2022年数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学打印.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料数列专题复习一、等差数列的有关概念：1annd d为常数 ）或an1ana na n1n2；1、等差数列的判定方法：定义法an如设 an是等差数列, 求证：以 bn=a 1a2annN*为通项公式的数列b n为等差数列；名师归纳总结 2、等差数列的通项：a na 1n1 d 或anam nm d ；第 1 页,共 12 页如1 等差数列 a n中,a 1030,a2050,就通项an（答： 2n10）；（2）首项为 -24 的等差数列, 从第 10 项起开头为正数, 就公差的取值范畴是_（答：8d3）33、等差数列的前n 和：

2、S nn a 12an,S nna 1n n1d ；2如（ 1） 数列an中,anan11 2n2,nN*,an3,前 n 项和S n15,22就1a , n （答：a 13,n10）；（2） 已知数列an的前n 项和S n12n2 n ,求数列 |a n|的前 n项和T （答：T n12nn2n6,nN*N*）. n212n72n6,n4、等差中项： 如a A b 成等差数列,就A 叫做 a与 b 的等差中项,且Aa2b；提示 ：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中, 涉及到 5 个元素：1a 、 d 、n 、a 及S ,其中 na 、 d 称作为基本元素；1只要已知这5 个元素中的任

3、意3 个,便可求出其余2 个,即知3 求 2；（ 2） 为削减运算量,要留意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为 ,a2 , d ad a ad a2 d （ 公 差 为 d ）； 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 ,a3 , d ad ad a3 d , （公差为2 d ）5、等差数列的性质：（1）当公差d0时,等差数列的通项公式a na 1n1 ddna 1d 是关于 n 的一次函数, 且斜率为公差d ；前 n 和S nna 1n n1ddn2a 1dn 是关于 n 的二次222函数且常数项为0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）

4、如公差d0名师精编优秀资料d0,就为递减等差数列,如公差,就为递增等差数列,如公差d 0,就为常数列；（ 3）当 m n p q 时,就有 a m a n a p a q,特殊地,当 m n 2 p 时,就有a m a n 2 a . 如（ 1）等差数列 a n 中,S n 18, a n a n 1 a n 2 3, S 3 1,就 n _（答： 27）； 4 如 a n 、 b n 是等差数列,就 ka n 、 ka n pb n k 、 p 是非零常数 、 a p nq p q N *、S S 2 n S S 3 n S 2 n, 也成等差数列, 而 a a n 成等比数列； 如 a n

5、 是等比数列,且 na 0,就 lg a n 是等差数列 . 如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,就它的前 3n 和为；（答：225）（5）在等差数列 a n 中,当项数为偶数 2n 时, S 偶S 奇 nd；项数为奇数 2 n 1 时,S 奇 S 偶 a 中,S 2 n 1 2 n 1 a中（这里a中即 a ）；n S 奇：S偶 n : n-1；如（ 1） 在等差数列中,S1122,就 a _（答： 2）；（2）项数为奇数的等差数列 a n 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数（答：5；31） . （ 6 ） 如 等 差 数 列 a n 、

6、nb 的 前 n 和 分 别 为 A 、B , 且 B A nn f n , 就ab n n 22 nn 11 ab nn B A 22 nn 11 f 2 n 1 . 如设 a 与 b 是两个等差数列, 它们的前 n 项和分别为 S 和 T ,如 S n 3 n 1,那么 a n _（答：6 n 2）T n 4 n 3 b n 8 n 77 “ 首正” 的递减等差数列中,前 n项和的最大值是全部非负项之和；“ 首负” 的递增等 差 数 列 中 , 前 n 项 和 的 最 小 值 是 所 有 非 正 项 之 和 ； 法 一 ： 由 不 等 式 组名师归纳总结 an100或an100确定出前多少

7、项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于第 2 页,共 12 页anann 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要留意数列的特殊性n* N ；上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想）,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（ 1） 等差数列 a n中,a 125,S 9S ,问此数列前多少项和最大？并求此最大- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 值；（答：前 13 项和最大,最大值为名师精编优秀资料169）；（2）如 a n 是等差数列,首项 a 1 0, a 2003 a 2004 0,a 2003 a 2004 0,就使前 n

8、项和S n 0 成立的最大正整数 n 是（答： 4006）（3）在等差数列 na 中,a 10 0, a 11 0,且 a 11 | a |,S 是其前 n 项和,就（）A、S S 2 S 10 都小于 0,S 11 , S 12 都大于 0B、S S 2 S 19 都小于 0,S 20 , S 21 都大于 0C、S S 1 2 S 都小于 0,5 S S 6 7 都大于 0D、S S 2 S 20 都小于 0,S 21 , S 22 都大于 0（答： B）8假如两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 数不肯定相同

9、,即争论 a n b . 二、等比数列的有关概念：. 留意 ：公共项仅是公共的项,其项名师归纳总结 an11 、 等 比 数 列 的 判 断 方 法 ： 定 义 法an1q q 为常数 ）, 其 中q0 , a n0 或第 3 页,共 12 页a nan1n2；a nann如（ 1）一个等比数列a 共有 2n1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,就a n1为_（答：5 6）；（ 2）数列 a n中,S=4a n1+1 n2且a =1,如b nan12 an,求证：数列b 是等比数列；2、等比数列的通项：a na qn1或ana qnm；如等比数列 an 中,a 1a n66,a a n

10、1128,前 n 项和S 126,求 n 和q. （答：6,q1或 2）23、等比数列的前n 和：当q1时,S nna ；当q1时,S na 11qna 1a q；1q1q如（ 1） 等比数列中,q 2, S99=77,求a 3a 6a 99（答： 44）；（2）10nCk的值为 _（答： 2046）；nn1k0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀资料n 项和时, 第一要 q 是否为 1 时,特殊提示： 等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前判定公比 q 是否为 1,再由 q 的情形挑选求和公式的形式,当不能判定公比要对 q

11、分 q 1 和 q 1 两种情形争论求解；4、等比中项： 如 a A b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项； 提示 ：不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个ab ；如已知两个正数a b a b 的等差中项为 A,等比中项为 B,就 A 与 B 的大小关系为 _（答： AB）提示 ：（ 1）等比数列的通项公式及 前 n 和公式中,涉及到 5 个元素：1a 、 q 、 n 、a 及S ,其中 a 、 q 称作为基本元素；只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2；（ 2） 为削减运算量,要留意设元的技巧,如奇数个数成等比

12、,可设为 ,a2, a a aq aq 2 （公比为 q ）；但偶数个数成等比时,不能设为a3 , a, aq , aq 3, ,q q q q因公比不肯定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是2 q ；如有四个数,其中前三16,其次个数与第三个数的和为12,求此四个数； （答： 15, ,9,3,1 或 0,4,8,16）mn2p时,就有5. 等比数列的性质：（ 1 ）当 mnpq时,就有a ma napa ,特殊地,当a ma na p2. q 是整数,就a =_如（ 1） 在等比数列 a n中,a 3a 8124,a a

13、7512,公比（答： 512）；（2）各项均为正数的等比数列an 中,如a5a69,就log3 1 alog3 2 alog3 10a（答： 10）；名师归纳总结 2如 a n是等比数列,就|a n|、ap nqp qN*、 ka n成等比数列；如第 4 页,共 12 页a n 、b n成等比数列, 就 a b n、a n成等比数列；如 a n是等比数列, 且公比q1,b n就数列S S 2nS S 3 nS2 n, 也是等比数列；当q1,且 n 为偶数时,数列S S 2nS S 3nS 2n, 是常数数列0,它不是等比数列.如 （ 1 ） 已 知a0且a1, 设 数 列 nx满 足lo g

14、axn11lo g xnnN*, 且- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 1x2x 100100,就x 101名师精编优秀资料. （答：100a100）；x 102x 200（2）在等比数列an中,S 为其前 n 项和,如S 3013 S 10,S 10S 30140,就S 20的值为 _（答： 40）3 如 a 1 0, q 1,就 a n 为递增数列；如 a 1 0, q 1 , 就 a n 为递减数列；如a 1 0,0 q 1,就 a n 为递减数列； 如 a 1 0,0 q 1 , 就 a n 为递增数列； 如 q 0,就 a n 为摇摆数列；

15、如 q 1,就 a n 为常数列 . 4 当 q 1 时,S n a 1q n a 1 aq n b,这里 a b 0,但 a 0, b 0,1 q 1 q是等比数列前 n 项和公式的一个特点,据此很简单依据 S ,判定数列 a n 是否为等比数列；如如 a n 是等比数列,且 S n 3nr ,就 r （答： 1）5 S m n S m q S mn S n q S . 如设等比数列 n a n 的公比为 q ,前 n 项和为 S ,如 S n 1 , S S n 2 成等差数列,就 q 的值为 _（答： 2）6 在等比数列 a n 中,当项数为偶数 2n 时, S 偶 qS 奇；项数为奇数

16、 2 n 1 时,S 奇 a 1 qS 偶. 7假如数列 a n 既成等差数列又成等比数列,那么数列 a n 是非零常数数列,故常数数列 a n 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件；如 设数列 a n 的前 n 项和为 S （n N）,关于数列 a n 有以下三个命题：如a n a n 1 n N ,就 a n 既是等差数列又是等比数列；如 Sn a n 2b n a、b R,n就 a n 是等差数列； 如 S n 1 1,就 a n 是等比数列； 这些命题中, 真命题的序号是（答：）三、数列通项公式的求法一、公式法名师归纳总结 anS（1n1 2；第 5 页,共 12 页S

17、nS n1na n等差、等比数列a n公式 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例已知数列 a n满意a n12 a n名师精编a 1优秀资料a n的通项公式；3 2n,2,求数列 评注：此题解题的关键是把递推关系式a n12 a n3 2n转化为an n1 1a 2n n3 2,说明数列2an是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出an1n13 2,进而求出数列2n2na n的通项公式；二、累加法例 已知数列 a n 满意 a n 1 a n 2 n 1,a 1 1,求数列 a n 的通项公式；评注：此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a

18、 n 2 n 1 转化为 a n 1 a n 2 n 1,进而求出 a n a n 1 a n 1 a n 2 a 3 a 2 a 2 a 1 a ,即得数列 a n 的通项公式；例 已知数列 a n 满意 a n 1 a n 2 3 n 1,a 1 3,求数列 a n 的通项公式；n n评注：此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2 3 1 转化为 a n 1 a n 2 3 1,进而求出 a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a 3 a 2 a 2 a 1 a ,即得数列 na 的通项公式；三、累乘法例已知数列 a n满意a n12nn 15a n,a 13,求数

19、列 a n的通项公式；n,进而求评注：此题解题的关键是把递推关系a n12 nn 15a 转化为 nan12n15an出an1a n1a3a2a 1,即得数列 a n的通项公式；a nan2a2a 1四、取倒数法名师归纳总结 例已知数列 a 中,其中a 1,1,且当 n2 时,a n2an11,求通项公式a ；第 6 页,共 12 页a n1解将anan11两边取倒数得：1a112,这说明1是一个等差数列,2 a n1anann- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 首项是11,公差为 2,所以1名师精编优秀资料2n1,即a n211. 1n1 2a1ann

20、五、待定系数法例 已知数列 a n 满意 a n 1 2 a n 3 5 n,a 1 6,求数列 a n 的通项公式；评注：此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 2 a n 3 5 n转化为 a n 1 5 n 1 2 a n 5 n,从而可知数列 a n 5 是等比数列,进而求出数列 a n 5 n的通项公式,最终再求出数列 a n 的通项公式；例 已知数列 a n 满意 a n 1 3 a n 5 2 n 4,a 1 1,求数列 a n 的通项公式；n评注：此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 3 a n 5 2 4 转化为n 1 n na n 1 5 2 2 3 a n 5 2

21、2,从而可知数列 a n 5 2 2 是等比数列,进而求出数列 a n 5 2 n 2 的通项公式,最终再求数列 na 的通项公式；六、对数变换法例已知数列 a n满意a n1n 2 35 a ,a 17,求数列 a n的通项公式；lg 2的通项评注：此题解题的关键是通过对数变换把递推关系式a n1n 2 35 a 转化为lga n1lg 3n1lg 3lg 25lganlg 3nlg 3lg 2,从而可知数列41644164lganlg 3nlg 3lg 2是等比数列,进而求出数列lganlg 3nlg 341644164公式,最终再求出数列a n的通项公式；七、迭代法名师归纳总结 例已知数

22、列 a n满意a n13 a nn12n,a 15,求数列 a n的通项公式；n第 7 页,共 12 页评注：此题仍可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式；即先将等式a n13 a nn12两边取常用对数得lga n13 nn 1 2lga ,即 nlgan13n12n,再由累乘法可推知lgan- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lga nlga n1lga n1lga 3名师精编优秀资料. 2n n1,从而a n3 n51n . 2n n1；lga 2lga 1lg53 n1n22lga nlga n2lga 2lga 1八、数学归纳法例已知数列

23、 a n满意an1an2n8n132,a 18,求数列 a n的通项公式；2 1 2n9解：由an1an2n8n132及a 18,得；2 1 2n9由此可推测a n2 nn2 11,往下用数学归纳法证明这个结论；22 1（1）当n1时,a 12 2 1 118,所以等式成立；2 2 1 19（2）假设当 nk 时等式成立,即a k2kk2 11,就当nk1时,22 1a k1ak2k8k132；2 1 2k由此可知,当nk1时等式也成立；依据（ 1）,（ 2）可知,等式对任何n* N 都成立；九、换元法名师归纳总结 例已知数列 a n满意an11 1 164a n124an,a 11,求数列

24、a n的通项公式；第 8 页,共 12 页解：令b n124 a ,就 nan1 242 b n1124an得；即2 4 b n1 b n32故a n11 242 b n11,代入a n11 1 164 an由于b n124 a n0,故b n1124 a n10就2 b n1b n3,即b n11b n3,22可化为b n131b n3,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 b n3是以b 13124 a 1名师精编1优秀资料32为首项,以1 为公比的等比数 2324 1列,因此b n3121 2n11n2,就bn1n23,即124an1n23,

25、得222an2 1 3 4nn1；23十、构造等差、等比数列法a n 1panq；a n1pa nqn；a n1panfn；an2pa n1qan. 例已知数列a n中,a 1,1a n12 a n3,求数列an的通项公式 . 【解析】an132 a n3a n342n1a nn 213 .【反思归纳】递推关系形如“an 1pa nq”适用于待定系数法或特点根法：x；令a n1p an；a nxx1qp,a n1xpa n 在an 1pa nq中令an1由a n 1pa nq得anpa n1q,an1anp a na n1. 例已知数列an中,a 1,1an12 ann 3,求数列a n的通项

26、公式 . 【解析】an12 ann 3,a nn1a n13n,令an1b n22n22nn 32nb 2b 1b 123n2anb n b nb n1b n1b n22【反思归纳】递推关系形如“an1pann q” 通过适当变形可转化为：“a n 1pa nq” 或“a n1a nfn n求解 . 十一、不动点法名师归纳总结 例已知数列 a n满意an127 an2,a 12,求数列 a n的通项公式；的不动点；第 9 页,共 12 页2an3解：令x7x2 3,得2x4x20,就x1是函数f x 3x12x4x7由于an117an215a n5 3,所以2an32a n- - - - -

27、- -精选学习资料 - - - - - - - - - an2 1 3 4n1n1；名师精编优秀资料23评注：此题解题的关键是通过将124 a 的换元为nb ,使得所给递推关系式转化b n11b n3形式,从而可知数列 b n3为等比数列, 进而求出数列 nb3的通项公式,22最终再求出数列 a n的通项公式；四、数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和1、 等差数列求和公式：S nna 12anna 1nn1d1 2S nna 1qna 1anqqq112、等比数列求和公式：a 1 1前 n 个正整数的和11q1q23nnn1 2前 n 个正整数的平方和2 1222 3n2nn1 2

28、 n6前 n 个正整数的立方和3 12333n3nn1 22公式法求和留意事项（1）弄准求和项数 n 的值；（2）等比数列公比 q 未知时,运用前 n 项和公式要分类；例已知log3xlog13,求xx2x3nxnS n的前 n 项和 . 2501例2S n的最大值 . 设 Sn1+2+3+ +n,nN*,求fn321fn nS nS n11n132 n3464850nn 当n8,即 n8 时,fn max1850二、错位相减法求和名师归纳总结 这种方法主要用于求数列a nbn 的前 n 项和,其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比第 10 页,共 12 页数列 . 求和时一般在已知和

29、式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和；例：（2022 全国卷理 ）在数列 a n中,a 11,an111annn1n（反序）,n2（I ）设b nan,求数列 nb的通项公式（ II ）求数列 a n的前 n 项和S nn分析 ：（I ）由已知有an1a n1b n1b n1n1n2n2n利用累差迭加即可求出数列nb的通项公式 : bn2211nN* n（II ）由（ I ）知an2 nn1,S =n12k2k1kn12 kn1k

30、12nkk2k而n12 n n1, 又kn1 2k1是一个典型的错位相减法模型,kk易得n1k14nn2S = n n1nn24k2k2121三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列再把它与原数列相加,就可以得到n 个 a 1a n.例求证：C03 C15 C2 2n1Cn n12nnnnn证明：设S nC03 C15 C22 n1 CnnnnnS n2 n1 Cn2 n1 Cn13 C1C0S nn12nnnn四、分组法求和名师归纳总结 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,如将这类数列适当拆开,可分为几个第 11 页,共 12 页等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例 7 求数列的前n 项和：1,114,17 ,113 n2, aa2an解：设Sn11 1417a113 n2aa2nSn111a111473 n2aa2n当 a1 时,Snn3 n21 n 3n21 n当a1时,S n11 3 n21naaa1n3 n21 nn a111a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编