江苏地区南京市2015年度届高三第三次模拟考试数学试题.doc

_* 南京市2015届高三年级第三次模拟考试 数 学 2015.05 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝ xi． 锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上． 1．已知复数z＝－1，其中i为虚数单位，则z的模为 ▲ ． 2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ． 3．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值是 ▲ ． N S←40 开始 k←1 k←k＋1 S≤0 Y 输出k 结束 S←S－2k （第4题图） 4．右图是一个算法流程图，则输出k的值 是 ▲ ． 5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次 训练成绩（单位：环）的茎叶图，则 甲 乙 8 9 7 8 9 3 1 0 6 9 7 8 9 （第5题图） 成绩较为稳定（方差较小）的运动员 是 ▲ ． 6．记不等式x2＋x－6＜0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B．若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为 ▲ ． 7．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2－＝1的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ ． 8．已知正六棱锥P－ABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为 ▲ ． 9．在△ABC中， ABC＝120，BA＝2，BC＝3，D，E是线段AC的三等分点，则的值 为 ▲ ． 10．记等差数列{an}的前n项和为Sn．若Sk－1＝8，Sk＝0，Sk＋1＝－10，则正整数k＝ ▲ ． 11．若将函数f(x)＝∣sin(wx－)∣(w＞0)的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数 ，则实数w的最小值是 ▲ ． 12．已知x，y为正实数，则＋的最大值为 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线l：y＝kx＋3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为 ▲ ． 14．已知a，t为正实数，函数f(x)＝x2－2x＋a，且对任意的x∈[0，t]，都有f(x)∈[－a，a]．若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC＋ccosA＝2bcosA． （1）求角A的值； （2）求sinB＋sinC的取值范围． 16．（本小题满分14分） 在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB， E为PA的中点． （第16题图） P A B C D E （1）求证：BE∥平面PCD； （2）求证：平面PAB⊥平面PCD． 17．（本小题满分14分） 如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM＝60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记AOP＝q，q ∈(0，π)． （1）当q ＝ 时，求点P距地面的高度PQ； （2）试确定q 的值，使得MPN取得最大值． （第17题图） A M N B O P Q q 18．（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线 l：x＝m＋1与x轴的交点为B，BF2＝m． （1）已知点(，1)在椭圆C上，求实数m的值； （2）已知定点A(－2，0)． ①若椭圆C上存在点T，使得＝，求椭圆C的离心率的取值范围； ②当m＝1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q， x y A O B M P Q （第18题图） F2 F1 l 若 ＝λ，＝m，求证：λ＋m为定值． 19．(本小题满分16分) 已知函数f(x)＝x2－x＋t，t≥0，g(x)＝lnx． （1）令h(x)＝f(x)＋g(x)，求证：h(x)是增函数； （2）直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切．对于确定的正实数t，讨论直线l的条数，并说明理由． 20．（本小题满分16分） 已知数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，且对任意的m，n∈N*， 都有(Sm＋n＋S1)2＝4a2ma2n． （1）求的值； （2）求证：{an}为等比数列； （3）已知数列{cn}，{dn}满足|cn|＝|dn|＝an，p(p≥3)是给定的正整数，数列{cn}，{dn}的前p项的和分别为Tp，Rp，且Tp＝Rp，求证：对任意正整数k(1≤k≤p)，ck＝dk． 南京市2015届高三年级第三次模拟考试 数学附加题 2015.05 注意事项： 1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟． 3．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲 如图，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，求证：BE CD＝BD CE． A D B C E O （第21A题图） B．选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵A＝，直线l：x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为 直线l：x－y＋2a＝0． （1）求实数a的值； （2）求A2． C．选修4－4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，设圆C：r＝4 cosq 与直线l：q＝ (r∈R)交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程． D．选修4－5：不等式选讲 已知实数x，y满足x＞y，求证：2x＋ ≥2y＋3． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） P A B C D 如图，四棱锥P－ABCD中，PA^平面ABCD，AD∥BC，AB^AD，BC＝，AB＝1，BD＝PA＝2． （1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值； （2）求二面角A－PD－C的余弦值． 23．（本小题满分10分） 已知集合A是集合Pn＝{1，2，3，…，n} (n≥3，n∈N*)的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A的个数为f(n)． （1）求f(3)，f(4)； （2）求f(n)（用含n的式子表示）． 南京市2015届高三第三次模拟考试 数学参考答案及评分标准 2015.05 说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 2．0.74 3．4 4．6 5．甲 6．(－∞，－3] 7．4 8．12 9． 10．9 11． 12． 13．[－，＋∞) 14．(0，1)∪{2} 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．解：（1）因为acosC＋ccosA＝2bcosA，所以sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosA， 即sin(A＋C)＝2sinBcosA． 因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB． 从而sinB＝2sinBcosA． ………………………… 4分 因为sinB≠0，所以cosA＝． 因为0＜A＜π，所以A＝． ………………………… 7分 （2）sinB＋sinC＝sinB＋sin(－B)＝sinB＋sincosB－cossinB ＝sinB＋cosB＝sin(B＋)． ………………………… 11分 因为0＜B＜，所以＜B＋＜． 所以sinB＋sinC的取值范围为(，]． ………………………… 14分 16．证明：（1）取PD的中点F，连接EF，CF． P A B C D E F （第16题图） 因为E为PA的中点，所以EF∥AD，EF＝AD． 因为BC∥AD，BC＝AD， 所以EF∥BC，EF＝BC． 所以四边形BCFE为平行四边形． 所以BE∥CF． ………………………… 4分 因为BE平面PCD，CF平面PCD， 所以BE∥平面PCD． ………………………… 6分 （2）因为AB＝PB，E为PA的中点，所以PA⊥BE． 因为BE∥CF，所以PA⊥CF． ………………………… 9分 因为PA⊥PD，PD平面PCD，CF平面PCD，PD∩CF＝F， 所以PA⊥平面PCD． ………………………… 12分 因为PA平面PAB，所以平面PAB^平面PCD． ………………………… 14分 17．解：（1）由题意，得PQ＝50－50cosq ． 从而，当q ＝ 时，PQ＝50－50cos＝75． 即点P距地面的高度为75m． ………………………… 4分 （2）（方法一）由题意，得AQ＝50sinq ，从而MQ＝60－50sinq ，NQ＝300－50sinq ． 又PQ＝50－50cosq ， 所以tanNPQ＝＝ ，tanMPQ＝＝ ． ………………………… 6分 从而tanMPN＝tan(NPQ－MPQ) ＝＝ ＝ ． ………………………… 9分 令g(q )＝ ，q ∈(0，π)， 则g(q)＝ ，q ∈(0，π)． 由g(q)＝0，得sinq ＋cosq －1＝0，解得q ＝ ． ………………………… 11分 当q ∈(0，)时，g(q )＞0，g(q )为增函数；当q ∈(，p)时，g(q )＜0，g(q )为减函数， 所以，当q ＝ 时，g(q )有极大值，也为最大值． 因为0＜MPQ＜NPQ＜，所以0＜MPN＜， 从而当g(q )＝tanMPN取得最大值时，MPN取得最大值． 即当q ＝ 时，MPN取得最大值． ………………………… 14分 （方法二）以点A为坐标原点，AM为x轴建立平面直角坐标系， 则圆O的方程为 x2＋(y－50)2＝502，即x2＋y2－100y＝0，点M(60，0)，N(300，0)． 设点P的坐标为 (x0，y0)，所以Q (x0，0)，且x02＋y02－100y0＝0． 从而tanNPQ＝＝ ，tanMPQ＝＝ ． ………………………… 6分 从而tanMPN＝tan(NPQ－MPQ) ＝＝ ＝ ． 由题意知，x0＝50sinq ，y0＝50－50cosq ， 所以tanMPN＝＝ ． ………………………… 9分 （下同方法一） 18．解：（1）设椭圆C的方程为 ＋＝1(a＞b＞0)． 由题意，得 解得 所以椭圆方程为＋＝1． 因为椭圆C过点(，1)，所以＋＝1， 解得m＝2或m＝－ (舍去）． 所以m＝2． ………………………… 4分 （2）①设点T(x，y)． 由＝，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2． ………………… 6分 由 得y2＝m2－m． 因此0≤m2－m≤m，解得1≤m≤2． 所以椭圆C的离心率e＝[，]． ………………………… 10分 ②（方法一）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 则＝(x0＋2，y0)，＝(x1＋2，y1)． 由＝l， 得 从而 ………………………… 12分 因为＋y02＝1，所以＋(ly1)2＝1． 即l2(＋y12)＋2l(l－1)x1＋2(l－1)2－1＝0． 因为 ＋y12＝1，代入得2l (l－1)x1＋3l2－4l＋1＝0． 由题意知，l≠1， 故x1＝－，所以x0＝． 同理可得x0＝． ………………………… 14分 因此＝， 所以l＋m＝6． ………………………… 16分 （方法二）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 直线AM的方程为y＝(x＋2)． 将y＝(x＋2)代入＋y2＝1，得((x0＋2)2＋y)x2＋4yx＋4y－(x0＋2)2 ＝0(*)． 因为＋y02＝1，所以（*）可化为(2x0＋3)x2＋4yx－3x－4x0＝0． 因为x0x1＝－，所以x1＝－． 同理x2＝． ………………………… 14分 因为＝l，＝m， 所以l＋m＝＋＝＋ ＝＋＝6． 即λ＋m为定值6． ………………………… 16分 19．解：（1）由h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2－x＋t＋lnx，得h (x)＝2x－1＋，x＞0． 因为2x＋≥2＝2，所以h (x)＞0， 从而函数h(x)是增函数． ………………………… 3分 （2）记直线l分别切f(x)，g(x)的图象于点(x1，x12－x1＋t)，(x2，lnx2)， 由f(x)＝2x－1，得l的方程为y－(x12－x1＋t)＝(2x1－1)(x－x1)，即y＝(2x1－1)x－x12＋t． 由g(x)＝，得l的方程为y－lnx2＝(x－x2)，即y＝ x＋lnx2－1． 所以(*) 消去x1得lnx2＋－(t＋1)＝0 (**)． ………………………… 7分 令F(x)＝lnx＋－(t＋1)，则F(x)＝－＝＝，x＞0． 由F(x)＝0，解得x＝1． 当0＜x＜1时，F(x)＜0，当x＞1时，F(x)＞0， 所以F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 从而F(x)min＝F(1)＝－t． ………………………… 9分 当t＝0时，方程(**)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解， 即存在唯一一条满足题意的直线； ………………………… 11分 当t＞0时，F(1)＜0，由于F(et＋1)＞ln(et＋1)－(t＋1)＝0， 故方程(**)在(1，＋∞)上存在唯一解； ………………………… 13分 令k(x)＝lnx＋－1(x≤1)，由于k (x)＝－＝≤0，故k (x)在(0，1]上单调递减， 故当0＜x＜1时，k (x)＞k (1)＝0，即lnx＞1－， 从而lnx＋ －(t＋1)＞(－)2－t． 所以F()＞(＋)2－t＝＋＞0，又0＜＜1， 故方程(**)在(0，1)上存在唯一解． 所以当t＞0时，方程(**)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解． 即存在两条满足题意的直线． 综上，当t＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1； 当t＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2． ………………………… 16分 20．解：（1）由(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m，得(S2＋S1)2＝4a，即(a2＋2a1)2＝4a． 因为a1＞0，a2＞0，所以a2＋2a1＝a2，即＝2． ………………………… 3分 证明：（2）（方法一）令m＝1，n＝2，得(S3＋S1)2＝4a2a4，即(2a1＋a2＋a3)2＝4a2a4， 令m＝n＝2，得S4＋S1＝2a4，即2a1＋a2＋a3＝a4． 所以a4＝4a2＝8a1． 又因为＝2，所以a3＝4a1． ………………………… 6分 由(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m，得(Sn＋1＋S1)2＝4a2na2，(Sn＋2＋S1)2＝4a2na4． 两式相除，得＝，所以＝＝2． 即Sn＋2＋S1＝2(Sn＋1＋S1)， 从而Sn＋3＋S1＝2(Sn＋2＋S1)． 所以an＋3＝2an＋2，故当n≥3时，{an}是公比为2的等比数列． 又因为a3＝2a2＝4a1，从而an＝a12 n－1，n∈N*． 显然，an＝a12 n－1满足题设， 因此{an}是首项为a1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分 （方法二）在(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m中， 令m＝n，得S2n＋S1＝2a2n． ① 令m＝n＋1，得S2n＋1＋S1＝2 ， ② 在①中，用n＋1代n得，S2n＋2＋S1＝2a2n＋2． ③ ②－①，得a2n＋1＝2－2a2n＝2(－)， ④ ③－②，得a2n＋2＝2a2n＋2－2＝2(－)， ⑤ 由④⑤得a2n＋1＝． ⑥ ………………………… 8分 ⑥代入④，得a2n＋1＝2a2n；⑥代入⑤得a2n＋2＝2a2n＋1， 所以＝＝2．又＝2， 从而an＝a12 n－1，n∈N*． 显然，an＝a12 n－1满足题设， 因此{an}是首项为a1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分 （3）由（2）知，an＝a12 n－1． 因为|cp|＝|dp|＝a12p－1，所以cp＝dp或cp＝－dp． 若cp＝－dp，不妨设cp＞0，dp＜0， 则Tp≥a12p－1－(a12p－2＋a12p－3＋…＋a1)＝a12p－1－a1(2p－1－1)＝a1＞0． Rp≤－a12p－1＋(a12p－2＋a12p－3＋…＋a1)＝－a12p－1＋a1(2p－1－1)＝－a1＜0． 这与Tp＝Rp矛盾，所以cp＝dp． 从而Tp－1＝Rp－1． 由上证明，同理可得cp－1＝dp－1．如此下去，可得cp－2＝dp－2，cp－3＝dp－3．…，c1＝d1． 即对任意正整数k(1≤k≤p)，ck＝dk． ………………………… 16分 南京市2015届高三第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2015.05 21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A．选修4—1：几何证明选讲 证明：因为AB是⊙O的切线，所以ABD＝AEB． 又因为BAD＝EAB，所以△BAD∽△EAB． 所以＝． ………………………… 5分 同理，＝.． 因为AB，AC是⊙O的切线，所以AB＝AC． 因此＝，即BE CD＝BD CE． ………………………… 10分 B．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）设直线l上一点M0(x0，y0)在矩阵A对应的变换作用下变为l 上点M(x，y)， 则＝＝， 所以 ………………………… 3分 代入l 方程得(ax0＋y0)－(x0＋ay0)＋2a＝0， 即(a－1)x0－(a－1)y0＋2a＝0． 因为(x0，y0)满足x0－y0＋4＝0， 所以＝4，解得a＝2． ………………………… 6分 （2）由A＝，得A2＝＝． ………………… 10分 C．选修4—4：坐标系与参数方程 解： 以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得 圆C的直角坐标方程 x2＋y2－4x＝0， 直线l的直角坐标方程 y＝x． ………………………… 4分 由 解得或 所以A(0，0)，B(2，2)． 从而以AB为直径的圆的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2＝2x＋2y． ………………………… 7分 将其化为极坐标方程为：r2－2r(cosq＋sinq)＝0，即r＝2(cosq＋sinq)． …………………… 10分 D．选修4—5：不等式选讲 证明：因为x＞y，所以x－y＞0，从而 左边＝(x－y)＋(x－y)＋＋2y ≥3＋2y ＝2y＋3 ＝右边． 即原不等式成立． ………………………… 10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分． 22．解：（1）因为PA^平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD， 所以PA^AB，PA^AD． 又AD^AB， 故分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． P A B C D x y z 根据条件得AD＝． 所以B(1，0，0)，D(0，，0)，C(1，，0)，P(0，0，2)． 从而＝(－1，，0)，＝(1，，－2)． ………………………… 3分 设异面直线BD，PC所成角为q ， 则cosq ＝|cos＜，＞|＝|| ＝||＝． 即异面直线BD与PC所成角的余弦值为． ………………………… 5分 （2）因为AB^平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为 ＝(1，0，0)． 设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由n^，n^ ，＝(1，，－2)，＝(0，，－2)， 得 解得 不妨取z＝3，则得n＝(2，2，3)． ………………………… 8分 设二面角A－PD－C的大小为j， 则cosj＝cos＜，n＞＝＝＝． 即二面角A－PD－C的余弦值为． ………………………… 10分 23．解：（1）f(3)＝1，f(4)＝2； ………………………… 2分 （2）设A0＝{m∣m＝3p，p∈N*，p≤}， A1＝{m∣m＝3p－1，p∈N*，p≤}， A2＝{m∣m＝3p－2，p∈N*，p≤}， 它们所含元素的个数分别记为∣A0∣，∣A1∣，∣A2∣．……………………… 4分 ①当n＝3k时，则∣A0∣＝∣A1∣＝∣A2∣＝k． k＝1，2时，f(n)＝(C)3＝k3； k≥3时，f(n)＝3C＋(C)3＝k3－k2＋k． 从而 f(n)＝n3－n2＋n，n＝3k，k∈N*． ………………………… 6分 ②当n＝3k－1时，则∣A0∣＝k－1，∣A1∣＝∣A2∣＝k． k＝2时，f(n)＝f(5)＝221＝4； k＝3时，f(n)＝f(8)＝1＋1＋332＝20； k＞3时，f(n)＝C＋2C＋C (C)2＝k3－3k2＋k－1； 从而 f(n)＝n3－n2＋n－，n＝3k－1，k∈N*． ………………………… 8分 ③当n＝3k－2时，∣A0∣＝k－1，∣A1∣＝k－1，∣A2∣＝k． k＝2时，f(n)＝f(4)＝211＝2； k＝3时，f(n)＝f(7)＝1＋322＝13； k＞3时，f(n)＝2C＋C＋(C)2 C＝k3－k2＋5k－2； 从而 f(n)＝n3－n2＋n－，n＝3k－2，k∈N*． 所以f(n)＝ …………………… 10分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org