2022年抛物线专题复习讲义及练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载抛物线专题复习讲义及练习学问梳理 1. 抛物线的标准方程、类型及其几何性质y2 p0 ：x22pyxx2,02pyx标准方程y22px2px图形yF yxF yF yxOOOO焦点F p 20,0ppp,0222准线x0 ,pRx 轴xpyR1yp0yp02222范畴xyx,0xR , yxR , y对称轴（0, 0）y轴顶点离心率e2. 抛物线的焦半径、焦点弦y22pxp0的焦半径PFxP;x22pyp0 的焦半径PFyP；xBp22 过焦点的全部弦中最短的弦,也被称做通径. 其长度为 2p. p ,2| AB =xAp2,

2、yAyB AB 为抛物线y22px的焦点弦,就xAx B4重难点突破 重点 :把握抛物线的定义和标准方程,会运用定义和会求抛物线的标准方程,能通过方程研究抛物线的几何性质 难点 : 与焦点有关的运算与论证重难点 :环绕焦半径、焦点弦,运用数形结合和代数方法争论抛物线的性质1.要有用定义的意识名师归纳总结 问题 1：抛物线 y=42 x 上的一点 M到焦点的距离为1,就点 M的纵坐标是 第 1 页,共 11 页 A. 17 B. 1615 C. 167 D. 0 8点拨：抛物线的标准方程为x21y,准线方程为y1, 由定义知,点M到准线的距离416- - - - - - -精选学习资料 - -

3、- - - - - - - 为 1,所以点 M的纵坐标是15学习必备欢迎下载162.求标准方程要留意焦点位置和开口方向问题 2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3,2）的抛物线的条数有点拨：抛物线的类型一共有4 种,经过第一象限的抛物线有2 种,故满意条件的抛物线有2条3.争论几何性质,要具备数形结合思想,“ 两条腿走路”问题 3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨： 设 AB 为抛物线的焦点弦,F 为抛物线的焦点,点 A 、B 分别是点 A、B 在准线上的射影,弦 AB 的中点为 M ,就 AB AF BF AA BB ,点 M 到准线的距离为1 1 AA BB AB,

4、以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切2 2热点考点题型探析 考点 1 抛物线的定义题型 利用定义 , 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例 1 已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点P 到点 Q（2, 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【解题思路】将点 P到焦点的距离转化为点 P 到准线的距离解析 过点 P 作准线的垂线 l 交准线于点 R,由抛物线的定义知,PQ PF PQ PR,当P点为抛物线与垂线 l 的交点时,PQ PR 取得最小值,最小值为点 Q到准线的距离 ,因准线方程为 x=-1,故最小值为 3 【名师指引】 敏捷利用抛物线的定义

5、,就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换,一般来说 , 用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】名师归纳总结 1. 已知抛物线y22px p0的焦点为 F ,点P x 1,y 1,P x 2,y2,P x 3,y3在抛第 2 页,共 11 页物线上,且|P 1F|、|P 2F|、|P 3F|成等差数列,就有（）Ax 1x 2x 3 B y 1y2y 3Cx 1x 32x 2 D. y 1y 32y 2解析 C 由抛物线定义,2x 2px 1px 3p,即：x 1x 32x 22222.已知点A 3 ,4,F 是抛物线y28x的焦点 ,M 是抛物线上的动点,当MAMF最小时 ,

6、 M 点坐标是 A. 0,0B. 3 ,26C. 2,4D. 3 ,26- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 设 M 到准线的距离为学习必备|欢迎下载MK,当MAMK最小时,MK ,就|MAMF|MAM 点坐标是 ,2 4 ,选 C考点 2 抛物线的标准方程题型 : 求抛物线的标准方程例 2 求满意以下条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程：1 过点 -3,2 2焦点在直线x2y40上x4,y2. 【解题思路】以方程的观点看待问题,并留意开口方向的争论. 解析 1设所求的抛物线的方程为y22px 或x22py p0, 过点 -3,2 42p

7、3 或92p2p2或p934抛物线方程为y24x 或x29y, 32前者的准线方程是x1, 3后者的准线方程为y98 2令x0得y2,令y0得x4,抛物线的焦点为4,0 或0,-2,当焦点为 4,0时 ,p4, 2p8,此时抛物线方程y216x ; 焦点为 0,-2时p22p4,此时抛物线方程x28y . 所求抛物线方程为y216x 或2 x8y , 对应的准线方程分别是【名师指引】对开口方向要特殊当心,考虑问题要全面【新题导练】3. 如抛物线y22px 的焦点与双曲线2 xy21的右焦点重合 , 就 p 的值3 解析 p 231p44. 对于顶点在原点的抛物线,给出以下条件：名师归纳总结 焦

8、点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；2,1）. 第 3 页,共 11 页抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为（能使这抛物线方程为y2=10x 的条件是 _. （要求填写合适条件的序号）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 用排除法,由抛物线方程y学习必备欢迎下载. 2=10x 可排除,从而满意条件5. 如抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点, M为准线与 Y轴的交点, A 为抛物线上一点, 且 | AM | 17 |, AF | 3,求此抛物线的方程 解析 设点 A 是点 A

9、在准线上的射影,就 | AA | 3,由勾股定理知 | MA | 2 2,点 A 的横坐标为 2 2 3, p ,代入方程 x22 py 得 p 2 或 4,抛物线的方程 x24 y 或 x28 y2考点 3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的运算与论证例 3 设 A 、B 为抛物线y22px上的点 ,且AOB90O 为原点 ,就直线 AB 必过的定点坐标为 _. 【解题思路】由特殊入手,先探求定点位置解析设直线OA 方程为ykx,由y2kxpx解出 A 点坐标为2p,2p,令Ay2k2ky21 kx解出 B 点坐标为2pk2,2pk,直线 AB 方程为y2pkkx2pk2y21k2p

10、xy0得x2p,直线 AB 必过的定点 p,0【名师指引】 （1）由于是填空题,可取两特殊直线AB, 求交点即可； （2）B 点坐标可由点坐标用1换 k 而得；k【新题导练】6. 如直线axy10经过抛物线y24x 的焦点,就实数a 解析 -1 7. 过抛物线焦点1F 的直线与抛物线交于两点A、B,如 A、B 在抛物线准线上的射影为 A 1,B 1,就A 1FBB. 60C. 90D. 120 A. 45 解析 C 基础巩固训练名师归纳总结 1.过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于aA、B 两点,它们的横坐标之和等于第 4 页,共 11 页条或 2 条 D.不存在a22a4 aR ,

11、就这样的直线（）A. 有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1 解析 C |AB|xAx Bpa22a51 244,而通径的长为4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.在平面直角坐标系学习必备4欢迎下载5,就点xOy 中,如抛物线x2y 上的点 P 到该抛物线焦点的距离为P 的纵坐标为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析 B 利用抛物线的定义,点 P 到准线 y 1 的距离为 5,故点 P 的纵坐标为 43.两个正数 a、b 的等差中项是 9,一个等比中项是 2 5 ,且 a b , 就抛物线 y 2 b a x2的焦点坐标为 1 1 1 1

12、A 0, B0, C ,0 D ,04 4 2 4 解析 D. a 5 , b 4 , b a 124. 假如 1P ,2P , ,P 是抛物线 y 4 x 上的点 ,它们的横坐标依次为 1x ,x , ,8x ,F 是抛物线的焦点, 如 x 1 , x 2 , , x n n N 成等差数列且 x 1 x 2 x 9 45,就 | P 5F | =（）A5 B6 C 7 D 9 解析 B 依据抛物线的定义,可知 PF x i px i 1（i 1,2, , n）,2x 1 , x 2 , , x n n N 成等差数列且 x 1 x 2 x 9 45 , 5x 5 , | P 5F | =6

13、 5、抛物线 y 2 4 x 的焦点为 F , 准线为 l,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AB l,垂足为 B,就四边形 ABEF 的面积等于（ ）A3 3 B4 3 C6 3 D8 3 解析 C. 过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H,设 A m , n ,就AF AB m ,1 FH OH OF m 1,m 1 2 m 1 m ,3 n 2 3四边形 ABEF 的面积 = 1 2 3 1 2 3 6 3226、设 O是坐标原点,F 是抛物线 y 4 x 的焦点, A 是抛物线上的一点,FA 与 x 轴正向的夹角

14、为 60 ,就 OA 为 解析 21 . 过 A 作 AD x轴于 D,令 FD m,就 FA 2 m 即 2 m 2 m,解得 m 22 2A ,3 2 3 OA 3 2 3 21综合提高训练名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7.在抛物线y4学习必备y欢迎下载的距离为最短,求该点的坐标2 x 上求一点,使该点到直线4x5 解析 解法 1：设抛物线上的点 P x , 4 x 2 ,1 2点 P 到直线的距离 d | 4 x 2 4 x 5 | | 4 x2 4 | 4 17,17 17 17当且仅当 x 1时取等号

15、,故所求的点为（1,）2 2解法 2：当平行于直线 y 4 x 5 且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求,设该直线方程为 y 4 x b,代入抛物线方程得 4 x 2 4 x b 0,由 16 16 b 0 得 b ,1 x 1,故所求的点为（1,）2 229. 设抛物线 y 2 px （p 0）的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点点C 在抛物线的准线上,且 BC X 轴证明直线 AC 经过原点 O证明 :由于抛物线 y 22 px （p 0）的焦点为 F p,0,所以经过点 F 的直线 AB 的方程2可设为 x my p,代人抛物线方程得 y 22 pmy p 20

16、22如记 A x y 1,B x 2 , y 2,就 y 1, y 2 是该方程的两个根,所以 y y 2 p 由于 BC X 轴,且点 C 在准线 x p上,所以点 C 的坐标为 p , y 2,2 2故直线 CO 的斜率为 k y 2 2 p y 1 .p y 1 x 12即 k 也是直线 OA的斜率,所以直线 AC经过原点 O2 210.椭圆 x2 y2 1 上有一点 M （-4,9 ）在抛物线 y 2 2 px（p0）的准线 l 上,抛物a b 5线的焦点也是椭圆焦点 . （1）求椭圆方程；名师归纳总结 （2）如点 N 在抛物线上,过N 作准线 l 的垂线,垂足为Q 距离,求 |MN|

17、+|NQ| 的最小值 . 第 6 页,共 11 页解：（1）x2y21上的点 M 在抛物线y22pxa2b2（p0）的准线 l 上,抛物线的焦点也是椭圆焦点. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载c=-4 ,p=8 M （ -4,9 ）在椭圆上 5设椭圆焦点为F（4,0）,168121 a225ba2b2c2 由解得：a=5、b=3 椭圆为x2y21259由 p=8 得抛物线为y216x由椭圆定义得 |NQ|=|NF| |MN|+|NQ| |MN|+|NF|=|MF| =44290 241,即为所求的最小值. 55参考例题：1、已知抛物

18、线 C 的一个焦点为 F（ 2 1 ,0）,对应于这个焦点的准线方程为 x=-1 . 2（1）写出抛物线 C 的方程；（2）过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点, O 点为坐标原点,求AOB 重心 G 的轨迹方程；名师归纳总结 解：（1）抛物线方程为：y2=2x. y=kx-1 ,代入 y 22=2x,（4 分）第 7 页,共 11 页（2）当直线不垂直于x 轴时,设方程为得： k 2x 2-k2+2x+k20. ,y1+y2=kx1+x2-1= k 2 . 4设 A（x1,y1）, Bx2, y2,就 x1+x2=k222k设 AOB 的重心为 G（x,y）就x0x1x2k223y

19、23 k2,y0y 12（6 分）33 k消去 k 得 y2=2 x 32为所求,9- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当直线垂直于x 轴时, A（学习必备欢迎下载（8 分）1 ,1）,B（21 ,-1）,2 AOB 的重心 G（1 ,0）也满意上述方程 3. （9 分）综合得,所求的轨迹方程为y2=2 x 32,9抛物线专题练习名师归纳总结 一、挑选题（本大题共10 小题,每道题5 分,共 50 分）第 8 页,共 11 页1假如抛物线y 2=ax 的准线是直线x=-1,那么它的焦点坐标为（）A（1, 0）B（2, 0）C（3, 0）D（ 1, 0）2

20、圆心在抛物线y 2=2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）Ax 2+ y 2-x-2 y -1 =0 Bx 2+ y 2+x-2 y +1=04Cx2+ y 2-x-2 y +1=0 Dx2+ y 2-x-2 y +1=0 43抛物线yx2上一点到直线2xy40的距离最短的点的坐标是（）A（1,1）B（1,1） C3,9D（2,4）24244一抛物线形拱桥,当水面离桥顶2m 时,水面宽 4m,如水面下降1m,就水面宽为 （）A6 m B 26 m C4.5m D 9m 5平面内过点A（-2,0）,且与直线x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是（）A y 2=2x B y

21、2=4x Cy 2=8xDy 2=16x6抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上点（-5,m）到焦点距离是6,就抛物线的方程是（）A y 2=-2xB y 2=-4xC y 2=2xD y 2=-4x 或 y 2=-36x7过抛物线y 2=4x 的焦点作直线,交抛物线于A x1, y 1 ,Bx2, y 2两点,假如 x1+ x2=6,那么|AB|= （）A8 B10 C6 D4 8把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a2 ,3 平移,所得的曲线的方程是 （）Ay3 24x2By3 24 x2 Cy324x2Dy3 24x2- - - - - - -精选学习资料 - - -

22、- - - - - - 9过点 M （2,4）作与抛物线学习必备欢迎下载l 有（）y 2=8x 只有一个公共点的直线A0 条 B1 条 C2 条 D3 条10过抛物线y =ax2a0的焦点 F 作始终线交抛物线于P、Q 两点,如线段PF 与 FQ 的长分别是 p、q,就11等于（）pqA2aB1C4a D 42aa二、填空题11抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,如 AB 的长为 4 3 ,就焦点到 AB 的距离为12抛物线 y =2x 2 的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是13P 是抛物线 y 2=4x 上一动点,以 P为圆心,作与抛物线准线相切的圆,就这个圆肯定经过

23、一个定点 Q,点 Q 的坐标是2 214 抛 物线 的焦 点为椭圆 x y1 的 左 焦点 ,顶 点在椭圆 中心 ,就 抛物线 方程9 4为一挑选题（本大题共 10 小题,每道题 5 分,共 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B C B A C C C 二填空题（本大题共 4 小题,每道题 6 分,共 24 分）k 211 2 12x 13（1,0）14y 4 5 x4三、解答题15已知动圆M 与直线 y =2 相切,且与定圆C：x2y3 21外切,求动圆圆心M 的轨迹方程名师归纳总结 解析 ：设动圆圆心为M （x, y）,半径为 r,就由题意可得M

24、到 C（0, -3）的距离与到直第 9 页,共 11 页线 y=3 的距离相等,由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0,-3）为焦点,以 y=3 为准线的一条抛物线,其方程为x212y16已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上的点M （ 3,m）到焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和m 的值（12 分）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 ：设抛物线方程为x22学习必备欢迎下载p0,）,由题意可得py p0 ,就焦点 F（22m 6 p,解之得 m 2 6 或 m 2 6,m 2 3 p 25 p 4 p 422故所求的抛物线方程为

25、x 8 y,m 的值为 2 62 117动直线 y =a,与抛物线 y x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 0 , 3 a ,求线段 AB 中2点 M 的轨迹的方程12 分 2解析 ：设 M 的坐标为（ x,y）,A（2a , a）,又 B 0 , 3 a 得 x ay 2 a2消去 a,得轨迹方程为 x y,即 y 24 x419如图,直线 l1和 l2相交于点 M ,l1l2,点 Nl1以 A 、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相等如AMN 为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3 ,且|BN|=6 建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程 14 分 解

26、析 ：如图建立坐标系,以 l 1为 x 轴, MN 的垂直平分线为 y 轴,点 O 为坐标原点由题意可知：曲线 C 是以点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段,其中 A、B 分别为 C的端点名师归纳总结 设曲线段 C 的方程为y22pxp0,xAxxB,y0 ,1第 10 页,共 11 页其中x , A xB分别为 A 、B 的横坐标,pMN3得所以,Mp,0,Np,0 由AM17,AN22xAp22pxA17p0 解得p x A4,或p22xAp22pxA92联立解得xA4将其代入式并由1xA2p由于 AMN 为锐角三角形,所以pxA,故舍去p x A2 p=4,xA22- - -

27、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由 点B在 曲 线 段C学习必备BN欢迎下载 综 上 得 曲 线 段C的 方 程 为上 , 得xBp 242 y8x 1x,4y0 pp0过动点M（ a ,0）且斜率为1 的直线 l 与该抛物线交20已知抛物线y22px 于不同的两点A、B,|AB|2（）求 a 的取值范畴；名师归纳总结 （）如线段AB 的垂直平分线交x 轴于点 N,求RtNAB面积的最大值14 分 第 11 页,共 11 页解析 ：（）直线 l 的方程为yxa,将yxa 代入y22px,得x22 apxa20设直线 l 与抛物线两个不同交点的坐标为A x 1y 1、Bx 2 y 2,4ap24a20,就x 1x22 ap,又y 1x 1a ,y2x2a,x 1x2a2.|AB|x 1x22y 1y222 x 1x224x 1x 28pp2 a0|AB|2p,8pp2a0,08pp2a2p解得pap24（）设 AB 的垂直平分线交AB 于点 Q,令坐标为x3y 3,就由中点坐标公式,得x 3x 12x2ap,y3y 12y2x 1a2x2ap|QM2 |apa2p0 22p2又MNQ 为等腰直角三角形,|QN|QM|2p,S NAB1|AB|QN|2p|AB|2p 2p2222 p2即NAB面积最大值为2 p2- - - - - - -