2019版高考数学（理）高分计划一轮高分讲义：第8章　平面解析几何 8.6　双曲线 .docx

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1、86双曲线知识梳理1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)当ac时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形续表3必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2y2(0)(3)等轴双曲线离心率e两条渐近线yx相互垂直诊断自测1概念思辨(1)平面内到点

2、F1(0,4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(4)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修A11P53T3)已知椭圆1和双曲线y21有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()Axy ByxCxy Dyx答案D解析由椭圆1和双曲线y21有公共的焦点，得m185.所以m2，所以双曲线方程为y21，所以双曲线的渐近线方程为yx.故选D.(2)(选修A

3、11P51例3)已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为yx，则此双曲线的离心率为_答案解析因为焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为yx，所以，即b2a.由c2a2b2，得c2a24a25a2，即5，所以e.3小题热身(1)(2014全国卷)已知F为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. B3 C.m D3m答案A解析由题意知，双曲线的标准方程为1，其中a23m，b23，故c，不妨设F为双曲线的右焦点，故F(，0)其中一条渐近线的方程为y x，即xy0，由点到直线的距离公式可得d，故选A.(2)(2016山东高考)已知双曲线E：1(a0，b0)若

4、矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_答案2解析由已知得|AB|CD|，|BC|AD|F1F2|2c.因为2|AB|3|BC|，所以6c，又b2c2a2，所以2e23e20，解得e2或e(舍去)题型1双曲线的定义及应用(2017湖北武汉调研)若双曲线1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则|PF|PA|的最小值是()A8 B9 C10 D12利用双曲线定义得到|PF|PA|2a|PB|PA|，再利用|PA|PB|AB|求出最小值答案B解析由题意知，双曲线1的左焦点F的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(

5、4,0)，由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号|PF|PA|的最小值为9.故选B.(2018河北邯郸模拟)设动圆C与两圆C1：(x)2y24，C2：(x)2y24中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C的轨迹方程为_根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差，然后用定义法求解答案y21解析设圆C的圆心C的坐标为(x，y)，半径为r，由题设知r2，于是有或|CC1|CC2|42|C1C2|，即圆心C的轨迹L是以C1，C2为焦点，4为实轴长的双曲线，L的方程为1，即y21.方法技巧应用双曲线定义需注意的问题1.

6、在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是线段或不存在2.求双曲线方程时，注意用标准形式冲关针对训练1(2017衡水模拟)已知ABP的顶点A，B分别为双曲线C：1的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于()A. B. C. D.答案A解析由1得a4，b3，c5.结合双曲线定义及正弦定理得，故选A.2已知双曲线1上有一点P，F1，F2是双曲线的焦点，且F1PF2，则PF1F2的面积为_答案9解析由题意，得|F1F2|210.因为所以|PF1|PF2|36.所以SPF1F2|PF1|PF2|sin9.题型2双曲线的标准方程及应用(20

7、18兰州检测)已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD 的面积为2b，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1本题采用方程法答案D解析不妨设A(x0，y0)在第一象限，由题意得由得x，所以y，由可得b212.所以双曲线的方程为1.故选D.条件探究1若将典例中条件变为“以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”，求双曲线的方程解因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c5，.又c2a2b2，所以a3，b4，所以此双曲线的方程为1.条件探究2若将典例中变为“双

8、曲线过点(2,1)，且双曲线与椭圆y21共焦点”，求双曲线的方程解椭圆y21的焦点坐标是(，0)设双曲线方程为1(a0，b0)，所以1，a2b23，解得a22，b21，所以所求双曲线方程是y21.方法技巧双曲线标准方程的求解方法1定义法2待定系数法提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值与双曲线1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为(0)冲关针对训练1已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21 Bx21C.1 D.1答案A解析由题意得

9、c，则a2，b1，所以双曲线的方程为y21.故选A.2(2018福建漳州模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点为F1，F2，P为双曲线C右支上异于顶点的一点，PF1F2的内切圆与x轴切于点(1,0)，且P与点F1关于直线y对称，则双曲线的方程为_答案x21解析设点A(1,0)，因为PF1F2的内切圆与x轴切于点(1,0)，则|PF1|PF2|AF1|AF2|，所以2a(c1)(c1)，则a1.因为点P与点F1关于直线y对称，所以F1PF2，且b，结合|PF1|PF2|2，|PF1|2|PF2|24c244b2，可得b2.所以双曲线的方程为x21.题型3双曲线的几何性质角度1与双曲线有

10、关的范围问题(多维探究)(2015全国卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点若0，则y0的取值范围是()A. B.C. D.根据已知0，列出y0的不等式求解答案A解析不妨令F1为双曲线的左焦点，则F2为右焦点，由题意可知a22，b21，c23，F1(，0)，F2(，0)，则(x0)(x0)(y0)(y0)xy3.又知y1，x22y，3y10.y0，故选A.条件探究将本例中条件“0，b0)，则A(a,0)，B(a,0)，不妨设点M在第一象限内，则易得M(2a，a)，又M点在双曲线E上，于是1，可得b2a2，e.故选D.2(2018成都统考)已知ab0，椭圆C

11、1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Axy0 B.xy0Cx2y0 D2xy0答案A解析设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1，e2.因为e1e2，所以，即4，所以.故双曲线的渐近线方程为yxx，即xy0.故选A.题型4直线与双曲线的综合问题以P(1,8)为中点作双曲线为y24x24的一条弦AB，求直线AB的方程本题采用“点差法”解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(y1y2)(y1y2)4(x1x2)(x1x2)，弦AB的中点是P(1,8)，x1x22，y1y216.16(y1y2)8(x1x2)，直线AB的斜率为，直线

12、AB的方程为y8(x1)，即直线AB的方程为x2y150.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围 (2)直线与双曲线联立，用设而不求的方法，列出不等式，然后求解解(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知得a，c2，于是a2b222，b21，故双曲线C的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线交于不同的两点，得即k2且k22，得xAxByAyB2.xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxB

13、k(xAxB)2(k21)k2.于是2，即0，解得k23，又k21，k20，b0)的位置关系的分析：1代数法消去y，得(b2a2k2)x22kma2xa2(m2b2)0.(1)二次项系数为0时，直线L与双曲线的渐近线平行或重合重合：无交点；平行：有一个交点(2)二次项系数不为0时，上式为一元二次方程，0直线与双曲线相交(两个交点)；0直线与双曲线相切；0，m2n3m2，1n0)，即1，双曲线与椭圆1有公共焦点，4k5k123，解得k1，故双曲线C的方程为1.故选B.解法二：椭圆1的焦点为(3,0)，双曲线与椭圆1有公共焦点，a2b2(3)29，双曲线的一条渐近线为yx，联立可解得a24，b25

14、.双曲线C的方程为1.故选B.3(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为_答案解析如图，由题意知点A(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为yx，即bxay0，点A到l的距离d.又MAN60，MANAb，MAN为等边三角形，dMAb，即b，a23b2，e .4(2018兰州诊断)若双曲线1(a0，b0)一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为_答案解析由题意，可得ktan.ba，则a2，e2.2.当且仅当b26，a22时取“” 重点保分 两级优选练一、选择题1(2018唐

15、山统考)“k9”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析方程1表示双曲线，(25k)(k9)0，k25，“k1)与双曲线C2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()Amn且e1e21 Bmn且e1e21Cm1 Dmn且e1e20，m1可得mn，且m220.从而ee，则ee110，即e1e21.故选A.6(2017福建龙岩二模)已知离心率为的双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若SOMF216，则双曲线的实轴长是()A32

16、 B16 C84 D4答案B解析由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线yx上，由题意可知|F2M|b，所以|OM|a.由SOMF216，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.7(2018湖南十校联考)设双曲线1的两条渐近线与直线x分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点若60AFB90，则该双曲线的离心率的取值范围是()A(1，) B(，2)C(1,2) D(，)答案B解析双曲线1的两条渐近线方程为yx，x时，y，不妨设A，B，60AFB90，kFB1，1，1，1，1e213，e2.故选B.8(2017福建漳州八校联考)已知椭圆

17、C1：1(a1b10)与双曲线C2：1(a20，b20)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2分别是两曲线的离心率，若PF1PF2，则4ee的最小值为()A. B4 C. D9答案C解析由题意设焦距为2c，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a2，由椭圆定义知|PF1|PF2|2a1，又PF1PF2，|PF1|2|PF2|24c2，22，得|PF1|2|PF2|22a2a，将代入，得aa2c2，4ee2，当且仅当，即a2a时，取等号故选C.9(2017青州市模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第

18、一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是()A. B.C. D(0，)答案A解析设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|m，|PF2|n(mn)，由于PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10，即有m10，n2c，由椭圆的定义可得mn2a1，由双曲线的定义可得mn2a2，即有a15c，a25c(c10，可得c，即有c5.由离心率公式可得e1e2，由于1.则e1e2的取值范围为.故选A.10已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四

19、边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析椭圆的离心率为，a2b.椭圆的方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，a24b220.椭圆C的方程为1.故选D.二、填空题11若点P在曲线C1：1上，点Q在曲线C2：(x5)2y21上，点R在曲线C3：(x5)2y21上，则|PQ|PR|的最大值是_答案10解析依题意得，点F1(5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|PR|(|PF2|1)(|PF1|1

20、)|PF2|PF1|224210，故|PQ|PR|的最大值是10.12过双曲线1(a0，b0)的左焦点F(c,0)(c0)，作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交曲线右支于点P，若()，则双曲线的离心率为_答案解析圆x2y2的半径为，由()知，E是FP的中点，设F(c,0)，由于O是FF的中点，所以OEPF，|OE|PF|PF|2|OE|a.由双曲线定义，|FP|3a，因为FP是圆的切线，切点为E，所以FPOE，从而FPF90.由勾股定理，得|FP|2|FP|2|FF|29a2a24c2e.13(2018安徽江南十校联考)已知l是双曲线C：1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个

21、焦点，若0，则P到x轴的距离为_答案2解析由题意取F1(，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为yx，则可设P(x0，x0)，由(x0，x0)(x0，x0)3x60，得x0，故P到x轴的距离为|x0|2.14(2018贵州六校联考)我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当F1PF260时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是_答案解析设椭圆的半长轴为a1，椭圆的离心率为e1，则e1，a1.设双曲线的实半轴为a，双曲线的离心率为e，e，a.|PF1|x，|PF2|y(xy0)，则由余弦定理得4c2x2y22xyc

22、os60x2y2xy，当点P看作是椭圆上的点时，有4c2(xy)23xy4a3xy，当点P看作是双曲线上的点时，有4c2(xy)2xy4a2xy，联立消去xy，得4c2a3a2，即4c2232，所以2324，又因为e，所以e24，整理得e44e230，解得e23，所以e，即双曲线的离心率为.三、解答题15已知点M(2,0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|PN|2，记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程；(2)若A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值解(1)由|PM|PN|2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a.又焦距2c4，所以虚半轴长b.所以W的方程为1(x

23、)(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)当ABx轴时，x1x2，y1y2，从而x1x2y1y2xy2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm(k1)，与W的方程联立，消去y得(1k2)x22kmxm220，则x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2m22.又因为x1x20，所以k210.所以2.综上所述，当ABx轴时，取得最小值2.16已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20，所以解得k|x2|时，SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1x2时，SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.所以SOAB|x1x2|，所以(x1x2)2(2)2，即28，解得k0或k，又因为k，且k1，所以当k0或k时，AOB的面积为.