2022年求二次函数解析式-综合题-练习+答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载求二次函数解析式：综合题例 1 已知抛物线与x 轴交于 A-1 ,0 、B1,0 ,并经过 M0,1 ,求抛物线的解析式分析：此题可以利用抛物线的一般式来求解,但因A-1 ,0 、B1,0 是抛物线与 的解法x 轴的交点,因此有更简捷假如抛物线yax2bxc 与 x 轴 即 y=0 有交点 x 1,0 ,x 2,0 那么明显有x 1、x2 是一元二次方程ax2bxc=0 的两个根 因此,有ax2+bxc=ax-x1x-x2 抛物线的解析式为y=ax-x1x-x2 * x 轴交点的横坐标 其中 x1、x 2是抛物线与我们将 *

2、称为抛物线的两根式名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载对于本例利用两根式来解就更为便利解： 抛物线与x 轴交于 A-1 ,0 、B1,0 设抛物线的解析式为 yax 1x-1 又抛物线过 a=-1 M0,1 ,将 x=0,y=1 代入上式,解得函数解析式为y=-x21说明：一般地,对于求二次函数解析式的问题,可以小 结如下：三项条件确定二次函数；求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；二次函数的解析式有三种形式：到底选用哪种形式,要依据详细条件来打算例 2 由右边图象写出二次函数的解析式名师归纳总结

3、 - - - - - - -第 2 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载分析：看图时要留意特别点例如顶点,图象与坐标轴的交点解：由图象知抛物线对称轴x=-1 ,顶点坐标 -1 ,2 ,过原点 0 ,0 或过点 -2 ,0 设解析式为y=ax 12+2 过原点 0 ,0 ,a 2=0,a=-2 故解析式为y=-2x+12+2,即 y=-2x2-4x 说明：已知顶点坐标可以设顶点式此题也可设成一般式y=ax2+bxc,过顶点 -1 ,2 和过原点 0 ,0 ,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 31 页精选学习资料 - - - -

4、 - - - - - 精品资料 欢迎下载此题仍可以用过点0 ,0 ,-2 ,0 而设解析式为y=ax+2 x 再将顶点坐标 1 ,2 代入求出 a例 3 依据以下条件求二次函数解析式1 如函数有最小值 -8 ,且 abc=12-3 2 如函数有最大值2,且过点 A-1 ,0 、B3,0 3 如函数当 x-2 时 y 随 x 增大而增大 x -2 时, y 随 x 增大而减小 ,且图象过点 2 ,4 在 y 轴上截距为 -2 分析：1 由 abc=12 -3 可将三个待定系数转化为求一个 k即设 a=k,b=2k,c=-3k2 由抛物线的对称性可得顶点是 1 ,23 由函数性质知对称轴是 x=-

5、2 解：1 设 y=ax2bx+c abc=12-3 设 a=k,b=2k,c=- 3k 有最小值 -8 解析式 y=2x 2+4x-6 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2 图象过点A-1 ,0 、B3,0 ,A、B 两点均在 x轴上,由对称性得对称轴为 x=1又函数有最大值 2,顶点坐标为 1 ,2 ,设解析式为 y=ax-1 223 函数当 随 x 增大而减小x-2 时 y 随 x 增大而增大, 当 x-2 时 y对称轴为x=-2 设 y=ax+22+n 过点 2 ,4 在 y 轴上截距为

6、-2 ,即过点 0 ,-2 说明：题 3 也可设成 y=ax2bxc,得：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载题2 充分利用对称性可简化运算例 4 已知抛物线 y=ax 2bxc 与 x 轴相交于点 A-3 ,0 ,对称轴为 x=-1 ,顶点 M到 x 轴的距离为 2,求此抛物线的解析式分析：此例题给出了三个条件,但实际上要看到此题仍有隐含条件,如利用 A 点关于对称轴 x=-1 对称的对称点A1 , 0 ,因此可以把问题的条件又充实了,又如已知顶点 M到 x 轴的距离为 2,对称轴为 x=-1 ,

7、因此又可以找顶点坐标为 -1 , 2 ,故可利用顶点坐标式求出函数的解析式,此题的解法不唯独,下面分别介绍几种解法解法 一 ：抛物线的对称轴是x=-1 ,顶点 M到 x 轴距离为 2,名师归纳总结 顶点的坐标为M-1 ,2 或 M -1 ,-2 第 6 页,共 31 页故设二次函数式y=ax 122 或 y=ax+12-2 又抛物线经过点A-3 ,0 0=a -3 122 或 0=a-3 12-2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载所求函数式是解法 二 ：依据题意：设函数解析式为y=ax2bxc 点 A-3 ,0 在抛物线上0=9a-

8、3b c 又对称轴是 x=-1 顶点 M到 x 轴的距离为 2 解由,组成的方程组：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载所求函数的解析式是：解法 三 ：抛物线的对称轴是x=-1 x=-1 对称的对称点A1 ,又图象经过点A-3 ,0 点 A-3 ,0 关于对称轴0 设函数式为 y=ax+3x-1 把抛物线的顶点 函数式,得2=a-1 3-1-1M的坐标 -1 ,2 或-1 ,-2 分别代入或-2=a-1 3-1-1 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 31 页精选学习资料 - -

9、 - - - - - - - 精品资料 欢迎下载解关于 a 的方程,得所求函数式为：说明：比较以上三种解法, 可以看出解法 一 和解法 三 比解法 二 简便M点到 x 轴的距离为2,纵坐标可以是2,也可以是 -2 ,不要漏掉一解例 5 已知抛物线y=x2-6x m与 x 轴有两个不同的交点A和 B,以 AB为直径作 C,1 求圆心 C的坐标2 是否存在实数m,使抛物线的顶点在C上,如存在,求出 m的值；如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载分析： 1 依据抛物线的对称性,由已知条件

10、 AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与 x 轴的交点2 依据圆与抛物线的对称性知,抛物线的顶点是否在C 上,需要看顶点的纵坐标的肯定值是否等于C 的半径长,依据这个条件,列出关于 m的方程,求出 m值后再由已知条件做出判定解： 1 y=x 2-6x m=x-3 2+m-9 抛物线的对称轴为直线 x=3 抛物线与 x 轴交于 A 和 B 两点,且 AB是C 的直径,由抛物线的对称性圆心 C的坐标为 3 ,0 2 抛物线与x 轴有两个不同交点 = -b 2-4m0,m 9 设 Ax 1,0 ,Bx 2,0 抛物线的顶点为 P3,m-9 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 31

11、页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载解得： m=8或 m=9 m 9,m=9 舍去m 8 当 m=8时,抛物线的顶点在C 上说明“ 存在性” 问题是探干脆问题的主要形式解答这 类问题的基本思路是：假设“ 存在” 演绎推理得出 结论 合理或冲突 例 6 已知抛物线 y=ax 2bxc,其顶点在 x 轴的上方,C0,3 ,与 x 轴交于点 A 及点 B6,0 又 它与 y 轴交于点 知方程： ax 2bxc0a 0 两根平方和等于 401 求抛物线的解析式；2 试问： 在此抛物线上是否存在一点P,在 x 轴上方且使 S PAB=2S CAB假如存在,求出点 P 的

12、坐标；假如不存在,说明理由分析：求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式,通过解方程组求出系数也就得到解析名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载式第 2 问中问是否存在那么假设存在进行推理,从而判断存在或不存在解： 1 由题设条件得抛物线顶点为 2 ,4 又 A 点坐标为 -2 ,0 ,而 ABC与 PAB同底,且当 PAB面积最大P 点位于抛物线顶点时,明显, S PAB=162S ABC=2 12=24故在 x 轴上方的抛物线上不存在点P 使 S PAB=2S CAB名师归纳总结

13、 - - - - - - -第 12 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载例 7 在一块底边长为 a,高为 h 的三角形的铁板 ABC上,要截出一块矩形铁板EFGH,使它的一边FG在 BC边上, 矩形的边 EF等于多长时,矩形铁板的面积最大分析：问题问“ 矩形的边EF等于多长时,矩形铁板的面积最大” ,所以题目的目标是矩形面积S 而自变量就是EF 的长 x ,因此问题的关键就是用EFx 表示矩形面积S,这就要用 EF表示出 EH解： 设内接矩形EFGH中,AMBC,EH BC,设 EF=x0xh 就 AN=h-x 设矩形 EFGH的面积为 S 名

14、师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载说明：解决联系实际的问题,又与几何图形有关就应综合应用几何、代数学问,利用相像成比例列出函数式再求最值例 8 二次函数 y=ax 2bx-5 的图象的对称轴为直线 x=3,图象与 y 轴相交于点 B,1 求二次函数的解析式；2 求原点 O到直线 AB的距离分析：为直线 x=3,来求系数 充分应用a,b留意根与系数关系定理的名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载为求原点

15、O到直线 AB的距离要充分利用三角形特点和勾股定理解： 1 如图,由已知,有x 1+x2 2-2x 1x2=26,名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载a=-1 解析式为y=-x26x-5=-x-3242 OB=5, OC=4,AC=3, AOB为等腰三角形,作ODAB 于 D,说明：有部分同学把二次函数的顶点坐标记错,也有的 同学不会用“ 根与系数的关系” ,得不出解析式有不少学生没有发觉AOB是等腰三角形,如发觉为等腰三角形,OD是底边 AB的高,利用勾股定理就迎刃而解了发生错误的缘由,没记熟抛

16、物线的顶点坐标公式,有的 同学登记来了,但与两个根如何综合使用发生了问题,有些 同学求点 O到直线 AB的距离,没有分析出图形与数量关系,名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载其实 AOB是等腰三角形, 知道这一性质求 多了OD的数据就便利订正错误的方法,加强抛物线顶点坐标的学习、顶点坐 标与巧用“ 根与系数的关系” 的学习；另外,也要加强查找 特别点的学习一般说,无论多难的题目,总是有解题规律 的在几何图形中,经过仔细分析,有的题目总含等边三角 形、等腰三角形、直角三角形例 9 设 A,B 为抛物

17、线 y=-3x2-2x k 与 x 轴的两个相异交点, M为抛物线的顶点,当MAB 为等腰直角三角形时,求 k 的值分析：第一按题意画出图形,再运用抛物线的对称性挖掘题中的隐含条件,来解答此题,得出解后要分析解的合理性进行取舍解：抛物线与x 轴有两个相异交点,故 0,即名师归纳总结 -22- 4 -3k 0,第 17 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载解关于 k 的不等式,得依据题意,作出图象,如图设 N为对称轴与x 轴的交点,由抛物线的对称性知,N为 AB中点AMBRt,且 MN的长即为 M点的纵坐标,又设 A 点坐

18、标 x 1,0 ,B 点坐标 x 2,0 ,就有名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载解关于 k 的方程,得k 0说明： 此题有一个重要的隐含条件,即要使抛物线与x轴有两个相异交点,应第一满意 02 此题要求同学会运用抛物线的对称性观看图形,联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个重要定理,找到等量关系,列出关于 定理的才能,将得不到关于k 的方程,假如没有这种敏捷运用 k 的方程,难以求解名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - -

19、 - - 精品资料 欢迎下载例 10 某商场将进货单价为18 元的商品,按每件20 元销售时,每日可销售100 件,假如每提价1 元 每件 ,日销售量就要削减10 件,那么把商品的售出价定为多少时,才能使每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？分析：此题主要涉及两个量,即售出价和每天获得的 利润而每天获得的利润是随着售出价的转变而转变的,所 以要找到二者的函数关系式,应把售出价设为自变量,把每天获得的利润看作是售出价的函数就可列出二者的函数关系式这样,再依据已知条件,解： 设该商品的售出价定为 x 元件时, 每天可获得 y元的利润即每件提价 x-20 元 ,每天销售量削减10x-20 件 ,

20、也就是每天销售量为 100-10x-20 件 ,每件利润 x-18 元 依据题意,得：yx-18100-x-20 10=-10x 2+480x-5400 =-10x-24 2+36020 x30y 是 x 的二次函数名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载a=-10 0,202430当 x=24 时, y 有最大值为 360答：每件售出价为24 元时,才能使每天获得的利润最大,每天的最大利润是 360 元例 11 改革开放后,不少农村用上了自动喷灌设备,如图所示,设水管 AB高出地面 1.5 米,在

21、B 处有一个自动旋转的喷水头,一瞬时,喷出的水流呈抛物线状,喷头 B 与水流最高点 C的连线与水平面成 45 角,水流的最高点 C比喷头 B 高出 2 米,在所建的坐标系中,求水流的落地点 F 到 A点的距离是多少？分析：要求点F 到 A 点的距离,也就是求A、F 两点横坐标的差又A 点横坐标为0,所以只需求出F 点横坐标 F点在抛物线上是抛物线与 求出抛物线的解析式x 轴的交点,所以要依据已知条件,解：过 C点作 CDOx 于 D,BECD 于 E,就有 CE=BE2,AB=DE=1.5,就 B0 ,1.5 ,C2,3.5 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 31 页精

22、选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载C 为抛物线的最高点,例 12 如图,这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图地导弹运行达到距地面最大高度 4 千米 即图中 E 点 3 千米时,相应的水平距离为1 如导弹运行轨道为一抛物线,求抛物线的解析式；2 说明按 1 中轨道运行的导弹能否击中目标 C的理 由名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载分析：题中的实际条件转化成数学意义就是已知抛物线的顶点 E,而且过点D求抛物线的解析式以及判定C是否在曲线上解： 1 设

23、抛物线的解析式为y=ax-42+3 2 设 Cx 0,y0 ,过 C点作 CBOx,垂足为 B在 Rt OBC和 Rt ABC中, OA=1,名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载例 13 已知函数 y1=-x 2+b1x+c1与 x 轴相交于原点 O0,0和点 A4 ,0 ,如函数 y2=-x2+b2x+c 2,b 1 b 2 也经过点 A,且 y1 与 y2的顶点所在直线平行于 x 轴1 求两个函数的解析式2 当 x 为何值时, y1y2分析：解答第 1 题的关键是求y2的解析式,由题意可知 a

24、1=a2=-1 ,因此可以判定两条抛物线的外形和开口方向都相同, 再利用 y1与 y2的顶点所在直线平行于x 轴,可判定出y1和 y2在 x 轴上截得的线段长相等,从而求出 y2 与 x 轴另一个交点 B8,0 ,由 A,B 点都是抛物线与析式为 y=ax-x1x-x2 形式x 轴交点,可设解解：1 y1=-x2+b1x+c 1过点 O0,0 ,A4,0 0=0 0c1 c 1=0 0=-16+4b 1+0 b 1=4 函数 y1=-x 2+4x a 1=a2=-1 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢

25、迎下载两条抛物线的外形,开口方向相同又y 1 与 y 2的顶点所在直线平行于 x 轴y 1 与 y 2的顶点纵坐标相等b1 b 2,y1与 y2 都经过 A4,0 点y 2 与 x 轴的另一个交点是点 B8,0 y2=-x-4x-8 =-x 212x-32 注：以上求 y2的解析式是采纳数、形结合的方法,进行推理得到的,此外,也可用运算方法求到 y2的解析式,详细解法如下：y 1 的顶点是 2 ,4 b2和 c2,然后写出y1与 y2的顶点所在直线平行于 x 轴y 1 与 y 2的顶点纵坐标相等,y2 又过点 A4,0 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页,共 31 页精选学习

26、资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载b1=4,而 b1 b2 b2=4 舍去 y 2=-x 2+12x-32 解： 2 如要使 y1y2 只要使 -x 2+4x-x 2+12x-32 即可 解不等式,得 x4 当 x4 时, y1y2 例 14 m是怎样的数值时, 二次函数 ym-2x 2-4mx+2m-6 的图象与 x 轴的负方向交于两个不同点分析：二次函数的图象与x 轴的负方向交于两个不同点的条件是二次项系数不为零,判别式大于零,两根之和小于零,两根之积大于 方程的两根 解：0 所谓两根是这个函数对应的一元二次设二次函数与 x 轴两交点的横坐标为 x1,x 2要使它

27、的图象与 x 轴两交点都在 x 轴的负方向上,应满足不等式组：名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载解得 1m2答：当 1m2 时,二次函数 y=m-2x 象与 x 轴的负方向交于两个不同点2-4mx+2m-6 的图对二次函数式中的m不知代表什么, 也无从下手求m当抛物线与 x 轴相交时, y=0,两个交点的横标即为方程的两 个根,两个根在原点的左方,列不出算式,不知道列出这种 算式与“ 根与系数的关系” 有关总之有不少同学没有把握 二次函数与一元二次方程的内在联系而解题失败发生错误的缘由,不知道在

28、一元二次函数式中的 m其实质是参数一元二次方程的根在直角坐标系x 轴上的分布理论如何表达,很多同学不清晰解不等式功底不深厚也会发 生错误名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载订正错误的方法,加强一元二次函数式的学习,m属于实数,任给 m一个数值,就存在一条详细数值的抛物线,给出 m的数值是无穷的,随着m值的不同也产生了不同的抛物线,可用“ 抛物线族” 这个名词去表达此题的一元二次函数表达式所勾画的抛物线是无穷无尽的另外也要加强方程理论、根与系数关系、根的判别式的学习例 15 已知抛物线 l ：y=x

29、2-k-2x+k+121 证明：不论 k 取何值,抛物线 l 的顶点总在抛物线y=3x 212x9 上；2 要使抛物线 y=x 2-k-2xk 1 2和 x 轴有两个不同的交点 A,B,求 k 的取值范畴；3 当2 中的 A,B 间距离取得最大值时,设这条抛物线顶点为 C,求此时的k 值和 ACB的度数分析：把 l 的顶点坐标用 k 的代数式表示分别代入y=3x 2+12x+9 的左、右后能使两边相等说明顶点在抛物线y=3x 2+12x+9 上抛物线与 x 轴交点的情形就是相应一元二次方程有无实根的情形解：AB间距离又可列出反的二次函数名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共

30、31 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载左边 =右边,所以不论 k 取何值,抛物线 l 的顶点总在抛物线 y3x 2+12x+9 上2 欲使抛物线 l 与 x 轴有两个交点,就 0,即 = -k-2 2-4k+1 2=-3k 2-12k 0,解之, -4 k03 当-4 k0 时,抛物线 l 与 x 轴有两个不同的交点A,B,设 Ax 1,0 ,Bx 2,0 ,且 x1x2,名师归纳总结 x1x2k-2 ,x 1x2k 12,第 29 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 说明：不明白“ 不论精品资料欢迎

31、下载l 的顶点总在抛k 取何值,抛物线物线 y=3x 2+12x+9” 上这句话的意思,实质上就是方程与曲线的关系,点在曲线上,即点的坐标满意曲线的方程；将抛物线顶点坐标的表达式代入抛物线函数式左右相等,即达到1 提问；不知道抛物线与x 轴相交,是 0,无法运算而失败；不知道用“ 根与系数的关系” 以及截距公式,不会巧用“ 根与系数的关系” ,求不出最大值,因而求不出y=ax2bxca 0 的 a,b,c,使该题后面的提问无法进行；在x 轴与抛物线顶点所构造出的三角形中,求边长时没有肯定值的概念、正切函数值不熟识而求不出ACB=60 发生错误的缘由,此题是综合题,而且是中考的考题,要顺当而正确

32、地回答出此题全部答案,从初一至初三所学的 数学学问应当坚固把握,第一问求出抛物线顶点坐标表达式,将表达式代入1 的函数式,如相等,即满意了函数式的要求,按中学阶段属于验根的手段,按高中就是曲线与方 程的关系了这个不难的问题为什么同学束手无策呢？只是 用文字表示了顶点坐标,很抽象,不易懂得此题的难度之名师归纳总结 一是显现了“k” ,这个“k” 其本质起到了参数作用有些第 30 页,共 31 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载同学不明白 0,有两个不等的实数解,按几何的观点就是曲线有两个不同的交点,系中就是相切抛物线与 =0 有二重根

33、, 在圆与直线的关 x 轴的截距是很重要的概念,它与高中的解析几何、数列沟通,在求截距的极值时,必需学会 巧用“ 根与系数的关系” 在直角坐标系中用坐标求解三角 形面积和边长均用肯定值的概念,必需是非负数,有时同学 忽视这些概念而发生错误问题多集中于运用截距公式时不 会巧用“ 根与系数的关系” ,算不出极值；对正负号的本质熟识不深刻,比如说,抛物线与x 轴相交于两点,其两点的纵坐标均为 0,而横坐标 x1=-3 ,x2=2,这又如何处理？代入公式, |AB|=|x 1-x 2|=|-3-2|=5,这是正确的有的同学不是这样作,而是 |AB|=|2-3|=1,这就错了,这一点必需给以订正求正切函数值也要留意,两条直角边的比要搞正确,不 要搞颠倒了总之,“ 根与系数的关系” 、根的判别式、解 不等式以及求极值在此题中是有机的整体,相互制约、相辅 相成,它们的关系与联系要一清二楚,解此题才能达到运用 自如的程度名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页,共 31 页