2022年数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数列专题复习一、等差数列的有关概念：1annd d为常数 ）或an1ana na n1n2；1、等差数列的判定方法：定义法anaannNb n为如设 an是等差数列, 求证：以 bn=a 12*为通项公式的数列等差数列；2、等差数列的通项：a na 1 n1 d 或anam nm d ；_ 如1 等差数列 a n中,a 1030,a2050,就通项an；（2）首项为 -24 的等差数列,从第10 项起开头为正数,就公差的取值范畴是3、等差数列的前n 和：S nn a 12an,S nna 1n n1d ；S n15,2如（ 1） 数列an中,a

2、nan11 2n2,nN*,an3,前 n 项和22就1a , n （答：a 13,n10）；nT（2）已知数列an的前 n 项和S n12 n2 n ,求数列 |a n|的前 n 项和4、等差中项： 如a A b 成等差数列,就A 叫做 a 与 b 的等差中项,且Aa2b；提示 ：（1）等差数列的通项公式及 前 n 和公式中, 涉及到 5 个元素：1a 、 d 、n 、a 及S ,其中 n a 、 d 称作为基本元素；1 只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2；（ 2） 为削减运算量,要留意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为 ,a 2 , d a d

3、 a a d a 2 d （ 公 差 为 d ）； 偶 数 个 数 成 等 差 , 可 设 为 ,a 3 , d a d a d a 3 d , （公差为 2 d ）5、等差数列的性质：（1）当公差 d 0 时,等差数列的通项公式 a n a 1 n 1 d dn a 1 d 是关于 n 的一次函数, 且斜率为公差 d ；前 n 和 S n na 1 n n 1d dn 2 a 1 d n 是关于 n 的二次2 2 2函数且常数项为 0. 1 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）如公差d0,就为递增等差

4、数列,如公差d0,就为递减等差数列,如公差d 0,就为常数列；（ 3）当 m n p q 时,就有 a m a n a p a q,特殊地,当 m n 2 p 时,就有a m a n 2 a . 如（ 1） 等差数列 a n 中,S n 18, a n a n 1 a n 2 3, S 3 1,就 n _； 4 如 a n 、 b n 是等差数列,就 ka n 、 ka n pb n k 、 p 是非零常数 、 a p nq p q N *、S S 2 n S S 3 n S 2 n, 也成等差数列, 而 a a n 成等比数列； 如 a n 是等比数列,且 na 0,就 lg a n 是等差

5、数列 . 如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,就它的前 3n 和为；（5）在等差数列 a n 中,当项数为偶数 2n 时, S 偶S 奇 nd；项数为奇数 2 n 1 时,S 奇 S 偶 a 中,S 2 n 1 2 n 1 a中（这里a中即 a ）；S 奇：S偶 n : n-1；如（ 1） 在等差数列中,S1122,就 a _；（2）项数为奇数的等差数列 a n 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数 . a n（ 6 ） 如 等 差 数 列 a n、 nb的 前 n 和 分 别 为A 、B , 且A nf n , 就B n2n1 anA 2 n

6、1f2n1. b n2n1 b nB2n1Sn3n1,如设a 与b 是两个等差数列, 它们的前 n 项和分别为S 和T ,如那么Tn4n3an_bn“ 首负” 的递增7 “ 首正” 的递减等差数列中,前n项和的最大值是全部非负项之和；等 差 数 列 中 , 前 n 项 和 的 最 小 值 是 所 有 非 正 项 之 和 ； 法 一 ： 由 不 等 式 组a n 0或 a n 0 确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前 n 项是关于a n 1 0 a n 1 0* n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要留意数列的特殊性 n N ；上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想

7、）,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？2 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如（ 1） 等差数列 a n中,a 125,S 9S ,问此数列前多少项和最大？并求此最大值；S n（2）如 an是等差数列,首项a 10,a 2003a2004|0,a2003a20040,就使前n 项和a|0成立的最大正整数n 是,S 是其前 n 项和,就（）（3）在等差数列na中,a 100,a 110,且a 11A、S S 2S 10都小于 0,S 11,S 12都大于 0B、S S 1 2S 19都小于 0,S 20,

8、S 21都大于 0C、S S 2S 都小于 0,S S 7都大于 0D、S S 2S 20都小于 0,S 21,S 22都大于 08假如两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数 数不肯定相同,即争论 a n b . 二、等比数列的有关概念：. 留意 ：公共项仅是公共的项,其项an11 、 等 比 数 列 的 判 断 方 法 ： 定 义 法an1q q 为常数 ）, 其 中q0 , a n0 或a nan1n2；a nan120,就a n1如（ 1）一个等比数列a 共有 2n1项,奇数项之积为100,偶数项之积为为_；（

9、2）数列 an 中,S=4a n1+1 n2且1a =1,如b na n12 a n,求证：数列nb 是等比数列；2、等比数列的通项：a na qn1或ana qnm；如等比数列 an 中,a 1a n66,a a n1128,前 n 项和S 126,求 n 和 q . n3 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、等比数列的前n 和：当q1时,S nna ；当 1q1时,S na 11qna 1a q；1q1q如（ 1） 等比数列中,q 2, S99=77,求a 3a 6a 99；（2）10kn0Ck的值为

10、 _ n1n特殊提示： 等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时, 第一要判定公比 q 是否为 1,再由 q 的情形挑选求和公式的形式,当不能判定公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q 1 和 q 1 两种情形争论求解；4、等比中项： 如 a A b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项； 提示 ：不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个ab ；如已知两个正数a b a b 的等差中项为 A,等比中项为 B,就 A 与 B 的大小关系为 _ 提示 ：（ 1）等比数列的通项公式及 前 n 和公式中,涉及到 5 个元素：1a 、 q

11、 、 n 、a 及 nS ,其中 a 、 q 称作为基本元素；只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2；（2）为 减 少 运 算 量 , 要 注 意 设 元 的 技 巧 , 如 奇 数 个 数 成 等 比 , 可 设 为 ,a 2,qa a aq aq q2 （公比为 q ）；但偶数个数成等比时,不能设为a,a,aq,aq3, ,q3q因公比不肯定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是个数的和为 12,求此四个数；5. 等比数列的性质：2 q ；如有四个数,其中前三16,其次个数与第三（ 1

12、）当 mnpq时,就有a ma napa ,特殊地,当mn2p时,就有a ma na p2. 512,公比 q 是整数,就a 10=_ 如（ 1）在等比数列 a n中,a 3a 8124, a a 7（2）各项均为正数的等比数列a n中,如a 5a69,就log3 1 alog3 2 alog3 10a_ 4 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2如 a n是等比数列,就|a n|、ap nqp qN*、 ka n成等比数列；如 a n 、b n 成等比数列, 就 a b n n 、 ab nn 成等比数列；

13、如 a n 是等比数列, 且公比 q 1,就数列 S S 2 n S S 3 n S 2 n, 也是等比数列；当 q 1,且 n 为偶数时,数列S S 2 n S S 3 n S 2 n, 是常数数列 0,它不是等比数列 .如 （ 1 ） 已 知 a 0 且 a 1, 设 数 列 nx 满 足 lo g a x n 1 1 lo g x n n N *, 且x 1 x 2 x 1 0 0100,就 x 101 x 102 x 200 . （2）在等比数列 a n 中,S 为其前 n 项和,如 S 30 13 S 10 , S 10 S 30 140,就 S 20的值为 _ 3 如 a 1 0,

14、 q 1,就 a n 为递增数列；如 a 1 0, q 1 , 就 a n 为递减数列；如a 1 0,0 q 1,就 a n 为递减数列； 如 a 1 0,0 q 1 , 就 a n 为递增数列； 如 q 0,就 a n 为摇摆数列；如 q 1,就 a n 为常数列 . 4 当 q 1 时,S n a 1q n a 1 aq n b,这里 a b 0,但 a 0, b 0,1 q 1 q是等比数列前 n 项和公式的一个特点,据此很简单依据 S ,判定数列 a n 是否为等比数列；如如 a n 是等比数列,且 S n 3 nr ,就 r 5 S m n S m q S mn S n q S .

15、如设等比数列 n a n 的公比为 q ,前 n 项和为 S ,n如 S n 1 , S S n 2 成等差数列,就 q 的值为 _6 在等比数列 a n 中,当项数为偶数 2n 时, S 偶 qS 奇；项数为奇数 2 n 1 时,S 奇 a 1 qS 偶. 7假如数列 a n 既成等差数列又成等比数列,那么数列 a n 是非零常数数列,故常数数列 a n 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件；如 设数列 a n 的前 n 项和为 S （n N）,关于数列 a n 有以下三个命题：如5 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - -

16、- - - - - - - anan1nN,就an既是等差数列又是等比数列；如Snan2bna、bR,就an是等差数列； 如Sn11n,就a n是等比数列； 这些命题中, 真命题的序号是 三、数列通项公式的求法 一、公式法a nS（1n1 n2 ；3 2n,a 12,求数列 a n的通项公式；S nS n1a n等差、等比数列a n公式 . 例已知数列 a n满意a n12 a n二、累加法例 已知数列 a n满意a n11a n2 n1,a 11,求数列 a n的通项公式；例已知数列 a n满意a na nn 2 31,a 13,求数列 a n的通项公式；三、累乘法例已知数列 a n满意a

17、n12nn 15a n,a 13,求数列 a n的通项公式；6 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、取倒数法例已知数列 a 中,其中 na 1,1,且当 n2 时,a n2an11,求通项公式a ；na n1五、待定系数法例已知数列 a n满意a n12a nn 3 5,a 16,求数列a n的通项公式；例已知数列 a n满意a n13 a n5n 24,a 11,求数列 a n的通项公式；六、对数变换法例已知数列 a n满意a n1n 2 35 a ,a 17,求数列 a n的通项公式；七、迭代法例已知

18、数列 a n满意a n13 a nn12n,a 15,求数列 a n的通项公式；7 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 八、数学归纳法例已知数列 a n满意an1an2n8n132,a 18,求数列 a n的通项公式；2 1 2n9九、换元法例已知数列 a n满意an11 1 164a n124an,a 11,求数列 a n的通项公式；十、构造等差、等比数列法a n 1panq；a n1,1pa nqn；a n1pananfn；a n2pa n1qan. 例已知数列a n中,a 1a n12 a n3,求数列

19、的通项公式 . 8 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 十一、不动点法例已知数列 a n满意an17 an2,a 12,求数列 a n的通项公式；2an3四、数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和1、 等差数列求和公式：S nna 12anna 1nn1d1 2S nna 1qna 1a nqqq112、等比数列求和公式：a 1 1前 n 个正整数的和11q1q23nnn1 2前 n 个正整数的平方和2 1222 3n2nn1 2 n6前 n 个正整数的立方和3 12333n3nn1 22公式法求和

20、留意事项（1）弄准求和项数 n 的值；（2）等比数列公比 q 未知时,运用前 n 项和公式要分类；例已知log3xlog13,求xx2x3xn的前 n 项和 . 29 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、错位相减法求和这种方法主要用于求数列 a nbn 的前 n 项和,其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列 . 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 q ；然后再将得到的新和式和原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和；例：（2022 全国卷理 ）在数列 a n中,a 11

21、,an11a n1annn1S nn2（I ）设b nan,求数列 nb的通项公式（ II ）求数列 的前 n 项和n三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n 个 a 1a n.四、分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,如将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可 . 1 1 1例 7 求数列的前 n 项和：1 ,1 4 , 2 7 , , n 1 3 n 2, a a a例：（2022 全国卷 2 文）（18）（本小题满分 12 分）已知 a n

22、是各项均为正数的等比数列,1 1 1 1 1且 a 1 a 2 2 ,a 3 a 4 a 5 64 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5（）求 a n 的通项公式；（）设 b n a n 1 2,求数列 nb 的前 n 项和 T ；a n10 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的1 . 通项分解 （裂项）如：（1）anf n1fn （2）cos nsin11

23、 tan n1 tanncos n（3）a nn 11 1n11（4）an2 n 2 n211111 1nn1 2 n22 n2 n（5）a nnn1n2 1n11n1n2 1 2n1 6 ann212n1 n1n1n1,1n12n,就Snn11nnn1 2nnn1 2n21 n12n例求数列112,213,n1n1的前 n 项和 . 1,求数列 b n的前n,又bnan2例ann112在数列 a n 中,nn1a项的和 . 11 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 六、合并法求和针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,2因此, 在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn. log3a 10的值 . 例数列 a n ：a 1,1a 2,3a 3,2a n2a n1a n,求 S2002. 例在各项均为正数的等比数列中,如a 5a 69 ,求log3a 1log3a七、利用数列的通项求和先依据数列的结构及特点进行分析,找出数列的通项及其特点,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法 . 例 求 1 11 111 111 1 之和 . n 个 112 / 12名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页