2022年数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学2.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数列专题复习一、等差数列的有关概念：1annd d为常数 ）或an1ana na n1n2；1、等差数列的判定方法：定义法an如设 a n是等差数列, 求证：以 bn=a 1a2annN*为通项公式的数列b n为等差数列；2、等差数列的通项：a n a 1 n 1 d 或 a n a m n m d ；如1 等差数列 a n 中,a 10 30,a 20 50,就通项 a n（答： 2 n 10）；（2）首项为 -24 的等差数列, 从第 10 项起开头为正数, 就公差的取值范畴是 _（答：8 d 3）33、等差数列的前 n 和：S n n a

2、 1 a n ,S n na 1 n n 1 d ；2 2如（ 1） 数列 a n 中,a n a n 1 1 n 2, n N *,a n 3,前 n 项和 S n 15,2 2 2就 1a , n （答：a 1 3,n 10）；2（2） 已知数列 a n 的前 n 项和 S n 12 n n ,求数列 | a n | 的前 n 项和 T （答：2 *12 n n n 6, n N T n 2 *）. n 12 n 72 n 6, n N 4、等差中项： 如 a A b 成等差数列,就 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A a b；2提示 ：（1）等差数列的通项公式及 前 n 和公式中,

3、 涉及到 5 个元素：1a 、 d 、n 、a 及S ,其中 a 、 d 称作为基本元素；只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2；（ 2） 为削减运算量,要留意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为 ,a 2 , d a d a a d a 2 d （ 公 差 为 d ）； 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 ,a 3 , d a d a d a 3 d , （公差为 2 d ）5、等差数列的性质：（1）当公差 d 0 时,等差数列的通项公式 a n a 1 n 1 d dn a 1 d 是关于 n 的一次函数, 且斜率为公差 d ；前 n 和 S

4、 n na 1 n n 1 d d n 2 a 1 d n 是关于 n 的二次2 2 2函数且常数项为 0. 1 / 13名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）如公差d0,就为递增等差数列,如公差d0,就为递减等差数列,如公差d 0,就为常数列；（ 3）当 m n p q 时,就有 a m a n a p a q,特殊地,当 m n 2 p 时,就有a m a n 2 a . 如（ 1）等差数列 a n 中,S n 18, a n a n 1 a n 2 3, S 3 1,就n_（答： 27）； 4 如 a n

5、、 b n 是等差数列,就 ka n 、 ka n pb n k 、 p 是非零常数 、* a n a p nq p q N 、S n , S 2 n S n , S 3 n S 2 n, 也成等差数列, 而 a 成等比数列； 如 a n 是等比数列,且 na 0,就 lg a n 是等差数列 . 如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,就它的前 3n 和为；（答：225）（5）在等差数列 a n 中,当项数为偶数 2n 时, S 偶S 奇 nd；项数为奇数 2 n 1 时,S 奇 S 偶 a 中,S 2 n 1 2 n 1 a中 （这里 a中 即 a ）；S 奇：S偶 n

6、 : n-1；如（ 1） 在等差数列中,S1122,就 a _（答： 2）；（2）项数为奇数的等差数列 a n 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数（答：5；31） . （ 6 ） 如 等 差 数 列 a n 、 nb 的 前 n 和 分 别 为 A 、B , 且 B A nn f n , 就a n 2 n 1 a n A 2 n 1 f 2 n 1 . 如设 a 与 b 是两个等差数列, 它们的前 n 项和分b n 2 n 1 b n B 2 n 1别为 S 和 T ,如 S n 3 n 1,那么 a n _（答：6 n 2）T n 4 n 3 b n 8 n 77

7、 “ 首正” 的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是全部非负项之和；“ 首负” 的递增等 差 数 列 中 , 前 n 项 和 的 最 小 值 是 所 有 非 正 项 之 和 ； 法 一 ： 由 不 等 式 组a n 0或 a n 0 确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前 n 项是关于a n 1 0 a n 1 0*n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要留意数列的特殊性 n N；上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想）,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（ 1） 等差数列 a n 中,a 1 25,S 9 S ,问此数列前多少项和最大？并求此最大2 / 13

8、名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 值；（答：前 13 项和最大,最大值为 169）；（2）如 a n 是等差数列,首项 a 1 0, a 2003 a 2004 0,a 2003 a 2004 0,就使前 n 项和S n 0 成立的最大正整数 n 是（答： 4006）（3）在等差数列 a n 中,a 10 0, a 11 0,且 a 11 | a 10 |,S 是其前 n 项和,就（）A、S S 2 L S 10 都小于 0,S 11 , S L 都大于 0B、S S 2 L S 19 都小于 0,S 20 , S

9、 L 都大于 0C、S S 2 L S 5 都小于 0,S 6 , S L 都大于 0D、S S 2 L S 20 都小于 0,S 21 , S L 都大于 0（答： B）8假如两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 数不肯定相同,即争论 a n b . 二、等比数列的有关概念：. 留意 ：公共项仅是公共的项,其项an11 、 等 比 数 列 的 判 断 方 法 ： 定 义 法an1q q为常数 ）, 其 中q0,an0或a nann2；a na n1n如（ 1）一个等比数列a 共有 2n1项,奇数项之积为100,偶

10、数项之积为120,就a n1为_（答：5 6）；（ 2）数列 a n中,S=4an1+1 n2且a =1,如b nan12 an,求证：数列b 是等比数列；2、等比数列的通项：a na qn1或ana qn m；如等比数列 an中,a 1an66,a a n1128,前 n 项和S 126,求n和 q . （答：6,q1或 2）23、等比数列的前n 和：当q1时,S nna ；当q1时,S na 11qna 1a q；1q1q如（ 1） 等比数列中, q 2, S99=77,求a3a 6a 99（答： 44）；（2）10nCk的值为 _（答： 2046）；nn1k03 / 13名师归纳总结 -

11、 - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 特殊提示： 等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前判定公比 q 是否为 1,再由 q 的情形挑选求和公式的形式,当不能判定公比n 项和时, 第一要 q 是否为 1 时,要对 q 分 q 1 和 q 1 两种情形争论求解；4、等比中项： 如 a A b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项； 提示 ：不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个ab ；如已知两个正数a b a b 的等差中项为 A,等比中项为 B,就 A 与 B 的大小关系为 _（答：

12、 AB）提示 ：（ 1）等比数列的通项公式及 前 n 和公式中,涉及到 5 个元素：1a 、 q 、 n 、a 及S ,其中 a 、 q 称作为基本元素；只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2；（ 2） 为削减运算量,要留意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为 ,a2, a a aq aq 2 （公比为 q ）；但偶数个数成等比时,不能设为a3 , a, aq , aq 3, ,q q q q因公比不肯定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是2 q ；如有四个数,其中前三16,其次个数与第

13、三个数的和为12,求此四个数； （答： 15, ,9,3,1 或 0,4,8,16）mn2p 时,就有5. 等比数列的性质：（ 1 ）当 mnpq 时,就有a mg anapg a q,特殊地,当a mg a na p2. q 是整数,就a 10=_如（ 1） 在等比数列 an中,a3a 8124,a a 7512,公比（答： 512）；（2）各项均为正数的等比数列an中,如a5a69,就log3a 1log3a 2Llog3a 10（答： 10）；2 如 a n 是等比数列,就 | a n |、 a p nq p q N * 、 ka n 成等比数列；如 a n 、b n 成等比数列, 就

14、a b n 、 ab n n 成等比数列；如 a n 是等比数列, 且公比 q 1,就数列 S n , S 2 n S S 3 n S 2 n, 也是等比数列；当 q 1,且 n 为偶数时,数列S n , S 2 n S n , S 3 n S 2 n, 是常数数列 0,它不是等比数列 .如 （ 1 ） 已 知 a 0 且 a 1, 设 数 列 x n 满 足 log a x n 1 1 log a x n n N *, 且4 / 13名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 1x 2Lx 100100,就x 101x

15、 102Lx200. （答：100a100）；（2）在等比数列an中,S 为其前 n 项和,如S 3013S 10,S 10S 30140,就S 20的值为 _（答： 40）3 如 a 1 0, q 1,就 a n 为递增数列；如 a 1 0, q 1 , 就 a n 为递减数列；如a 1 0,0 q 1,就 a n 为递减数列； 如 a 1 0,0 q 1 , 就 a n 为递增数列； 如 q 0,就 a n 为摇摆数列；如 q 1,就 a n 为常数列 . 4 当 q 1 时,S n a 1q n a 1 aq n b,这里 a b 0,但 a 0, b 0,1 q 1 q是等比数列前 n

16、 项和公式的一个特点,据此很简单依据 S ,判定数列 a n 是否为等比数列；如如 a n 是等比数列,且 S n 3 nr ,就 r （答： 1）m n5 S m n S m q S n S n q S . 如设等比数列 a n 的公比为 q ,前 n 项和为 S ,如 S n 1 , S n , S n 2 成等差数列,就 q 的值为 _（答： 2）6 在等比数列 a n 中,当项数为偶数 2n 时, S 偶 qS 奇；项数为奇数 2 n 1 时,S 奇 a 1 qS 偶. 7假如数列 a n 既成等差数列又成等比数列,那么数列 a n 是非零常数数列,故常数数列 a n 仅是此数列既成等

17、差数列又成等比数列的必要非充分条件；如 设数列 a n 的前 n 项和为 S （n n N）,关于数列 a n 有以下三个命题：如a n a n 1 n N ,就 a n 既是等差数列又是等比数列；如 Sn a n 2b n a、b R,n就 a n 是等差数列； 如 S n 1 1,就 a n 是等比数列； 这些命题中, 真命题的序号是（答：）三、数列通项公式的求法一、公式法a nnS（1n12 ；S nS n1na等差、等比数列an公式 . 5 / 13名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例已知数列 a n满意a

18、n12an32n,a 12,求数列 an的通项公式；评注：此题解题的关键是把递推关系式an12an32n转化为a n1a n3 2,说明数列n 212na n是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出a n2 n113 2n,进而求出数列2 nan的通项公式；二、累加法例 已知数列 a n 满意 a n 1 a n 2 n 1,a 1 1,求数列 a n 的通项公式；评注：此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2 n 1 转化为 a n 1 a n 2 n 1,进而求出 a n a n 1 a n 1 a n 2 L a 3 a 2 a 2 a 1 a 1,即得数列 a n 的通

19、项公式；例 已知数列 a n 满意 a n 1 a n 2 3 n1,a 1 3,求数列 a n 的通项公式；n n评注：此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2 3 1 转化为 a n 1 a n 2 3 1,进而求出 a n a n a n 1 a n 1 a n 2 L a 3 a 2 a 2 a 1 a 1,即得数列 a n 的通项公式；三、累乘法例已知数列 a n满意an12nn 15a n,a 13,求数列 an的通项公式；n,进而求评注：此题解题的关键是把递推关系a n12nn 15a 转化为a n12n15a出an1a n1La 3a2a 1,即得数列 a n的通项

20、公式；na nan2a2a 1四、取倒数法例已知数列 a 中,其中a1,1,且当 n2 时,an2an11,求通项公式a ；an1解将an2an11两边取倒数得：1112,这说明1是一个等差数列,an1ana nan6 / 13名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 首项是11,公差为 2,所以11n1 22n1,即a n211. a1ann五、待定系数法例 已知数列 a n 满意 a n 1 2 a n 3 5 n,a 1 6,求数列 a n 的通项公式；n n 1 n评注：此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 2

21、 a n 3 5 转化为 a n 1 5 2 a n 5 ,n n从而可知数列 a n 5 是等比数列,进而求出数列 a n 5 的通项公式,最终再求出数列 a n 的通项公式；例 已知数列 a n 满意 a n 1 3 a n 5 2 n4,a 1 1,求数列 a n 的通项公式；n评注：此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 3 a n 5 2 4 转化为n 1 n na n 1 5 2 2 3 a n 5 2 2,从而可知数列 a n 5 2 2 是等比数列,进而求出数列 a n 5 2 n 2 的通项公式,最终再求数列 a n 的通项公式；六、对数变换法例已知数列 a n满意an12

22、3n5 a ,a 17,求数列 an的通项公式；lg 2的通项评注：此题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an12n 35 a 转化为lga n1lg3n1lg3lg 25lga nlg3nlg3lg 2 4,从而可知数列4164416lga nlg3nlg3lg 2 4是等比数列,进而求出数列lga nlg3nlg34164164公式,最终再求出数列an的通项公式；七、迭代法例已知数列 a n满意a n13 a nn12n,a 15,求数列 a n的通项公式；n评注：此题仍可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式；即先将等式a n13 a nn12两边取常用对数得lgan13n12nl

23、ga ,即lgan13 n12n,再由累乘法可推知lgan7 / 13名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - lga nlga n1lga n1Llga 3lga 2lga 1lg53 n1n . 2n n1,从而an5n 31n . 2n n1；22lga nlga n2lga 2lga 1八、数学归纳法例已知数列 a n满意an1a n2n8n132,a 18,求数列 an的通项公式；2 1 2n9解：由an1an2n8n132及a 18,得；2 1 2n9由此可推测a n2nn2 11,往下用数学归纳法证明这个结论

24、；2 12（1）当n1时,a 1212 118,所以等式成立；2 1 129（2）假设当 nk 时等式成立,即ak2kk121,就当nk1时,2 12ak1ak2k8k132；2 1 2k由此可知,当nk1时等式也成立；依据（ 1）,（ 2）可知,等式对任何n* N 都成立；九、换元法例已知数列 a n满意a n11 1 4 16a n124 a n,a 11,求数列 an的通项公式；解：令b n124 a ,就 na n1 b n 2241124 a n得；即2 4 b n1 bn32故a n11 b n 22411,代入a n11 1 164 a n由于b n124 a n0,故b n11

25、24 a n10就2b n1b n3,即b n11b n3,22可化为b n131 b n3,28 / 13名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 b n3是以b 13124 a 13124 132为首项,以1 为公比的等比数 2列,因此b n31 2 2n11 2n2,就b n1 n 223,即124 a n1 2n23,得a n2 1 3 4n 12n1；3十、构造等差、等比数列法a n 1panq；an1panqn；an1panfn；an2pan1qan. 例已知数列an中,a1,1a n12an3,求数列a

26、n的通项公式 . 【解析】an132an3 a n342n1an2n13.【反思归纳】递推关系形如“an 1panq”适用于待定系数法或特点根法：x；令an1pan；anxx1qp,an1xpan 在an 1panq中令an1由an 1panq得anpan1q,an1anpanan1. 例已知数列an中,a 11 ,an12 an3n,求数列an的通项公式 . 【解析】an12ann 3,a nn1an13n,令an1b n22n22n3n2nb 2b 1b 123n2anb nbnb n1b n1b n22【反思归纳】递推关系形如“an1panqn” 通过适当变形可转化为：“an 1panq

27、” 或“an1anfnn求解 . 十一、不动点法例已知数列 a n满意an127 an2,a 12,求数列 an的通项公式；的不动点；2an3解：令x7x2 3,得2x4x20,就x1是函数f x 3 x12 x4 x7由于an117an215a n5 3,所以2an32a n9 / 13名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - a n2 1 3 4n1 2n1；3评注：此题解题的关键是通过将124 a 的换元为b ,使得所给递推关系式转化b n11b n3形式,从而可知数列 b n3为等比数列, 进而求出数列 nb3的通

28、项公式,22最终再求出数列an的通项公式；四、数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和1、 等差数列求和公式：S nna 12a nna 1n n1d1 22、等比数列求和公式：S nna 1qna 1anqqq11 a 1 11q1q前 n 个正整数的和123nn n12前 n 个正整数的平方和2 1222 3n2n n1 2 n6前 n 个正整数的立方和3 12333n3n n1 22公式法求和留意事项（1）弄准求和项数 n 的值；（2）等比数列公比 q 未知时,运用前 n 项和公式要分类；例已知log3xlog13,求xx2x3nxnS n的前 n 项和 . 2501例2的最大值

29、 . S n设 Sn1+2+3+ +n,nN*,求fn321fn nS nS n11n132n6485034nn 当n8,即 n8 时,fn max1850二、错位相减法求和这种方法主要用于求数列 a nbn 的前 n 项和,其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列 . 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 q ；10 / 13名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和；例：（2022 全国卷理 ）在数列 a n中,a 11,

30、a n111 a nnn1（反序）,n2（I ）设b na n,求数列 b n的通项公式（ II ）求数列 a n的前n项和S nn分析 ：（I ）由已知有a nn1a n1b n1b n111nN* 1nn 2n 2利用累差迭加即可求出数列b n的通项公式 : b n22n（II ）由（ I ）知an2 nn1,S =n12k2k1kn12 kn1k12nkk2k而n12 n n1, 又knk1是一个典型的错位相减法模型,k1 2k易得n12k14nn2S = n n1nn24kk2121三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列再把它与原数列相

31、加,就可以得到n 个a1an.例求证：C03 C15C22 n1 Cnn1 2nnnnn证明：设S nC03 C15C22 n1 CnnnnnS n2 n1 Cn2 n1 Cn13 C1C0nnnnSnn1 2n四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,如将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例 7 求数列的前n 项和：1,11 a4 , 12a 12a,7,113 n2, an1解：设S n111 a7 13 n2 4 anS n111a111473 n2 aa2n当 a1 时,Snn3 n21 n 3 n21n11 / 13名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当a1时,S n11 3 n21naaa1n3 n21 nn a111a例：（2022 全国卷 2 文）（18）（本小题满分12 分）已知 an是各项均为正数的等比数列,且a 1a 2211