边形的边时, PE=AB=4,且点 P、E 的纵坐标相等,点 P 的横坐标为 4 或 4,y=42 4=,或 y=42+4=,点 P、E 的坐标为 P1（4, ）、E1（0, ）或 P2（ 4,）、E2（0,）,如图,当 AB 是平行四边形的对角线时,PE 平分 AB ,PE 与 x 轴的交点坐标 D（1,0）,过点 P 作 PFAB ,就 OD=FD,点 F 的坐标为（

4、 2,0）,点 P 的横坐标为 2,y=2 2 2=,点 P 的纵坐标为,点 P、E 的坐标为 P3（2,）、E3（0,）,综上所述,点 P、E 的坐标为： P1（4,）、E1（0,）或 P2（ 4,）、E2（0,）或 P3（2,）、E3（0,）名师归纳总结 第 3 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载例 2将抛物线沿 c1：y=x 2+ 沿 x 轴翻折,得拋物线 c2,如下列图（1）请直接写出拋物线 c2 的表达式（2）现将拋物线 C1 向左平移 m 个单位长度, 平移后得到的新抛物线的顶点为 M,与 x 轴的交点从左

5、到右依次为 A,B；将抛物线 C2 向右也平移 m 个单位长度, 平移后得到的新抛物线的顶点为N,与 x 轴交点从左到右依次为 D,E当 B,D 是线段 AE 的三等分点时,求 m 的值；在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M 为顶点的四边形是矩形的情形？如存在,恳求出此时 m 的值；如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载方法一 ：（1）依据翻折的性质可求拋物线c2 的表达式；AD=AE 时,当 BD=AE 时两种情形争论（2）求出拋物线c1 与 x 轴的两个交点坐标,分当求解；

6、存在理由：连接 AN ,NE,EM,MA 依据矩形的判定即可得出方法二 ：（1）求出翻折后抛物线顶点坐标,并求出抛物线表达式（2）抛物线 c1 平移 m 个单位长度后,求出点A,B,D,E 的坐标,并分类争论点B 在点 D左侧和右侧的两种情形,进而求出m 的值ANEN,利用黄金法就二,可求出m 的值以点 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形,就【解答】方法一：解：（1）y= x2（2）令x2+ =0,得 x1= 1,x2=1就拋物线 c1 与 x 轴的两个交点坐标为（1,0）,（1,0）A（ 1 m,0）,B（1 m,0）同理可得： D（ 1+m,0）,E（1+m,0）当 AD= AE 时,（

7、 1+m） （ 1 m）= （1+m） （1 m）,m=当 BD= AE 时,（1 m） （ 1+m）= （1+m） （ 1 m）, m=2故当 B,D 是线段 AE 的三等分点时, m= 或 2存在理由：连接 AN ,NE,EM,MA 依题意可得： M（ m,）,N（m,）即 M,N 关于原点 O 对称, OM=ON A（ 1 m,0）,E（1+m,0）, A,E 关于原点 O 对称, OA=OE四边形 ANEM 为平行四边形AM2=（ m 1+m）2+（）2=4,ME2=（1+m+m）2+（）2=4m2+4m+4,AE2=（1+m+1+m）2=4m2+8m+4,如 AM2+ME2=AE2,

8、就 4+4m2+4m+4=4m2+8m+4, m=1,此时 AME 是直角三角形,且 AME=90当 m=1 时,以点 A,N,E,M 为顶点的四边形是矩形名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载方法二：（1）略,（2）抛物线 C1：y=x2+,）,抛物线 C2：y=x2,与 x 轴的两个交点为（1,0）,（1,0）,顶点为（ 0,与 x 轴的两个交点也为（1,0）,（1,0）,顶点为（ 0,）,抛物线 C1向左平移 m 个单位长度后,顶点 M 的坐标为（ m,）,与 x 轴的两个交点为 A（ 1 m,

9、0）、B（1 m,0）,AB=2 ,抛物线 C2 向右平移 m 个单位长度后,顶点N 的坐标为（ m,）,与 x 轴的两个交点为 D（1+m,0）、E（1+m,0）,AE=（1+m） （ 1 m）=2（1+m）,B、D 是线段 AE 的三等分点,有两种情形1、B 在 D 的左侧, AB= AE=2,AE=6,2（1+m）=6,m=2,2、B 在 D 的右侧, AB= AE=2,AE=3,2（1+m）=3,m=（3）如 A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形,A（ 1 m,0）,E（1+m,0）,N（m,）、M（ m,）,点 A,E 关于原点对称,点 N,M 关于原点对称,A、N、E、M 为顶点的

10、四边形是平行四边形,就 AN EN,K ANK EN= 1,A（ 1 m,0）,E（1+m,0）,N（m,）,= 1,m=1名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 优秀教案欢迎下载第 7 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载强化训练1如图,抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 A（0,1）,过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B（3,）,过点 B 作 BCx 轴,垂足为 C点 P 是 x 轴正半轴上的一动点,过点 P 作 PN

11、x 轴,交直线 AB 于点 M,交抛物线于点 N,设 OP 的长度为 m（1）求抛物线的解析式；（2）当点 P 在线段 OC 上（不与点 O、C 重合）时,试用含m 的代数式表示线段PM 的长度；（3）连结 CM,BN,当 m 为何值时,以 B、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形？名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）抛物线 y=优秀教案欢迎下载）,x2+bx+c 经过 A（0,1）和点 B（3,抛物线的解析式为y=x2+x+1；（2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k 0）,A（0,1）,B（3

12、,）,直线 AB 的解析式为 y= x+1,PNx 轴,交直线 AB 于点 M,交抛物线于点 N,OP=m,P（m,0）,M（m,m+1）,PM= m+1；（3）由题意可得： N（m,m2+ m+1）,MN BC,当 MN=BC 时,四边形 BCMN 为平行四边形,当点 P 在线段 OC 上时, MN= m2+m,又 BC=,m2+m=,解得 m1=1,m2=2；当点 P 在线段 OC 的延长线上时, MN= m2m,m2m=,解得 m1=（不合题意,舍去）,m2=,综上所述,当 m 的值为 1 或 2 或时,以 B、 C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形名师归纳总结 - - - - - -

13、 -第 9 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载2如图,已知二次函数的图象M 经过 A（ 1,0）,B（4,0）,C（2, 6）三点（1）求该二次函数的解析式；（2）点 G 是线段 AC 上的动点（点 G 与线段 AC 的端点不重合）,如 ABG 与 ABC 相像,求 点 G 的坐标；（3）设图象 M 的对称轴为 l,点 D（m,n）（ 1m2）是图象 M 上一动点,当 ACD 的面积为 时,点 D 关于 l 的对称点为 E,能否在图象 M 和 l 上分别找到点 P、Q,使得以点 D、E、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？如能,求出点P 的坐标

14、；如不能,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载【解答】 解：（1）二次函数的图象 M 经过 A（ 1,0）,B（4,0）两点,可设二次函数的解析式为 y=a（x+1）（x 4）二次函数的图象 M 经过 C（2, 6）点, 6=a（2+1）（2 4）,解得 a=1二次函数的解析式为y=（x+1）（x 4）,即 y=x2 3x 4,解得,（2）设直线 AC 的解析式为 y=sx+t,把 A、C 坐标代入可得线段 AC 的解析式为 y= 2x 2,设点 G 的坐标为（ k, 2k 2）G 与

15、C 点不重合, ABG 与 ABC 相像只有 AGB ABC 一种情形=, |k+1|=k=3,AG=|k+1|,）AB=5,AC=或 k=（舍去）,点 G 的坐标为（,（3）能理由如下：如图,过 D 点作 x 轴的垂线交 AC 于点 H,D（m,n）（ 1m2）,H（m, 2m 2）点 D（m,n）在图象 M 上,D（m,m2 3m 4） ACD 的面积为,第 11 页,共 23 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载 2m 2 （ m2 3m 4） （m+1）+（2 m）=,即 4m2 4m+1=0,解得 m=D（,）

16、y=x2 3x 4=（x）2,图象 M 的对称轴 l 为 x=点 D 关于 l 的对称点为 E, E（,）,DE=2,如以点 D、E、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形,有两种情形：当 DE 为边时,就有 PQ DE 且 PQ=DE=2点 P 的横坐标为+2=或 2=,P（,）；,）第 12 页,共 23 页点 P 的纵坐标为（）2=,点 P 的坐标为（,）或（,）；当 DE 为对角线时,就可知P 点为抛物线的顶点,即综上可知存在满意条件的P 点,其坐标为（,）或（,）或（名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载3已知直线 y

17、=kx+b（k 0）过点 F（0,1）,与抛物线 y=x2相交于 B、C 两点（1）如图 1,当点 C 的横坐标为 1 时,求直线 BC 的解析式；（2）在（ 1）的条件下,点 M 是直线 BC 上一动点,过点M 作 y 轴的平行线,与抛物线交于点D,是否存在这样的点 M ,使得以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形？如存在,求出点M 的坐标；如不存在,请说明理由；（3）如图 2,设 B（mn）（m0）,过点 E（0 1）的直线 l x 轴,BRl 于 R,CSl 于 S,连接 FR、FS试判定 RFS 的外形,并说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 23

18、页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案）,欢迎下载,解：（1）由于点 C 在抛物线上,所以C（1,解之,得又直线 BC 过 C、F 两点,故得方程组：所以直线 BC 的解析式为： y=x+1；（2）要使以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形,就MD=OF ,如图 1 所示,设 M（x,x+1）,就 D（x,x2）, MD y 轴, MD= x+1x2,由 MD=OF,可得 |x+1x2|=1,当x+1x2=1 时,解得 x1=0（舍）或 x1= 3,所以 M （ 3,）,当x+1x2,= 1 时,解得, x=,所以 M（,）或 M（,）,综上所述,存在这样的点 M

19、,使以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形,M 点坐标为（3,）或（,）或（,）；（3）过点 F 作 FTBR 于点 T,如图 2 所示,点 B（m,n）在抛物线上, m2=4n,在 Rt BTF 中,BF=,n0, BF=n+1,又 BR=n+1,BF=BR BRF=BFR,又 BRl,EFl,BR EF, BRF=RFE, RFE=BFR,同理可得 EFS=CFS,RFS=BFC=90 , RFS 是直角三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 优秀教案欢迎下载第 15 页,共 23 页-

20、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载4如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=a（x+1）2 3 与 x 轴交于 A,B 两点（点 A 在点B 的左侧）,与 y 轴交于点 C（0,）,顶点为 D,对称轴与 x 轴交于点 H,过点 H 的直线 l 交抛物线于 P,Q 两点,点 Q 在 y 轴的右侧（1）求 a 的值及点 A,B 的坐标；（2）当直线 l 将四边形 ABCD 分为面积比为 3：7 的两部分时,求直线 l 的函数表达式；（3）当点 P 位于其次象限时,设 PQ 的中点为 M,点 N 在抛物线上,就以 DP 为对角线的四边

21、形 DMPN 能否为菱形？如能,求出点N 的坐标；如不能,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载解：（1）抛物线与 y 轴交于点 C（0,）a 3=,解得： a= , y=（x+1）2 3当 y=0 时,有（x+1）2 3=0,x1=2,x2= 4, A（ 4,0）,B（2,0）（2） A（ 4,0）,B（2,0）,C（0,）,D（ 1, 3）S 四边形 ABCD=S ADH+S 梯形 OCDH+S BOC=33+（+3）1+2 =10从面积分析知,直线 l 只能与边 AD 或 BC 相交

22、,所以有两种情形：当直线 l 边 AD 相交与点 M 1 时,就 S =10=3,3（ y）=3y = 2,点 M 1（ 2, 2）,过点 H（ 1,0）和 M 1（ 2, 2）的直线 l 的解析式为 y=2x+2当直线 l 边 BC 相交与点 M 2 时,同理可得点 M 2（, 2）,过点 H（ 1,0）和 M 2（, 2）的直线 l 的解析式为 y=x综上所述：直线 l 的函数表达式为 y=2x+2 或 y=x（3）设 P（x1,y1）、Q（x2,y2）且过点 H（ 1,0）的直线 PQ 的解析式为 y=kx+b, k+b=0, b=k, y=kx+k 由,+（ k）x k=0, x1+x

23、2= 2+3k,y1+y2=kx1+k+kx 2+k=3k 2,点 M 是线段 PQ 的中点,由中点坐标公式的点 M （k 1,k 2）假设存在这样的 N 点如图,直线 DN PQ,设直线 DN 的解析式为 y=kx+k 3由,解得： x1= 1,x2=3k 1, N（3k 1,3k 2 3）2,四边形 DMPN 是菱形, DN=DM ,（ 3k）2+（3k2）2=（）2+（整理得： 3k4 k2 4=0,k2+10,3k2 4=0,解得 k=, P（ 3 1,6）,M（ 1,2）,N（ 2 1,1）k0, k=PM=DN=2,PM DN,四边形 DMPN 是平行四边形,名师归纳总结 - -

24、- - - - -第 17 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载DM=DN ,四边形 DMPN 为菱形,以 DP 为对角线的四边形DMPN 能成为菱形,此时点N 的坐标为（2 1,1）5二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象经过点 （ 1,4）,且与直线 y=A 点在 y 轴上,过点 B 作 BCx 轴,垂足为点 C（ 3,0）（1）求二次函数的表达式；x+1 相交于 A、B 两点（如图）,（2）点 N 是二次函数图象上一点（点 N 在 AB 上方）,过 N 作 NPx 轴,垂足为点 P,交 AB于点 M,求 MN 的最大值；（3）在（ 2）的

25、条件下,点 N 在何位置时, BM 与 NC 相互垂直平分？并求出全部满意条件的 N点的坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载方法一：解：（1）由直线 y=x+1 可知 A（0,1）,B（ 3,）,又点（1,4）经过二次函数,依据题意得：,解得：,就二次函数的解析式是：y=x+1；（2）设 N（x,x2x+1）,就 M（x,x+1）,P（x,0）x+1）=x2x=（x+）2+,MN=PN PM=x2x+1 （就当 x=时, MN 的最大值为；（3）连接 MC、BN、BM 与 NC 相互垂直平分,

26、即四边形 BCMN 是菱形,就 MN=BC ,且 BC=MC ,即x2x=,且（x+1）2+（x+3）2=,解 x2+3x+2=0,得： x= 1 或 x= 2（舍去）故当 N（ 1,4）时, BM 和 NC 相互垂直平分方法二：（1）略（2）设 N（t,）, M（t,t+1）,MN=NY MY= + t 1, MN= ,当 t=时, MN 有最大值, MN=（3）如 BM 与 NC 相互垂直平分,就四边形 BCMN 为菱形NCBM 且 MN=BC=,即=, t1= 1,t2= 2,第 19 页,共 23 页t1= 1,N（ 1,4）,C（ 3,0）, K NC=2,K AB=, KNCK A

27、B = 1, NCBM 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载t2= 2,N（ 2,）,C（ 3,0）,K NC= =,K AB=, K NCK AB 1,此时 NC 与 BM 不垂直满意题意的 N 点坐标只有一个, N（ 1,4）名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载6已知直角梯形 ABCD 中 AD BC, B=90,AB=8 ,AD=24,BC=26,点 P 从 A 点动身,沿AD 边以 1 的速度向点 D 运动,点 Q 从

28、点 C 开头沿 CB 边以 3 的速度向点 B 运动, P,Q 分别从点 A、C 同时动身,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t第 21 页,共 23 页（1）当 t 为何值时,四边形PQCD 为平行四边形？（2）当 t 为何值时,四边形PQCD 为等腰梯形？名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载解：（1）依据题意得： PA=t,CQ=3t,就 PD=AD PA=24 t,AD BC,PD CQ,当 PD=CQ 时,四边形 PQCD 为平行四边形,即 24 t=3t,解得： t=6,即当 t=6 时,四

29、边形 PQCD 为平行四边形；（2）过 D 作 DEBC 于 E,就四边形 ABED 为矩形, BE=AD=24cm , EC=BC BE=2cm,当 PQ=CD 时,四边形 PQCD 为等腰梯形,如下列图：过点 P 作 PFBC 于点 F,过点 D 作 DEBC 于点 E,就四边形 PDEF 是矩形, EF=PD,PF=DE,在 Rt PQF 和 Rt CDE 中, Rt PQFRt CDE（HL）,QF=CE,QC PD=QC EF=QF+EC=2CE,即 3t （ 24 t）=4,解得： t=7,即当 t=7 时,四边形 PQCD 为等腰梯形名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 优秀教案欢迎下载第 23 页,共 23 页- - - - - - -