椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习付答案2.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点F1 、 F2 的距离之和等于定长（大于| F1F2| ）的点的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结轨迹叫做 椭圆 。这两个定点F1 、F2 叫做椭圆的 焦点 ，两焦点的距离| F1 F2| 叫做椭圆的 焦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结距。对椭圆定义的几点说明：（ 1）“在平面内”是前提，否就得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到

2、一个椭球面）。（ 2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时留意区分。（ 3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必需满意大于| F1F2| 这个条件。 如不然，当这个“常数”等于|F1F2| 时，我们得到的是线段F1F2。当这个“常数”小于|F1F2 | 时，无轨迹。这两种特别情形，同学们必需留意。（ 4）下面我们对椭圆进行进一步观看，发觉它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心， 我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得 | A1A2|的值就是那个“常数”，且 |B 2F2|+|B 2F1| 、|B 1F2|+|B 1F1

3、| 也等于那个“常数” 。同学们想一想其中的道理。（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上， y轴上的椭圆标准方程分别为：x 2y2y2x 2221ab0,221ab0,abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相同点是：外形相同、大小相同。都有a b 0， a2c2b 2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22不同点是： 两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（c ，0）和（ c， 0），其次个椭圆的焦点坐标为（0， c ）和（ 0， c ）。椭圆的焦点在 x轴上标准方程中x 项的分母较大。椭圆的焦点在y轴上标准方程中y 项的分

4、母较大。（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标。一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率对于第一类性质，只x 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要a2b21ab0的 有 关 性 质 中 横 坐标x和 纵 坐 标y互 换， 就 可 以 得 出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22yx1ab0 的有关性质。总结如下：a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 28 页 - - - - - - - - -

5、 -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结几点说明：（ 1）长轴：线段A1 A2 ，长为 2a 。短轴：线段B1B2 ，长为 2b 。焦点在长轴上。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）对于离心率e，由于 ac0，所以 0e1，离心率反映了椭圆的扁平程度。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ca2b2由于 eaab21a2，所以 e 越趋近于1，b 越趋近于 0 ，椭圆越扁平。 e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结越趋近

6、于0， b 越趋近于 a ，椭圆越圆。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）观看下图，| OB2 |b,| OF2 |c ，所以| B2 F2 |a ，所以椭圆的离心率e = cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OF2B2（三）直线与椭圆：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 l ：AxByC0 （ A 、 B 不同时为0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结椭圆 C ：a2b21ab0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么如何来判定直线和椭圆的位置关系了？将

7、两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判定直线和椭圆交点的情形。方法如下：AxByC0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，化简后形式如下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1a2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m

8、x2nxp0m0 ，n 24mp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）当0 时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点。（ 2）当0 时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）。（ 3）当0 时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为A x1 , y1 , B x2 , y2 ，那么线段AB 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结长度（即弦长）为| AB | xx 2 yy2 ，设直线的斜率为k ，可编辑资料 - - - 欢迎

9、下载精品名师归纳总结1212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可得：| AB | xx 2 k xx 21k2 | xx| ，然后我们可通过求出方程的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121212根或用韦达定理求出。典型例题一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1椭圆的一个顶点为A 2，0，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：（ 1）当A 2，0为长轴端点时，a2 ， b1，可编辑资料 - - - 欢

10、迎下载精品名师归纳总结x2y 2椭圆的标准方程为：1。41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）当A 2，0为短轴端点时，b2 ， a4 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y 2椭圆的标准方程为：1。416说明： 椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情形典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：2ca 212c3 3c2a 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 e13 33说明： 求椭圆的离心率问题，通

11、常有两种处理方法，一是求a ，求 c ，再求比二是列含 a 和 c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可典型例题三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3已知中心在原点， 焦点在 x 轴上的椭圆与直线xy10 交于 A 、B 两点，M 为 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -中点， OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为

12、2，求椭圆的方程x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 由题意，设椭圆方程为y21，a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy12由x2a2y0，得 11a 2 x22 a 2 x0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xx1x21a 21， y1x，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M2a2MM1a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yMk OMxM112， a4 ，a 24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

13、总结2 xy241 为所求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：（ 1）此题求椭圆方程采纳的是待定系数法。（2）直线与曲线的综合问题，常常要 借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y 2例 4 椭圆1上不同三点A x1， y19， B 4， C x2， y2与焦点 F4，0的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2595可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求证x1x28 。成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）如线段AC 的垂直平分线与x 轴的

14、交点为T ，求直线 BT 的斜率 k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证明：（ 1）由椭圆方程知a5 ， bAF3 ， c4 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由圆锥曲线的统肯定义知：2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AFaax1cx4aex151 54可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理CF5x2 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AFCF2 BF，且 BF9 ，5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结154 x554 x18 ，255可编辑资料 - -

15、 - 欢迎下载精品名师归纳总结即x1x28 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）由于线段AC 的中点为4y1y2，所以它的垂直平分线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy1y22，2x1x2x4 y1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

16、- - 欢迎下载精品名师归纳总结又点 T 在 x 轴上，设其坐标为x0，0，代入上式，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy2212x042 x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又点A x1， y1， B x2， y2都在椭圆上，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx112925225yx222925225可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy22129x1x2x125x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将此式代入，并利用x1x28 的结论得可编辑资料 - - - 欢

17、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0kBT436259055 4x04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典型例题五x2y 2例 5 已知椭圆1 ， F1 、 F2 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使 M 到左准43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线 l 的距离MN是MF1 与MF2的等比中项？如存在，就求出点M 的坐标。如不存在，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 假设 M 存在，设 Mx1， y1，由已知条件得1可编辑资料 - - - 欢迎下载精

18、品名师归纳总结a2 ， b3 ， c1 ， e2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结左准线 l 的方程是x4 ， MN4x1 又由焦半径公式知：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MF1aex121 x ，121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MF2aex12x1 2

19、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 MNMF1MF2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x1412x1221x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理得解之得5x 21x132 x1480 124 或 x15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一方面2x12 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就与冲突，所以满意条件的点M 不存在说明：（ 1）利用焦半径公式解常可简化解题过程

20、（ 2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，依据已知条件进行推理和运算进而依据推理得到的结果，再作判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）本例也可设M2 cos， 3 sin存在，推出冲突结论（读者自己完成）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结典型例题六可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 6 已知椭圆x2y21 ，求过点 P11，22且被 P 平分的弦所在的直线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析一： 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

21、归纳总结解法一： 设所求直线的斜率为k ，就直线方程为y121kx代入椭圆方程，并2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理得12k 2 x22k 22k x1 k 2k30 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由韦达定理得x1x22k 212k2k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 P 是弦中点，x1x21故得 k1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

22、师归纳总结所以所求直线方程为2 x4 y30 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析二： 设弦两端坐标为x1， y1 、x2， y2，列关于x1 、 x2 、y1 、y2 的方程组，从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 -

23、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结而求斜率：y1x1y2 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，解法二： 设过 P1122x2的直线与椭圆交于A x1， y1、 B x2， y2，就由题意得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1121，2x2y2221，2x1x21，yy1y21.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得22y12x1x22220 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将、代入得y1y2x1x21 ，即直线的斜率为1 22可编辑资料

24、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结所求直线方程为2 x4 y30 说明：（ 1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦。平行弦的中点轨迹。过定点的弦中点轨迹（ 2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较便利，要点是巧代斜率（ 3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”有关二次曲线问题也适用典型例题七可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7 求适合条件的椭圆的标准方程（ 1）长轴长是短轴长的2 倍，且过点2， 6 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机相互垂直，且焦距为6x

25、2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由1 求出 a 2148 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b2x2y2y2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 237，在得方程1 后，不能依此写出另一方程1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1483714837x2y2y2x 2解：（ 1）设椭圆的标准方程为1 或1a 2b 2a 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由已知a2b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又过点2， 6，因此有可编辑资料

26、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结226 2a 2b 2261 或a 221 2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由、，得a 2148 ， b237 或 a 252 ， b 213故所求的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

27、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2y 2x21 或1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结148375213x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）设方程为1由已知，c3 ， bc3，所以 a218 故所求方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b 2x 2y2为1 189说明： 依据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”关键在于焦点的位置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是否确定，如不能确定，应设方程x2y2y21 或a 2b 2a 22x1 b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

28、归纳总结典型例题八可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 8 椭圆 x2y1 的右焦点为F ，过点A 1， 3，点 M 在椭圆上， 当AM2 MF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1612可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为最小值时，求点M 的坐标 分析： 此题的关键是求出离心率e1 ，把22 MF转化为 M 到右准线的距离，从而得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最小值一般的，求AM1 MFe均可用此法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 由已知：a4 ， c2 所以e1，右准线2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

29、归纳总结l ：x8 过 A 作 AQl， 垂 足 为 Q ， 交 椭 圆 于 M， 故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MQ2 MF明显AM2 MF的最小值为AQ ， 即 M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为所求点，因此 yM3 ，且 M 在椭圆上 故 xM23 所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以 M 23， 3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明： 此题关键在于未知式AM2 MF中的“ 2”的处理事实上，如图，e1 ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 MF 是

30、 M 到右准线的距离的一半，即图中的 MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ， 使 M到 A 的距离与到右准线距离之和取最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 28 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -典型例题九可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例 9 求 椭圆x3y 21 上的点到直线xy60 的距离的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 先写

31、出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 椭圆的参数方程为x3 cos，设椭圆上的点的坐标为3 cos，sin，就点到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ysin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线的距离为3 cossin62 sin36可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 sin321 时，d最小值222 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明： 当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程典型例

32、题十可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e33，已知点 P0到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，22这个椭圆上的点的最远距离是7 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标分析： 此题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的才能，在求d 的最大值时，要留意争论b 的取值范畴此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等学问解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高规律推理才能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一： 设所求椭圆的直角坐标方程是x2y 2a 2b 21，其中 ab0 待定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c2a 2b2b 2由 e21可得a2a 2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1e2 a311，即42a2b 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设椭圆上的点