投票公正性问答数学建模论文资料.doc

^` 2010年湖南文理学院大学生数学建模竞赛 (承诺书) A题 高速公路 B题 投票问题 √ 选择题号： （在方格内打√） 我们承诺： 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 学校名称： 所属院系： 学生姓名： 联系电话： 指导教师： 签名： B题：投票问题 摘 要 在各类推优评先中，投票选举一直是重要的方法，投票的公正性与与合理性将对投票结果产生影响。本文通过对已知案例进行分析与解答，根据相关的数学建模知识，解决了题目要求的实际问题。 首先就题目给出的条件进行分析得出一系列推论，根据已知条件、推论和基本假设，就材料中各问题进行分析。 针对问题一、二，求得理论上各单位候选人得数之和，作出判断。 针对问题三，通过分类讨论的方法，求得得数的期望值。 针对问题四，首先提出公正合理性判断方法，笔者认为，在假定候选人条件相同的情况下，候选人的理论得分或者得票数如果相同，那么该评选方案是公正的，因此取各候选人得分或者得票数的标准偏差σ，建立公正度的函数，通过此函数描述该方案的公正性。 在比较问题一、二、三后，得出公正性k受到倾向性与各单位候选人人数这两个因素的影响，本文提出了消除倾向性影响方案与减候选人人数影响方案，通过两种途径提高k值，然后比较两种方案优劣性，提出改进方案，综合了两种方案，消除弊端。 关键词：投票问题 标准偏差 公正性 一、问题的提出 某部门有四个下属单位，各单位人数情况如下： 领导机构 甲 乙 丙 丁 人　　数 20 75 45 35 25 领导倾向 20 9 6 3 2 上面表中第3行“领导倾向”表示20个领导中有9人在投票中将把票投到甲单位候选人，6人投乙单位候选人。 在评选各类先进人物的时候，经常涉及投票的问题。一般各单位人员均倾向于本单位，领导也有一定的倾向性。但领导的倾向性跟一般成员有差异：当指标较少的时候，首先倾向于本单位，当指标相对多的时候，为了在整个部门有好印象，会将其中的部分票投向其它单位成员。当候选人条件完全相同的时候，这种倾向性就显得更重要。 1．在某次评优中，该部门总共有2个指标。负责人让每个单位推荐2位候选人，然后从这8个人中通过投票选出2人。投票人在票上本人同意的人名下书写数字1，2，表明支持这两个人，1优先，2次之，其余不填。最后清点8个候选人所得数字之和，数字之和最小的两个候选人当选。假定每位候选人条件相同，估计这两个指标很大可能落入哪些单位？ 2．该部门为了体现公平，要求每位投票者只能填写1个本单位人员，1位其它单位人员。按照这种办法再估计一下选举结果。这种办法是否提高了公平性。 3．为了获得更大的希望，某个单位只推举1位候选人，你认为这种做法是否真的有利，能否对结果产生影响。只考虑⑴单位甲推举1人，其它3个单位推举2人；⑵单位丙推举1人，其它3个单位推举2人。 4．提出比较公正合理的选举办法。 二、问题背景简述与分析 在各类推优评先中，投票选举一直是重要的方法，投票的公正性与与合理性将对投票结果产生影响。笔者针对题目中已知条件进行分析： 1、 从“某部门有四个下属单位”我们可以得出，表中领导机构不作为独立单位； 2、 从“但领导的倾向性跟一般成员有差异：当指标较少的时候，首先倾向于本单位，当指标相对多的时候，为了在整个部门有好印象，会将其中的部分票投向其它单位成员。”中我们可以得出，领导有自己的单位，即领导来自甲、乙、丙、丁四个单位，而且在指标紧张时会倾向于投自己单位的候选人，在指标相对宽松时会投票给其他单位候选人，但是一定会将第一票投给自己单位候选人； 3、 从“一般各单位人员均倾向于本单位”中我们可以得出，一般单位人员会投自己单位候选人的票。 4、 从“当候选人条件完全相同的时候，这种倾向性就显得更重要”中可以得出，当各单位候选人条件一致时，起决定因素的是倾向性。 根据以上推论可以得出，该部门总人数为180人，甲单位有9名领导，乙单位有6名领导，丙单位有3名领导，丁中有2名领导。一般单位人员将无条件投票给自己单位候选人，而领导至少将一票投给自己单位候选人。 三、基本假设与符号说明 3.1基本假设 假设每个候选人的条件一样。 某单位人员对其他单位候选人的投票或评分采取公正态度。 当评优指标有两个时，属于指标相对多的情况，无论本单位有多少候选人，领导都会将第二票投向其他单位。 假设投向其他单位的票将平均分流到其他单位的每个候选人。 3.1符号说明 符号 符号意义 某单位获得的票数总和，x为甲、乙、丙、丁 某单位获得的优先票的票数总和，x为甲、乙、丙、丁 某单位人员投给自己单位候选人次之票的总和 某单位获得的次之票的票数总和，x为甲、乙、丙、丁 某单位领导平均投给其他单位的票数，x为甲、乙、丙、丁 某单位的得数总和，x为甲、乙、丙、丁 某单位平均每个候选人的得数总和，x为甲、乙、丙、丁 x单位的i号候选人的平均得分 某评选方案的公正合理度 所有候选人的的票数或者的分数的标准偏差 自然对数的底数，取近似值2.71828 某单位总人数，x为甲、乙、丙、丁 Q 各单位候选人取该单位人数Hx的Q% 某候选人的平均得分 所有候选人的平均得分 四、问题分析与建模流程 4.1问题一分析 在该问题中，该部门有两个指标，而每个单位有两个候选人，属于指标相对较多的情况，对于一般单位人员来说，他们均倾向于本单位候选人，因此他们将都投向本单位候选人，而领导则会将第一票（优先）投向本单位候选人，将第二票（次之）投给其他单位候选人，将每个单位的两个候选人看做一个整体，则该单位所得票数为： 其中： 假设，领导投给其他部门票是等可能的，那么我们可以将领导的票取平均值作为流出票数，有： 所得数字之和为： 根据“当候选人条件完全相同的时候”条件，假设同单位候选人得票情况相同，即认为候选人所得数子之和为，因此有下表： 甲 乙 丙 丁 75 45 35 25 69.7 43.7 37.7 29 214.4 132.4 110.4 83 107.2 66.2 55.2 41.5 4.1问题二分析 在该问题中，每单位人员只能投一票给自己单位的候选人，那么根据倾向性原则，每单位人员的优先票将投给自己单位候选人，而次之票将投给其他单位候选人，那么依然将各单位两个候选人看做一个整体，所得总票数为： 其中： 假设次之票投给其他三个单位是等可能事件，则取其平均值作为流出票数，那么有： 得数之和表示为： 同样假设同单位候选人得票情况相同，即认为候选人所得数子之和为，结果用下表表示： 甲 乙 丙 丁 75 45 35 25 35 45 48.3 51.7 145 135 131.6 128.4 72.5 67.5 65.8 64.2 4.3问题三分析 在各单位只推举1名候选人的情况下，与问题二情况相似，即没有同单位的候选人竞争选票，其结果为： 甲 乙 丙 丁 75 45 35 25 35 45 48.3 51.7 145 135 131.6 128.4 在（1）中，甲单位只推选1名，而其他单位共推选2名，在不考虑其他因素的条件下，倾向性原则会使得有候选人的单位人员的选票优先投在本单位，而甲单位会有流出票数，单位的领导也会因为考虑为了在整个部门有好印象，会将其中的部分票投向其它单位成员，也会成为流出票数。 所获总分数依然可以表示为： 其中： 假设，流出票数是平均分配到其余每个候选人。 候选人分配情况一共有六种，得数分配情况如下： 1、 甲1乙1丙1： 甲 乙 丙 180 180 180 2、 甲1乙1丁1： 甲 乙 丁 180 180 180 3、 甲1丙1丁1： 甲 乙 丁 180 180 180 4、 甲1乙2： 甲 乙 147 196.5 5、 甲1丙2： 甲 丙 151 194.5 6、 甲1丁2： 甲 丁 159 190.5 在（2）中，丙单位推选1名，而其他单位共推选2名，在不考虑其他因素的条件下，倾向性原则会使得有候选人的单位人员的选票优先投在本单位，而丙单位会有流出票数，其他单位的领导也会因为考虑为了在整个部门有好印象，会将其中的部分票投向其它单位成员，也会成为流出票数。 所获总分数依然可以表示为： 其中： 假设，流出票数是平均分配到其余每个候选人。 候选人分配情况一共有六种，得数分配情况如下： 7、 甲1乙1丙1： 甲 乙 丙 180 180 180 8、 甲1丙1丁1： 甲 丙 丁 180 180 180 9、 乙1丙1丁1： 乙 丙 丁 180 180 180 10、 甲2丙1： 甲 丙 208.5 123 11、 乙2丙1： 乙 丙 196.5 147 12、 丙1丁2： 丙 丁 159 190.5 4.4初步结论与问题的比较分析 在问题一中，指标最有可能落入丁单位。 而在问题二中，丁获得指标的可能性相对较大，其他部门同样有一定几率获得指标。 在问题三种，在每个单位只推举一名候选人的情况下，与问题二中结果无太大差别，但是在问题二中的情况下，候选人得分相对接近，相对来说更合理。在（1）和（2）的情况下，当三个候选人不在同一个单位时，他们得数之和的期望相等，更公正，但是有一个单位没有获得候选人资格，这样就不合理了。 比较问题一和问题二，可以发现，倾向性是影响投票结果。比较问题二和问题三，可以发现，各单位的候选人人数将对结果产生影响。那么可以把倾向性与各单位候选人数看做的投票结果控制变量。 五、合理投票方案的建立 5.1公正合理性的表达 对于如何比较投票方案的公正合理性，可以建立一个公正性的判断模型，将每个候选人所得的票数或者平均分数用取其标准偏差σ，在假定候选人情况相同的条件下，方案的公正合理度k与σ成反比： 在考虑σ可能为0和模型灵敏度太高的情况下，对σ取自然对数处理，即： k越高，其公正合理性就越高。 5.2消除倾向性方案 在各单位推选候选人人数相同的情况下，改变投票方式：使用评分方式，提出评分细则，各单位人员对自己单位以外的每个候选人进行评分，以某固定分数为满分，统计每个候选人的平均分，分数最高的两个选为先进。 在该方案中，由于无法对本单位的候选人评价，因此倾向性无法得到体现，所以可以将评分看做是公正的，而平均评分则消除了人数差异带来的误差。 假定每单位有2名候选人，且各候选人的条件相同，则理论上各候选人所获平均分数也相等，那么σ=0，k=100%，理论上公正合理性很高。 5.3减小候选人人数对评选结果影响方案 修改候选人人数与投票方式：每个部门所选候选人数为该部门候选人数的Q%，每个人只投两票给自己支持的两个候选人，票数最多的候选人被评为先进。 在该方案中，假设，即丁单位候选人大于2人且，则可借助问题一中表格的数据，将某单位看做一个整体，便可得到该整体得票数： 在候选人条件相同的条件下，假定同单位候选人获得的票数一样，且流出票数平均分配到每个候选人，则候选人得票数为： 结果可用下表表示: 甲 乙 丙 丁 75 45 35 25 5.85 5.37 5.01 3.77 80.85 50.37 40.01 28.77 已知： 将带入得: （a） 从上式中我们可以看出，当Q越大时，公正度越高。 当且时，即丁单位候选人只有1人，丙单位候选人有2人且，将某单位看做一个整体，便可得到该整体得票数： 在候选人条件相同的条件下，假定同单位候选人获得的票数一样，且流出票数平均分配到每个候选人，则候选人得票数为： 结果可用下表表示: 甲 乙 丙 丁 75 45 35 25 16.98 12.05 10.20 3.77 91.98 57.05 45.20 28.77 已知： 将带入得: （b） 考察式（a）与式（b），当四个单位的候选人都在两人以上时，Q越大，k就越大，公正性就越高；当出现某单位候选人只有一人的情况时公正度明显降低。 根据k与Q的关系式（a）与式（b），下面用列表给出k与Q在该模型中的关系： Q值 K值 Q值 K值 Q值 K值 11 0.912733 21 0.951276 12 0.919132 22 0.953337 3 0.644561 13 0.924656 23 0.95523 4 0.694721 14 0.929474 24 0.956976 5 0.833718 15 0.933712 25 0.958591 6 0.855544 16 0.937469 26 0.960088 7 0.872294 17 0.940823 27 0.961482 8 0.885558 18 0.943836 28 0.962781 9 0.896322 19 0.946556 29 0.963995 10 0.905234 20 0.949025 30 0.965133 考察通过上表，k值在当Q取5时有显著上升，因此Q的选择应该在5以上，由于候选人不宜过多因此Q值的选定应该在一定范围，并且在计算候选人人数时出现小数点的情况，应该采用进一法。 六、模型的评价与改进 5.1消除倾向性方案的评价 在消除倾向性方案中，通过组织每个人的倾向性的体现，使公正合理性提高，但是考虑到假定在一定人数的单位中优秀率E一定，那么在甲单位中优秀的人员就会相对较多，而丁单位中优秀的人数就会相对较少，在各单位候选人人数一样且较少的情况下，甲单位中会有更多优秀的人不能参评。 5.2减小候选人人数对评选结果影响方案的评价 在减小候选人人数对评选结果影响方案中，通过合理分配候选人名额使的模型趋向于最优解，即尽可能提k值，还可以使人数较多的单位获得更多的候选人名额，但是始终无法获得最完美的k值（k=1）,另外因为在计算时没有考虑在选取候选人时进一原则，在计算k值时会有一定偏差。 5.3改进方案的提出 综合前两种模型的优缺点，笔者再提出第三种投票方案，同时消除倾向性与减小人数影响方案：使用评分方式，提出评分细则，各单位人员对自己单位以外的每个候选人进行评分，以某固定分数为满分，统计每个候选人的平均分，分数最高的两个选为先进，并且每个部门推举候选人数为该部门人数的Q%。 在该方案中，不仅在理论上达到了完美k值，而且考虑了不同单位的优秀人数不同的因素，为每个人争取指标提供了更大的机会。 六、模型的推广 最后的改进方案针对各单位成员具有倾向性和各单位成员人数不相同的情况下选举的公平性问题，提出了合理公正的解决方案。对现实情况实生活中选举问题、席位或者实物的分配问具有很好的指导性和实用性，并且对现实问题具有广泛的应用性。