2022年正弦函数余弦函数的性质教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 三维目标1学问与技能 1懂得周期函数、周期函数的周期和最小正周期的定义2把握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期2过程与方法 让同学通过观看正、余弦线以及正、余弦函数图象得出正、余弦函数的周期性,并借助于诱导公式一赐予代数论证这一过程,使同学学会由详细形 象到抽象概括这一争论问题的方法3情感,态度与价值观 让同学自己探究学习正、余弦函数的图象性质,领悟从特别推广到一般的数学思想,体会三角函数图象所蕴涵的和谐美,激发同学学数学的爱好 重点、难点 重点：正弦函数、余弦函数的图象及其主

2、要性质 包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域 ；深化争论函数性质的思想方法难点：正弦函数和余弦函数的周期性,以及周期函数、最小正 周期的意义 教学建议 对于函数性质的争论,同学已经有些体会其中,通过观看函数的图象,从图象的特点获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应 用由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要熟悉清晰它在 一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就是完全清晰了,因此,教科书把对周期性的争论放在了首位另外,要使同学明白争论三角函数性质就是“ 要争论这类函数具有的共同特点” ,这是对数学摸索方向

3、的一种引导1周期性 可引导同学从正、余弦线,正、余弦函数图象以及诱导公式一即形与数两个方面,归纳总结“ 周而复始” 的变化规律,给出“ 周期性” 概念关于名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 正弦函数、余弦函数的周期与最小正周期,一般只要弄清定义,并依据正弦、余弦曲线观看出结果就可以了对于学有余力的同学,可以让他们尝试证明正弦、余弦函数的最小正周期是 2 .2其他性质与争论周期性的方法一样,依据正弦函数、余弦函数图象及函数解析式,同样可以直观地看出这两个函数的奇偶性、单调性、最大 小值等性质值得留意的是,对于周期函数性

4、质的争论,只要熟悉清晰它在一个周期内的性质,就可以得到它在整个定义域内的性质1正弦函数、余弦函数的奇偶性,无论是由图象观看,仍是由诱导公式进行证明,都很简洁所以,这一性质的争论可以交给同学自主完成2正弦函数、余弦函数的单调性,只要求由图象观看,不要求证明教学中要留意引导同学依据函数图象以及数学 1中给出的增 减函数定义进行描述详细的,可以先挑选一个恰当的区间 这个区间长为一个周期,且仅有一个单增区间和一个单减区间 ,对正弦函数在这个区间上的单调性进行描述；然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性对于余弦函数的单调性,可让同学类比正弦函数的单调性自己描述另外,从一个周期的区间推广到整个定

5、义域上去时,同学会有些不习惯,教学中要留给同学肯定的摸索时间,由他们自己归纳出正弦函数、余弦函数的单调区间的一般形式正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论由于问题比较简洁,所以可以由同学自己去争论同样的,对于取最大 小值时的自变量 x 的一般形式,也要留意引导同学利用周期性进行正确归纳 教学流程课标解读1.把握 ysin xxR,ycos xxR的周期性、奇偶性、单调性和最值重点 2会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简洁的三角函数问题难点 3明白周期函数、周期、最小正周期的含义易混点 学问点 1函数的周期性【问题导思】名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共

6、 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1观看以下实例：1海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜的时间里,潮水会涨落两次2钟表上的时针每经过12 小时运行一周,分针每经过1 小时运行一周,秒针每经过1 分钟运行一周上述两种现象,具有怎样的属性？【提示】周而复始,重复显现2观看正弦曲线和余弦曲线,正弦函数和余弦函数具有上述规律吗？哪个公式可以反映这种规律？【提示】具有 sinx2k sin x,cosx2k cos x. 1函数的周期性1对于函数fx,假如存在一个非零常数T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有fxTfx,那么函数fx就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的

7、周期2假如在周期函数fx的全部周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做fx的最小正周期2两种特别的周期函数1正弦函数 ysin x 是周期函数, 2k k Z 且 k 0都是它的周期,最小正周期是 2 .2余弦函数 ycos x 是周期函数, 2k kZ 且 k 0都是它的周期,最小正周期是 2 .学问点 2 正、余弦函数的奇偶性【问题导思】对于 xR,sinx sin x,cosxcos x,这说明正、余弦函数具备怎样的性质？【提示】奇偶性1对于 y sin x,x R 恒有 sinx sin x,所以正弦函数ysin x 是奇函数,正弦曲线关于原点对称名师归纳总结 - - - - -

8、 - -第 3 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2对于 y cos x,xR 恒有 cosxcos x,所以余弦函数ycos x 是偶函数,余弦曲线关于y 轴对称学问点 3 正、余弦函数的定义域、值域和单调性【问题导思】观看正弦函数、余弦函数的图象：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？【提示】R2正弦函数、余弦函数的值域各是什么？【提示】1,10,2 上函数值的变化有什么特点？y 由 1 减小3正弦函数在 2,3 2 上函数值的变化有什么特点？余

9、弦函数在【提示】ysin x 在 2, 2上,曲线逐步上升,是增函数,函数值y 由 1 增大到 1；在 2,3 2 上,曲线逐步下降,是减函数,函数值到 1；名师归纳总结 ycos x 在0, 上,曲线逐步下降,是减函数,函数值由1 减小到 1；在 ,2 上,曲线逐步上升,是增函数,函数值由1 增大到 1. 第 5 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数名称图象与ysin x ycos x性质性质分类相同处定义域R2R2值域1,11,1 周期性最小正周期为最小正周期为不同名师归纳总结 处图象第 6 页,共 27 页- - - - - -

10、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 奇偶性奇函数偶函数单调性在2k 2,2k 2kZ上是增函数； 在2k2,2k 3 2 k在2k ,2k kZ上是增函数； 在2 k,2k kZ上减函数Z上是减函数对称轴xk 2kZxk kZ 对称中心k,0,k Zk 2, 0 最值kZ x2k 2kZ 时, ymax1；x2k 2kZ 时,x2k 时, ymax1；x2k 时, ymin 1 ymin 1名师归纳总结 类型 1求三角函数的周期2可通过图象求周期第 7 页,共 27 页例 1求以下函数的最小正周期：1y sin 2x 3；2y|cos x|. 【思路探究】解答此题 1可利用代

11、换z 2x3,将求原先函数的周期转化为求ysin z 的周期再求解,或利用公式求解；【自主解答】1法一令 z 2x3,且 ysin z 的最小正周期为2 .sin 2x32 sin 2x43 ,因此 sin 2x3sin 2x 43- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由周期函数定义, T4 是 ysin 2x3的最小正周期法二fxsin 2x3的周期 T2 4. 22作 y|cos x|的图象,如下列图：由图象知 y|cos x|的最小正周期为 .规律方法1正弦函数、余弦函数的周期性,实质上是由终边相同角所具有的周期性打算的名师归纳总结 - - - -

12、- - -第 8 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2对于形如 yAsin x ,yAcos xA, 为常数,且 0函数的周期求法常直接利用T2 |来求解；形如y|Asin x|或 y|Acos x|的周期常结合函数的图象,观看求解互动探究如把例题中两个函数改为：1y1 3cos2x 3；2y cos|x|,试求函数的最小正周期【解】1 y1 3cos2x 3中, 2,函数的最小正周期为 T2 2 .2ycos|x|cos x,名师归纳总结 ycos|x|的最小正周期T2 .三角函数的奇偶性的判定第 9 页,共 27 页类型 2例 2判定以下函数的奇偶性：fx与

13、 fx及 fx的关系来判定1fx2sin 2x；2fxsin3x 43 2 ；3fx1cos xcos x1. 【思路探究】第一求出函数定义域,在定义域关于原点对称的前提下,依据- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【自主解答】1明显 xR,fx2sin2x2sin 2x fx,fx是奇函数2xR,fxsin3x 43 2 cos3x 4,fx cos 3 x4 cos3x 4fx,3x 3函数 fxsin 42 是偶函数1cos x03由,得 cos x1,x2k k Z,cos x10此时 fx0,故该函数既是奇函数又是偶函数规律方法1判定函数奇偶性要

14、按函数奇偶性的定义,定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的前提2要留意诱导公式在判定 fx与 fx之间关系时的作用变式训练判定以下函数的奇偶性：名师归纳总结 1fx2sin2x5 2 ；第 10 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2fxlgsin x1sin2x【解】1 函数的定义域为R,fx2sin2x5 2 2sin2x 22cos 2x,明显有fxfx成立ysinx 6的单调递增区间即fx2sin2x5 2 为偶函数求正、余弦函数的单调区间2函数定义域为R,fxlg sin x1sin 2x lgsin x11sin2x lg

15、sin x1sin2x fx函数 fxlgsin x1sin2x为奇函数类型 3例 3求函数 ysin 6 x的单调递减区间ysin 6x化为 y sinx 6形式,故只需求【思路探究】此题中自变量的系数为负,故第一利用诱导公式,将可名师归纳总结 【自主解答】ysin 6x sinx 6,第 11 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令 zx 6,就 y sin z,要求 y sin z的递减区间,只需求sin z 的递增区间,即 2k2 z2k 2,kZ,2k 3,2k2 3 ,k Z. 2k 2x 62k 2,k Z. 2k 3x 2

16、k2 3,kZ. 故函数 ysin 6x的单调递减区间为规律方法1求形如 yAsin xb 或形如 yAcos x b其中 A 0, w0,b 为常数 的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得2详细求解时留意两点：要把 x 看作一个整体,如 0,0 时,将 “ x”代入正弦 或余弦 函数的单调区间,可以解得与之单调性一样的单调区间；当 A0 时同样方法可以求得与正弦 余弦 函数单调性相反的单调区间变式训练名师归纳总结 求函数 y2cos 4x的单调递增区间第 12 页,共 27 页【解】y2cos 4x2cosx 4,由 2k x42k kZ得 2k3 4x2

17、k 4kZy2cos 4x的单调递增区间为2k3 4,2k 4k Z. 类型 4有关三角函数的最值问题- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4已知函数 y1abcos x 的最大值是3 2,最小值是 1 2,求函数 y 4asin 3bx 的最大值【思路探究】欲求函数 y 的最大值,须先求出a,为此可利用函数y1 的最大、最小值,结合分类争论求解【自主解答】函数 y1 的最大值是3 2,最小值是 1 2. 当 b0 时,由题意得ab3 2,a1 2,ab1 2,b1.当 b0 时,由题意得ab3 2,a1 2. ab1 2b 1因此 y 2sin 3x

18、 或 y2sin 3x. 函数的最大值均为 2. 规律方法1对于求形如yasin xb 或 yacos xb 的函数值域问题,一般情形下只要留意到正、余弦函数的性质“ 有界性 ” 即可解决留意当x 有详细范围限制时,需考虑sin x 或 cos x 的范畴2求解此类问题时,要先求三角函数值的范畴,然后再依据其系数的正负性质求解名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变式训练求函数 y32cos x,x 4, 4 的值域2【解】1 4x 4,2 2cos x1,1cos x2 2,22cos x 2,132cos x32

19、. 故函数 y32cos x,x 4, 4 的值域为 1,3易错易误辨析 忽视弦函数值域的有界性致误 典例 求函数 y12cos2x5sin x 的最大值和最小值【错解】y12cos2x5sin x2sin2x5sin x 1 名师归纳总结 2sin x5 4 233 8 33 8,第 14 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 函数 y12cos 2x5sin x 的最小值为33 8,没有最大值【错因分析】依据正弦函数的图象,可以发觉 sin x 的值介于 1,1之间,上述解答错误地将 sin x 的范畴当成了实数集 R,所以此题中的以

20、sin x为自变量的二次函数的定义域不是 R,而是 1,1【防范措施】定义域是函数的三要素之一,争论函数的性质一般要先考虑函数的定义域,三角函数也不例外,如忽视定义域这一细节,可能扩大自变量的取值范畴而导致错误【正解】y12cos2x5sin x233 8 . 4,当 tsin x 1 时,函数取得最大值6. 2sin2x5sin x 12sin x5 4 233 8 . 令 sin xt,就 t1,1,就 y2t5 4由于函数 y 在1,1上是增函数,所以当tsin x 1 时,函数取得最小值课堂小结1三角函数的最值、单调区间及三角函数值的大小比较等问题,能结合图象时肯定要联系图象进行综合摸

21、索,将数形有机结合起来2争论对称问题时肯定要留意最值点、平稳点及周期的必定联系,形成思维网络3争论三角函数的全部性质,都要在其定义域内进行当堂双基达标名师归纳总结 1以下函数中,最小正周期为 的是 第 15 页,共 27 页Aysin xBycos x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x Cysin 2Dycos 2x名师归纳总结 【解析】由 T2 |知 D 中函数的最小正周期为 .Dy|sin x| 第 16 页,共 27 页【答案】D 2以下函数是奇函数的是 Ayx2Bycos xCysin x【解析】由奇函数定义知ysin x 为奇函数【答案】C

22、 3函数 y cos x0x 3的值域是 A1,1 B 1 2, 1 C0,1 2 D1,0 【解析】ycos x 在0, 3上单调递减,cos 3ycos 0,即 1 2y1. 【答案】B 4求函数 y2sin 4x在, 上的减区间- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【解】y2sin 4x 2sinx 4令 zx 4,只需求 y 2sin z 的减区间,即求sin z 的增区间由 2k 2 x 42k 2, kZ,2k4x 2k3 4,kZ. 又 x,令 k0,就4x3 4,所求函数在 , 上的减区间是 4, 3 4 .课后知能检测一、挑选题名师归纳总

23、结 1正弦函数ysin x,xR 的图象的一条对称轴是 第 17 页,共 27 页Ay 轴Bx 轴C直线 xD直线 x2【解析】当 x 2时, y 取最大值, x 2是一条对称轴- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】C 2函数 y sin2x 0 是 R 上的偶函数,就 的值是 C. A0B.C.D42【解析】当 2时, ysin2x 2cos 2x,而 ycos 2x 是偶函数,应选【答案】C 3函数 y 12cos 2x 的最小值,最大值分别是 A 1,3 B 1,1 C0,3 D0,1 【解析】cos 2x1,1,2cos 2x2,2,y12

24、cos 2x1,3,ymin 1,ymax3. 名师归纳总结 【答案】A 第 18 页,共 27 页4函数 fx3sinx 6在以下区间内递减的是A2, 2 B,0 C2 3,2 3 D 2,2 3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】令 2k 2x 62k 3 2,kZ 可得2k3x2k 4 3,k Z,函数 fx的递减区间为 2k 3,2k4 3 ,k Z. 【答案】D 5以下关系式中正确选项 Asin 11 cos 10 sin 168Bsin 168 sin 11 cos 10 Csin 11 sin 168 cos 10 Dsin 16

25、8 cos 10 sin 11【解析】sin 168 sin180 12sin 12 ,cos 10 sin90 10sin 80 . 由正弦函数的单调性得 sin 11 sin 12 sin 80,即 sin 11 sin 168 0 时, fxsin 2xcos x就 x0 时, fx_. 【解析】当 x0,fxsin2xcosx,fx sin 2 xcos x. fx为奇函数,fx fx,fx sin 2xcos xsin 2xcos x. 【答案】sin 2xcos x三、解答题名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - -

26、- - 9判定以下函数的奇偶性：1fxsin2x3 2 ；R,fxsin2 x3 2 cos 2x,2fxsin x 1sin x. 1sin x【解】1 函数 fx的定义域是fx cos2x cos 2xfxfx是偶函数2由题意,知sin x 1,即 fx的定义域为 x|x 2k 2 ,kZ ,此函数的定义域不关于原点对称fx是非奇非偶函数名师归纳总结 10求函数 y3sin3x 2的单调递增区间11 34k kZ第 21 页,共 27 页【解】y3sin 3x 2 3sinx 2 3由2 2kx 233 22k,kZ,解得：5 34kx11 3 4k,k Z,函数 y3sin3x 2的单调

27、增区间为5 34k,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 11已知函数fx 2asin2x 3b 的定义域为 0, 2,最大值为1,最小值为 5,求 a 和 b 的值【解】0x 2, 3 2x 32 3,2sin2x 3 1,易知 a 0. 当 a0 时, fxmax2ab 1,fxmin3ab 5. 2ab1由,3ab 5a12 6 3解得 . b 2312 3当 a0 时, fxmax3ab1,fxmin 2ab 5. 由3ab1,解得a 126 3. 2ab 5b19123【老师备课资源】1比较大小名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页

28、,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 比较以下各组值的大小名师归纳总结 1sin 21 5与 sin 42 5；内的角,再依据单调性比较大小2先化为同名函数再进行比较第 23 页,共 27 页2sin 194与 cos 160 . 【思路探究】1第一将角21 5和42 5化为 0,2【解】1 由于 sin 21 5sin4 5sin 5,sin 42 5sin82 5 sin 2 5 . 又 0 52 5 2,而 ysin x 在0, 2上单调递增,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 sin 5sin 2 5,即 sin

29、21 5 sin 42 5 . 名师归纳总结 2由于 sin 194 sin180 14 sin 14,第 24 页,共 27 页cos 160 cos180 20 cos 20 sin 70,又 014 70 90 ,而 ysinx 在0, 2上单调递增,所以 sin 14 sin 70,即 sin 194cos 160. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 借助正弦、余弦函数的单调性可以比较两个三角函数值的大小,关键是将两个三角函数值化为在同一个单调区间内的两个角的同名三角函数值对于正弦函数来说,一般将两个角转化到 2, 2或 2,3 2 内；对于余

30、弦函数来说,一般将两个角转化到,0或0, 内比较以下各组数的大小：名师归纳总结 1sin 320与 sin 700；第 25 页,共 27 页2cos 17 8与 cos37 9. 【解】1 sin320sin36040 sin 40,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sin 700 sin72020sin 20, 又函数 ysin x 在 2,2上是增函数,sin 40 sin20 ,sin320 sin 700 . 17 2cos 8cos2 8 cos 8,cos37 9cos4 9cos 9,又函数 ycos x 在0, 上是减函数, cos

31、8cos 9,17 37cos 8 cos 9 . 2学问拓展正弦函数、余弦函数图象对称性的应计策略1由正弦曲线和余弦曲线可知：函数 ysin x 和 ycos x 既是中心对称图形,又是轴对称图形名师归纳总结 ysin x 的对称中心为 k,0kZ,对称轴为xk 2kZ第 26 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ycos x 的对称中心为 k 2,0kZ,对称轴为xk kZ2例如：如函数fxsin xacos x 的图象关于直线x 6对称,就 a_. x 6,从而求出a 的值,也可用特例法来求解：【解析】可先对 fx的解析式化简,要求其对称轴方程,使其中的一个对称轴方程为fx的图象关于直线x 6对称,f0f 3, 即 asin 3acos 3,a3,故填3. 【答案】3 3由函数图象的对称性可知：名师归纳总结 如 fxsin x,且 faxfax对任意实数x 恒成立,就ak 2kZx 恒成立,就a k kZ. 第 27 页,共 27 页如 fxcos x,且 fa x fax对任意实数- - - - - - -