2022年椭圆曲线知识点与讲义.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载圆锥曲线一、学问点讲解一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F 1, F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹；其中：两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距；留意：2 a|F 1F 2|表示椭圆；2a|F 1F2|表示线段F 1F2；2 a|F1F2|没有轨迹；（ 2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：标准方程中心在原点,焦点在x 轴上中心在原点,焦点在y 轴上x2y21aby2x21 ab002222abab图形Py B 2 A 2 x y B 2 PF2 A 1 F1 O F2 A 1 O A

2、2 x B 1 F1 B 1 顶点2A 1B 1 a ,00, ,b ,A 2B 2 a , ,00 b A 1B 1 b 0, ,0 a ,A 2B 2 b , 0 0 , a B两点,就ABF 的周对称轴x轴,y轴；短轴为2 b,长轴为2a焦点F 1c0,F 2c,0F 10,c,F20,c焦距|F 1F2|2c c0c2a2b2离心率ec0e1 （离心率越大,椭圆越扁）a通径2b（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）a3常用结论：（ 1）椭圆x2y21ab0 的两个焦点为F 1,F2,过F 的直线交椭圆于A,a2b2长 = （2）设椭圆x2y21ab0左、右两个焦点为F 1, F

3、2,过F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于P,Q两点,a2b2就P,Q的坐标分别是| PQ|二、例题讲解；例 1、 已知椭圆的中心在原点,且经过点P3,a3 ,求椭圆的标准方程分析： 因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情形依据题设条件,运用待定系数法,名师归纳总结 求出参数 a 和 b （或2 a 和2 b ）的值,即可求得椭圆的标准方程第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 当焦点在 x 轴上时,设其方程为x2学习必备1欢迎下载0y2aba2b2由椭圆过点P3,知901又a3,代入得b21,a29,故椭圆的方程为x2y21a2b

4、29当焦点在 y 轴上时,设其方程为y2x21ab0a2b21由椭圆过点P3,知901又a3 ,联立解得a281,b29,故椭圆的方程为y2x2a2b2819例 2、ABC 的底边BC16, AC 和 AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A的轨迹分析：（1）由已知可得GCGB20,再利用椭圆定义求解x,y,由（2）由 G 的轨迹方程 G 、 A 坐标的关系,利用代入法求A的轨迹方程解：（ 1）以 BC 所在的直线为x 轴, BC 中点为原点建立直角坐标系设G 点坐标为,有b6,GCGB20,知 G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆, 且除去轴上两点 因a10,c8故其

5、方程为x2y21y010036x 轴上两（2）设Ax,y,Gx,y,就x2y21y010036由题意有xx,x2y21y0,其轨迹是椭圆（除去3代入,得 A 的轨迹方程为yy9003243点）例 3、 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为435和235,过 P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程名师归纳总结 解： 设两焦点为F 、F ,且PF 1435,PF2235从椭圆定义知2 aPF 1PF 225即第 2 页,共 8 页a5PF 2知PF 2垂直焦点所在的对称轴,所以在RtPF2F 1中,sinPF 1F 2PF 21 2,从PF 1P

6、F 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 可求出PF 1F 26,2 cPF 1cos6学习必备5欢迎下载2 ba22 c102,从而332 2 2 2所求椭圆方程为 x 3 y 1 或 3 x y 15 10 10 52 2例 4、已知椭圆方程 x2 y2 1 a b 0,长轴端点为 A ,A ,焦点为 1F ,F , P 是椭圆上一点,a bA 1PA 2,F 1PF 2求：F 1PF 2 的面积（用 a 、 b 、表示）分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边, 从而利用 S 1 ab sin C 求面积2解：如图, 设 P x,y,由椭圆

7、的对称性,不妨设 P x,y,由椭圆的对称性,不妨设 P2 2 2 2在第一象限由余弦定理知：F 1F 2 PF 1 PF 2 2 PF PF 2 cos 4 c2由椭圆定义知：PF 1 PF 2 2 a ,就 2 得 PF 1 PF 2 2 b1 cos2故 S F 1 PF 2 1PF 1 PF 2 sin 1 2 bsin b 2tan2 2 1 cos 2三、习题讲解；一、挑选题；1. 圆6x2+ y2=6的长轴的端点坐标是6 ,0.6 ,0 D.0,-6 .0,6 2 A.-1,0 .1,0 B.-6,0 .6,0 C.-2. 椭圆 x2+ 8y2=1的短轴的端点坐标是C.22 ,0

8、、-2 ,0 D.0,22 、 0,222A.0,-4、0,4 B.-1,0 、1,0 3. 椭圆 3x 2+2y 2=1的焦点坐标是名师归纳总结 A.0, 66C.-1,0 、1,0 b2D.-66,0 第 3 页,共 8 页6、0,6 B.0,-1 、0,1 6,0、6x2y21ab0的准线方程是4. 椭圆b2a2C.yab2D.yaa2a2b2B.yaa2b2ya2222b2A.5. 椭圆x2y21的焦点到准线的距离是94- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.45 和95B.95 和145C.4学习必备欢迎下载D.1455 和14 5555555

9、5x2y21a b0的两个焦点,过F 2作椭圆的弦 AB,如6. 已知 F 1、F2为椭圆a2b2 AF 1B的周长为 16,椭圆离心率e3,就椭圆的方程是D.x2y212A.x2y21B.x2y21C.x2y2143163161216437. 离心率为2,且过点 2,0的椭圆的标准方程是D.x2y21或x2y21A.x2y21B.x2y21或x2y21C.x2y211444441648. 椭圆x2y21和x2y2kk0具有a2b2a2b2A. 相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长 .短轴9. 点Aa,1在椭圆x2y21的内部 ,就a的取值范畴是42A.-2 a2B. a2C.

10、-2 a2 D.-1a110. 设F是椭圆x2y21的右焦点, Px,y是椭圆上一点,就|FP|等于a2b2A. exaB.exaC.axeD.aex二、填空题1. 椭圆的焦点 F 10,6,中心到准线的距离等于 10,就此椭圆的标准方程是 _.2 2x y2. 椭圆 9 4 1上的点到直线 2 x 3 y 3 3 0 距离的最大的值是 .x 2 y 213. 已知 F 1.F2是椭圆 25 9 的两个焦点 ,AB是过焦点 F 1的弦 ,如 AB=8,就 F2A+F 2B的值是A.16 B.12 C.14 D.84. 如 A点坐标为（1, 1）, F1是 5x 2+9y 2=45椭圆的左焦点,

11、点 P是椭圆的动点,就 |PA|+|PF 1|的最小值是_. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 直线 y=1-x交椭圆 mx 2+ny学习必备欢迎下载2,就m_ .2=1于M,N两点,弦 MN的中点为 P,如 K OP=2n6. 如椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,就此椭圆的离心率是 _.27. 已知椭圆的准线方程是y=9,离心率为3,就此椭圆的标准方程是_.28. 到定点（ 1,0）的距离与到定直线 x=8的距离之比为 2 的动点 P的轨迹方程是 .9. 已 知 椭 圆 x 2+2 y 2=2 的 两

12、个 焦 点 为 F 1 和 F 2 , B为 短 轴 的 一 个 端 点 , 就 BF1F2 的 外 接 圆 方 程 是_. 10. 已知点 A0,1是椭圆 x2+4y2=4上的一点, P是椭圆上的动点,当弦AP的长度最大时,就点P的坐标是_. 三、简答题；1、 已知动圆 P 过定点A3,且在定圆B：x32y264的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程2、已知椭圆4x2y21及直线yxm（1）当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点？名师归纳总结 （2）如直线被椭圆截得的弦长为210,求直线的方程第 5 页,共 8 页5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

13、 3 以椭圆x2y21的焦点为焦点, 过直线学习必备y欢迎下载上一点 M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,l：x90123点 M 应在何处？并求出此时的椭圆方程4 已知长轴为12,短轴长为 6,焦点在 x 轴上的椭圆, 过它对的左焦点F 作倾斜解为3的直线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长1 ： D 2 ： A 3. A 4. B 5. C 6. D 7. D 8. A 9. A 10. D 1.x2y212.213. B2460名师归纳总结 4.625.217.x2y218.x22y212x6209.x2y2110. 432,1 第 6 页,共 8 页2141836. 21、 分析： 关

14、键是依据题意,列出点P 满意的关系式解： 如下列图,设动圆P 和定圆 B 内切于点 M 动点 P 到两定点,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即定点A3,和定圆圆心B3,学习必备欢迎下载距离之和恰好等于定圆半径,即PAPBPMPBBM8点 P 的轨迹是以 A , B 为两焦点,半长轴为 4,半短轴长为b423 27的椭圆的方程：x2y21167说明： 此题是先依据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后依据椭圆的标准方程,求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法2、解：（1）把直线方程yxm代入椭圆方程4x2y21得4x2xm21,12200, 解 得即5

15、x22mxm2102m245m2116m5m522x22m,x 1x2m2（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ,x ,由（ 1）得x 155依据弦长公式得：12 12m24m21210解得m0方程为yx555说明： 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采纳的方法与处理直线和圆的有所区分这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式；解决弦长问题,一般应用弦长公式用弦长公式,如能合理运用韦达定理（即根与系数的关系）,可大大简化运算过程3 分析： 椭圆的焦点简单求出,依据椭圆的定义,此题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小,只须利用

16、对称就可解决名师归纳总结 解： 如下列图,椭圆x2y21的焦点为F 13,F 23,的方程第 7 页,共 8 页123点F 关于直线l：xy90的对称点 F 的坐标为（9,6）,直线FF2为x2 y30最小解方程组x2y930得交点 M 的坐标为（ 5,4）此时MF 1MF 2xy0所求椭圆的长轴：2 aMF 1MF2FF 265,a35,又c3,b2a2c23523236因此,所求椭圆的方程为x2y214536- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 为x2y21学习必备欢迎下载1554 分析： 可以利用弦长公式AB1k2x 1x 2 1k2x 1x 2 2

17、4x 1x 2求得,也可以利用椭圆定义及余弦定理,仍可以利用焦点半径来求解： 法 1利用直线与椭圆相交的弦长公式求解AB1k2x 1x 21k2x 1x 224 x 1x 2由于a6,b3,所以c33由于焦点在x轴上,所以椭圆方程为x2y21,左焦点F33,0,从而直线方程为y3x9723,369由直线方程与椭圆方程联立得：13x2723x3680设x , 2 x 为方程两根, 所以x1x213x 1x2368,k3,从而AB1k2x1x2 1k2x1x224x1x2481；1313法 2利用椭圆的定义及余弦定理求解n由题意可知椭圆方程为x2y21,设AF1m,BF1n,就AF 212m,BF 21236963在AF 1F 2中,AF22AF 12F 1F222AF 1F 1F 2cos3,即 12m 2m23632m2所以m463同理在BF 1F 2中,用余弦定理得n463,所以ABmn4813法 3利用焦半径求解先依据直线与椭圆联立的方程13x2723x3680求出方程的两根1x ,2x ,它们分别是 A ,B 的横坐标名师归纳总结 再依据焦半径AF 1aex 1,BF 1aex 2,从而求出ABAF 1BF 1第 8 页,共 8 页- - - - - - -