同济第六版《高等数学》教案版-第章中值定理与导数的应用.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、懂得并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，明白柯西中值定理和泰勒中值定理。2、懂得函数的极值概念，把握用导数判定函数的单调性和求函数极值的方法，把握函数最大值和最小值的求法及其简洁应用。3、会用二阶导数判定函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描画函数的图形。4、把握用洛必达法就求未定式极限的方法。5、知道曲率和曲率半径的概念，会运算曲率和曲率半径。6、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点 ：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理。2、

2、函数的极值，判定函数的单调性和求函数极值的方法。3、函数图形的凹凸性。4、洛必达法就。教学难点：1、 罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。2、 极值的判定方法。3、图形的凹凸性及函数的图形描画。4、洛必达法就的敏捷运用。3 1中值定理一、罗尔定理费马引理设函数 fx在点 x0 的某邻域U x0并且在 x0假如对任意xU x0有fx f x0 或 f x f x0那 么 f x0 0罗尔定理假如函数y fx 在闭区间 a, b上连续在开区间 a, b内可导且有 fa fb那么在 a, b内至少在一点使 得 f 0简要证明1 假如 fx是常函数就 f x 0定理的结论明显成立2 假如 f x不是常函

3、数就 fx 在ab内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大值点a b于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所 以 f x=0.罗尔定理的几何意义f f f f lim0f xxf f xxf xlim0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

4、师归纳总结二、拉格朗日中值定理精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结拉格朗日中值定理假如函数 fx在闭区间 a b 上连续在开区间 a b内可导那么在 a b内至少有一点a b使得等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结成立拉格朗日中值定理的几何意义fb fa f b a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理的证明引进辅函数f f bbf a a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令x fx faf bbf a axa可编辑资料 - - -

5、 欢迎下载精品名师归纳总结简洁验证函数fx适合罗尔定理的条件ab 0x在闭区间 ab 上连续在开区间ab内可导且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x f xf bbf a a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据罗尔定理可知在开区间a b内至少有一点使 0即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此得f f bbf bbf a af a0 af 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即fb fa f b a定理证毕fb fa f ba 叫做拉格朗日中值公式这个公式对于b0 或x0 或 xx x x0 应用拉格朗日中值公式得f xx f x f

6、xxx 01假如记 fx为 y就上式又可写为y f xxx 01试与微分d y f xx 比较d yf xx 是函数增量y 的近似表达式而f xxx 是函数增量y 的精确表达式作为拉格朗日中值定理的应用我们证明如下定理定理假如函数fx在区间 I 上的导数恒为零那么 f x在区间 I 上是一个常数证在区间 I 上任取两点x1 x2x1x2应用拉格朗日中值定理就得fx2 f x1 f x2x1x1 x2由假定f 0所以 fx2 fx1 0即fx2 f x1由于 x1 x2 是 I 上任意两点所以上面的等式说明f x在 I 上的函数值总是相等的这就是说fx在区间 I 上是一个常数可编辑资料 - -

7、- 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2证明当 x 0 时xln1xx1x精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证设 fx ln1x明显 fx在区间 0x 上满意拉格朗日中值定理的条件依据定理就有fx f0f x 0 0 x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 f00fl

8、n1x11xxx1因此上式即为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由 0x有x1xln1xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、柯西中值定理设曲线弧C 由参数方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结XF xYf xa x b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表示其中 x 为参数假如曲线C 上除端点外到处具有不垂直于横轴的切线那么在曲线C 上必有一点x使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB曲线 C 上点 x处的切线的斜率为dYf dXF 弦 AB 的斜率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f bF b于是f bF bf

9、aF af aF af F 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结柯西中值定理假如函数f x及 F x在闭区间 ab 上连续在开区间 ab内可导且 Fx在a b内的每一点处均不为零那么在 a b内至少有一点使等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f bF b成立f aF af F 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明显假如取 Fx x那么 F b F a b a F x 1因而柯西中值公式就可以写成fb fa f b a a b这样就变成了拉格朗日中值公式了3. 3泰勒公式对于一些较复杂的函数 为了便于争论 往往期望用一些简洁的函数来近似表达 由于用多项式

10、表示的函数 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算 便能求出它的函数值 因此我们常常用多项式来近似表达函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案在微分的应用中已经知道当|x|很小时有如下的近似等式xe1 x ln1xx这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子但是这种近似表达式仍存在着不足之处第一是精确度不高这所产生的误差仅是关于x

11、 的高阶无穷小其次是用它来作近似运算时不能详细估算出误差大小因此对于精确度要求较高且需要估量误差时候就必需用高次多项式来近似 表达函数同时给出误差公式设函数 fx 在含有 x0 的开区间内具有直到n1阶导数现在我们期望做的是找出一个关于 x x0 的 n 次多项式p nx a 0a 1x x0 a 2x x0 2a n x x0 n来近似表达fx要求 p nx与 fx之差是比 x x0 n 高阶的无穷小并给出误差 | f xp n x|的详细表达式我们自然期望p nx与 f x在 x0 的各阶导数 直到 n 1阶导数 相等这样就有p nx a 0a 1x x0 a 2x x0 2a n xx0

12、 np n xa 1 2 a 2 x x0 na n x x0 n 1p n x2 a 23 2a 3 x x0 n n 1a n x x0 n 2p nx3. a 34 3 2a 4x x0 n n 1 n 2a n x x0 n 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是按要求有p n n x n. a npn x0 a 0p n x0 a 1p nx0 2. a 2p n x3. a 3p n nx n. a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx0 p nx0a0 f x0p n x0a 1fx0p nx02. a 2f x0p nx03. a 3可编辑资料

13、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从而有nfx0p nnx0 n. a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 0 fx0 a 1 f x0 a21 f x02.a31 f3.x0 an1 n.f n x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是就有ak1 f k.k x0 k 0 1 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pnxfx0f x0 x x01 f x x x0 202.1 f nx0n. x

14、x0 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结泰勒中值定理假如函数fx 在含有 x0 的某个开区间a b内具有直到 n 1 的阶导数就当 x在a b内时fx可以表示为 x x0 的一个 n 次多项式与一个余项R nx之和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x0

15、f x0 xx02. f x0 xx 21 f n x n.xx nRn x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 Rn x这里f nn1 1.x000x0 n1 介于 x0与 x 之间 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1多项式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pn xf x0 f x0xx02. f x0 xx 21 f n x n.xx n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结000称为函数fx按x x0 的幂绽开的n 次近似多项式公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x0 f x0xx0 1 f x0x2.x0

16、 21 f n x0 x n.x0 nRn x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为 fx按x x0 的幂绽开的n 阶泰勒公式而 R nx的表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 Rn xf nn1 1. xx0 n1 介于 x 与 x0之间 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为拉格朗日型余项当 n 0 时泰勒公式变成拉格朗日中值公式fx f x0 f xx0 在 x0 与 x 之间 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广假如对于某个固定的n当 x 在区间 a b内变动时|f n 1x|总不超过一个常数M就有估量可编辑资料 - - - 欢迎下

17、载精品名师归纳总结式f n1 n 1Mn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|Rn x | n1.xx0|n1. |xx0 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结及limRnx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0 xx0 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可见妆 xx0 时误差 |R n x|是比 x x0 n 高阶的无穷小即R n x oxx0 n 在不需要余项的精确表达式时n 阶泰勒公式也可写成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf x0 f x0xx0 1 f x0x2.x0 21 f n x0 x n.x

18、0 no xx0 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x00 时的泰勒公式称为麦克劳林公式就是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf 0f 0 xf0 x22.f n 0 x nn.Rnx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或f xf 0f 0xf 0 x 22.f n 0 xn n.o xn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 Rn xf nn1 1. xn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此得近似公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料

19、名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x误差估量式变为|Rn x |f 0fM0x| x |n 1f 0 x 22.f n 0nxn.精品教学教案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1.例 1写出函数f x ex 的 n 阶麦克劳林公式解由于f x f x fxf n x e x所以f0f 0f0f n 01可编辑资料 - - - 欢

20、迎下载精品名师归纳总结于是ex1x1 x21 xne xxn1 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结并有ex1x2.1 x22.n.1 xn n.n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这时所产性的误差为x|R nx| |ex n 1|e|x | x | n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n 1.n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x 1 时可得 e 的近似式ex1 1112.n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其误差为|R n |0就 fx 在 a b上的图形

21、是凹的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品教学教案2 如在 a b内 fx0就 fx 在 a b上的图形是凸的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结简要证明只证 1设x , xx1x2 ab且 x1 x2记 xx1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1f x0f 11得x12x0f 1x1x2 202x11x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x2f x0f 2 x2x0f 2x2x1 2x02x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式相加并应用拉格朗日中值公式得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1f x22 f x0 f 2 f 1 x2x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 2x2x112012可