2022年思法数学初升高衔接讲义第讲一元二次不等式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 7 讲 一元二次不等式一【学习目标】1. 把握一元二次不等式的解法步骤,能娴熟地求出一元二次不等式的解集；2. 把握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系；二【学问梳理】1. 一元二次不等式的定义：象x25x0这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为一元二次不等式2. 一元二次不等式的一般式：2 a x任 意 的 一 元 二 次 不 等 式 , 总 可 以 化 为 以 下 两 种 形 式 ：ax2bxc0, 或b xc0 a0 称为一元二次不等式的一般式. 3. 探讨一元二次不等式的解法：怎样求不等式x25x0

2、的解集呢？画出二次函数yx25x 的图象,如图：观看函数图象,可知：2不等式 x 5 x 0 的解集是 x | 0 x 5 . 一 般 地 , 怎 样 确 定 一 元 二 次 不 等 式 ax 2bx c 0 与2ax bx c 0 的解集呢？（ 1）抛物线与 x 轴的相关位置的情形,分为三种情形,这可以由一元二次方程2 2ax bx c 0 的判别式 b 4 ac 三种取值情形 0 ,0 ,0 ）来确定也就是一元二次方程 ax 2bx c 0 的根的情形；2（2）抛物线 y ax bx c 的开口方向,也就是 a 的符号（对一元二次不等式,a 0可以转化为 a 0）总结争论结果：a 0,分

3、0 ,0 ,0 三种情形,得到一元二次不等式2 2ax bx c 0 与 ax bx c 0 a 0 的解集4. 三个二次的关系表（a 0）：2b 4 ac 0 0 0二次函数名师归纳总结 yax2bxc有两相异实根2有两相等实根b无实根第 1 页,共 6 页a0的图象一元二次方程ax2bxc0x 1 , x2 x 1x 2x 1x2b2aax2bxc0x xx 1 或xxx xR a0的解集02 aax2bxcx x 1xx2a0的解集- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 解一元二次不等式的步骤：一元二次不等式的解法一般依据“ 三步曲” ：第一步：

4、化二次项的系数为正数；其次步：求解相应的一元二次方程的根；第三步：依据根的情形结合图象写出一元二次不等式的解集解集点拨：（ 1）数形结合,不要死记；（2）开口方向,根的情形三【典例精析】例 1. 解以下不等式：（1）23x2x20；12,. （2） x2+2x30；（3）x24x+4 0. 解： （1）原不等式等价于2x2-3x-20 ,原不等式的解集是,2（2）原不等式等价于:x2-2x+30 由 0,知原不等式解集为. x|x R,且x 2 ；（3） = 0,方程 x24x+4=0 有等根x 1x 22,原不等式的解集为点拨： 1. 要严格按“ 解法步骤” 求解；2. 最终要用集合表示法表

5、出解集；如本倒的（,21）用区间表出解集；本例之（3）用大括号表出解集,该题的解集也可用区间表为2,但有的同学把第（3）题的解集表为 x 2,这是错误的；名师归纳总结 例 2. 解不等式1x2xx2x10. 第 2 页,共 6 页解： 对一切 xR 恒有 x2+x+10,原不等式等价于1+x2-x0 1x2x01x2. 原不等式的解集为（1,2）. 例 3. 设全集为 R,已知Ax x x2x3x1,求e RA；解：x x2x3x12x2x101x1. 2故A1 ,1 2. e RA,11,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4. 解关于 x 的不

6、等式 x 2ax2a 20. 点拨： 解答此题通过因式分解,结合二次函数图象分类争论求解x12a,解： 方程 x2ax 2a20 的判别式 a 28a29a20,得方程两根x2 a. 1 如 a0,就 ax 2a,此时不等式的解集为 x| ax 2a ；2 如 a0,就 2ax a,此时不等式的解集为 x|2a x a ；3 如 a0,就原不等式即为 x 20,此时解集为 . 综上所述,原不等式的解集为 当 a0 时, x| ax2a ；当 a0 时, x|2a x a ；当 a0 时, . 例 5. 如不等式 ax2bx c0 的解集为 x|3x 4 ,求不等式 集点拨： 依据已知的解集和有

7、关一元二次不等式的解集结论逆向推出进而求解另一不等式bx22axc3b0 的解a,b,c 满意的关系,解： ax2bxc0 的解集为 x|3x 4 , a0 且 3 和 4 是方程 ax2bxc0 的两根,名师归纳总结 由根与系数的关系得34b a,即b a,不等式 bx22axc 3b0 第 3 页,共 6 页3 4c a,c 12a,可化为 ax2 2ax15a0,即 x22x150,故所求的不等式的解集为x|3x5 例 6. 已知Ax x23 x20,Bx x2a1xa0；（1）如 BA ,求 a 的取值范畴；（2）如 AB 是单元素集合,求a 取值范畴；点拨： 先解不等式化简集合A 和

8、 B,再利用数轴表示两个集合的关系,求a 的取值范畴；解： 易得 A=1, 2 ；而Bxx1xa0；（1）如 BA ,利用数轴,得a 的取值范畴是1,2 ；（2）如 AB 是单元素集合,利用数轴,AB只能是集合 1. a 的取值范畴是,1 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四【过关精练】一、挑选题：1已知 ab,cd,且 a,b,c,d 均不为 0,那么以下不等式成立的是（）Aacbd Badbc Cacbd Dacbd2给出以下命题： ab ac 2bc 2； aba 2b 2； ab a 3b 3； ab a 4b 4,其中正确的命题是（）A B

9、 C D3集合 A xx 216,集合 B xx 2x 60,就 AB（）A 3,4） B （ 4, 2 C（ 4, 2 3,4） D 2, 34如不等式ax2 bx2 0 的解集为 x 2x1 4, 就 a, b 的值分别是（）Aa 8,b 10 Ba 1,b9 Ca 4,b 9 Da 1,b2 5不等式 x2ax40 的解集为空集,就a 的取值范畴是（）A 4,4 B（ 4,4）C（, 4 4,） D 二、填空题：（, 4）（ 4,）6不等式 1 620 的解集为a 的取值范畴7不等式（ a2）x22（a 2）x40,对一切实数x 恒成立,就实数是8设实数a,b, c 满意 bc64a3a

10、2,c b44aa2,就 a,b,c 的大小关系是三、解答题：9已知集合A xx2 3x100,集合 B xp1x2p1,如 BA,求实数 P 的取值范畴名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10 如实数 a 0,解关于 x 的二次不等式（x2）（ ax2） 011. 不等式（ a 2-1 ）x 2-a-1x-10 的解集为 R,求 a 的取值范畴；12. 已知全集 U=R,A=x|x 2-x-60,C= x|x 2-4ax+3a0, 如 AB C,求实数 a 的取值范畴；名师归纳总结 - - - - - - -第 5

11、页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第 7 讲 参考答案一、挑选题：1. D；2. B；3. C；4. C；5. A. 二、填空题：1 16x32； 7（ 2,2； 8cba提示： cb44aa 2（ 2a）20, cb2b（ bc）（ cb） 2a 22, ba 211 3b aa 2a1（ a2）240, ba故 cba三、解答题：9解： 由 x 23x100,得 2x5, A 2,5如 B ,就 B A,这时 p12p1,即 p2p12p1如 B ,就p1 22 p32p 15 综上可知, P 的取值范畴是p32 a10 解： 方程（ x2）（ ax2） 0

12、的两根为 2 和a 2 , （1）当 a0 时, 22 a,原不等式的解集为x2 ax2（2）当 0a1 时, 22 a,原不等式的解集为xx2 或 x（3）当 a1 时,原不等式变为（x2）20,解集为 xx 2 且 xR（4）当 a1 时, 22 a,原不等式的解集为xx2 a或 a2综上所述,原不等式的解集名师归纳总结 当 a0 时,为 x2 ax 2；当 a1 时,为 x x2 或 x2 a；第 6 页,共 6 页当 a1 时,为 xx 2 且 xR；当 a1 时,为 x x2 a或 a 211. 解： 当 a 2-1=0 时,只有 a=1, 才有 xR.当 a2- 1 0 时,由 a2-10 及 （a-1 ）2+4a2-1=5a2-2a-30 得3a1,综上所述：a3,1 5. 512. 解： A=-2,3,B=, -42,+ ,A B=2,3,C=x|x-ax-3a0, 当 a0 时, C=a,3a,由 ABC得：a1,2- - - - - - -