2022年概率论与数理统计公式整理4.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式全2022-1-1 1排列 组合公式 2加法和 乘 法 原理 3一些 常见排列 4随机 试 验 和 随机大事第 1 章随机大事及其概率n P mm .n .从 m个人中挑出n 个人进行排列的可能数;mCnn .m .n.从 m个人中挑出n 个人进行组合的可能数;mm加法原理两种方法均能完成此事:m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,其次种方法可由n种方法来完成,就这件事可由m+n 种方法来完成;乘法原理两个步骤分别不能完成这件事:m n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,其次个步骤可
2、由n 种方法来完成,就这件事可由m n 种方法来完成;重复排列和非重复排列有序对立大事至少有一个次序问题 假如一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果,就称这种试验为随机试 验;试验的可能结果称为随机大事;在一个试验下, 不管大事有多少个,总可以从其中找出这样一组大事,它具有如下性质:每进行一次试验,必需发生且只能发生这一组中的一个大事; 5基本 领件、样本 空 间 和 事件任何大事,都是由这一组中的部分大事组成的;这样一组大事中的每一个大事称为基本大事,用来表示;基本大事的全体,称为试验的样本空间,用表示;一个大事就是由中的
3、部分点基本大事组成的集合;通常用大写字母A,B,C, 表示大事,它们是的子集;为必定大事,.为不行能大事;不行能大事 .的概率为零,而概率为零的大事不肯定是不行能大事;同理,必定大事 的概率为1,而概率为1 的大事也不肯定是必定大事;关系: 6大事 的 关 系 与 运算假如大事 A 的组成部分也是大事B的组成部分, A发生必有大事B 发生:AB假如同时有AB,BA,就称大事A 与大事 B 等价,或称A 等于 B:A=B;A、B中至少有一个发生的大事:AB,或者 A+B;属于 A而不属于 B 的部分所构成的大事,称为A与 B的差,记为A-B,也可表示为 A-AB或者AB,它表示 A 发生而 B不
4、发生的大事;A、B同时发生: AB,或者 AB;AB=.,就表示A与 B 不行能同时发生,称大事 A 与大事 B 互不相容或者互斥;基本大事是互不相容的;1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式全2022-1-1 -A 称为大事 A的逆大事,或称A 的对立大事,记为A ;它表示 A不发生的大事;互斥未必对立;运算:结合率: ABC=ABC A BC=A BC 安排率: AB C=AC BC A BC=ACBC 德摩根率:i1A ii1A iABAB,ABABPA ,假设设为样本空间,A 为大事,
5、对每一个大事A 都有一个实数满意以下三个条件:1 0 PA 1, 7概率2 P =1 1A ,A , 有3对于两两互不相容的大事的 公 理 化定义PA iPA iii1常称为可列完全可加性;就称 PA 为大事A的概率; 8古典 概型 9几何 概型10加法 公式11,2n,2 P1P2Pn1;n设任一大事A ,它是由1,2m组成的,就有PA=12m =P1P 2P mmA所包含的基本大事数n基本大事总数假设随机试验的结果为无限不行数并且每个结果显现的可能性匀称,同时样本空间中的每一个基本大事可以使用一个有界区域来描述,就称此随机试验为几何概型;对任一大事A,PA LA;其中 L 为几何度量长度、
6、面积、体积;LPA+B=PA+PB-PAB 当 PAB 0 时, PA+B=PA+PB PA-B=PA-PAB 11减法当 BA时, PA-B=PA-PB PA0 ,就称PAB为大事 A 发生条件下,事公式当 A= 时, P B =1- PB 定义 设 A、B是两个大事,且12条件PA概率件 B 发生的条件概率,记为PB/APAB;P A1 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式全2022-1-1 条件概率是概率的一种,全部概率的性质都适合于条件概率;13乘法例如 P /B=1P B /A=1-P
7、B/A An|A 1A2乘法公式:PABPA PB/A更一般地,对大事A1,A2, An,假设 PA1A2 An-10 ,就有PA 1A2AnPA 1PA2|A 1 PA3|A 1A2 P公式An1 ;两个大事的独立性设大事A、B满意PABPAPB,就称大事A 、B 是相互独立的;假设大事 A 、 B 相互独立,且PA 0,就有PB|A PABPAPB PBPA PA假设大事 A 、 B 相互独立, 就可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互14独立独立;. 与任何大事都相互独立;性必定大事和不行能大事. 与任何大事都互斥;多个大事的独立性设 ABC是三个大事,假如满意两两
8、独立的条件,PAB=PAPB ;PBC=PBPC ; PCA=PCPA 并且同时满意 PABC=PAPBPC 那么 A、B、C相互独立;对于 n 个大事类似;15全概设大事B1 ,B2,Bn,Bn满意PBi0i,1,2,n ,1B1 ,B2 ,两两互不相容,Ani,B公式2i1就有PAPB1 P A|B 1PB2PA|B2PBiPBnPA|Bn ;设大事B ,B , ,B 及 A 满意0,i1,2, , n ,1B ,B , ,B 两两互不相容,n2Ai1iB,P A 0,就16贝叶P B i/A jnP B iP A/B ij,i=1 ,2, n;斯公式P BjP A/B1此公式即为贝叶斯公
9、式;17伯努 利概型P iB ,i 1,2 , ,n,通常叫先验概率;P B i / A ,i 1,2 , ,n ,通常称为后验概率;贝叶斯公式反映了“ 因果” 的概率规律,并作出了“ 由果朔因” 的推断;我们作了 n 次试验,且满意每次试验只有两种可能结果,A 发生或 A 不发生;1 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式全2022-1-1 n 次试验是重复进行的,即A 发生的概率每次均一样;1离散 型 随 机 变量 的 分 布 律每次试验是独立的,即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否
10、是互不影响的;这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验;用p表示每次试验A 发生的概率,就A 发生的概率为1pq,用Pnk表示n重伯努利试验中A 显现k0kn 次的概率,PnkCkpkqnk,k0 ,1,2 ,n;n其次章随机变量及其分布设离散型随机变量X 的可能取值为Xkk=1,2, 且取各个值的概率,即事件X=Xk 的概率为 PX=xk=p k,k=1,2, ,就称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律;有时也用分布列的形式给出:PXXx k|x 1 ,x2 ,xk,;p1 ,p2 ,p k明显分布律应满意以下条件:2连续 型 随 机 变 量 的 分 布 密度1p k0,k,12,
11、2k1pk1;设Fx是随机变量X 的分布函数,假设存在非负函数f x ,对任意实数 x ,有Fxxfx dx,就称 X 为连续型随机变量;fx称为 X 的概率密度函数或密度函数,简称概率密度;3离散密度函数具有下面4 个性质:PXxkpk在离1fx0;2fx dx1;PXxPxXxdxfxdx与 连 续 型随 机 变 量积分元fxdx在连续型随机变量理论中所起的作用与的关系散型随机变量理论中所起的作用相类似;1 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式全2022-1-1 4分布设 X 为随机变量,x
12、 是任意实数,就函数a,b 的概率;分布函数FxPXx 称为随机变量X 的分布函数,本质上是一个累积函数;PaXbFb Fa可以得到X 落入区间函数Fx 表示随机变量落入区间, x 内的概率;分布函数具有如下性质:10Fx1 ,x;Fx1 1Fx2;2Fx是单调不减的函数,即x 1x 2时,有3Flim xFx0,Fx;Flim x4Fx0Fx,即Fx是右连续的;5PXxFxFx0 ;对于离散型随机变量,Fx pk;xkxx5八大对于连续型随机变量,Fx fx dx;0-1 分布PX=1=p, PX=0=q 分布二项分布在 n 重贝努里试验中,设大事A 发生的概率为p ;大事 A 发生的次数是
13、随机变量,设为X ,就 X 可能取值为0,1,2 ,n;其中P XkP n kCkpkqnk,nq1p,0p1 ,k01, 2,n,就 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n , p 的 二 项 分 布 ; 记 为XBn,p;Xkpkq1k,k01.,这就是 0-1 分P 当n1时,布,所以 0-1 分布是二项分布的特例;1 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 29 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式全2022-1-1 泊松分布 设随机变量 X 的分布律为kPXkk.e,0 ,k0,1,2,X或就称随机变量X 听从参数为的泊松
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